高考总复习理数(人教版)第02章函数的概念与基本初等函数第7节函数的图象

第七节 函数的图象
考点
高考试题
考查内容
核心素养
函数的图象
2016·全国卷Ⅰ·T7·5分 已知函数解析式判断函数的图象 数学运算 逻辑推理
2016·全国卷Ⅱ·T12·5分 利用函数的图象和性质求值
数学运算 逻辑推理 2015·全国卷Ⅱ·T10·5分 判断函数图象 数学运算 数学建模 2014·全国卷Ⅰ·T6·5分
判断函数图象
数学运算 数学建模
命题 分析
本节内容在高考中的考查形式有两种：一种是给出函数解析式判断函数图象；一种是函数图象的应用.
1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．
2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换：
(2)伸缩变换：
(3)对称变换：
y ＝f (x )――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )；
y ＝f (x )――→关于y 轴对称
y ＝f (－x )； y ＝f (x )――→关于原点对称
y ＝－f (－x ). (4)翻折变换：
y ＝f (x )―――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图
将x 轴下方的图象翻折到上方去 y ＝|f (x )|. 提醒：
(1)辨明三个易误点
①图象左右平移仅仅是相对x 而言的，即发生变化的只是x 本身，利用“左加右减”进行操作．如果x 的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
②图象上下平移仅仅是相对y 而言的，即发生变化的只是y 本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y ＝f (x )中的f (x )进行操作，满足“上加下减”．
③要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别． (2)会用两种数学思想 ①数形结合思想
借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数、求不等式的解集等．
②分类讨论思想
画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( ) (2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( )
(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )
(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材习题改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：选C 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故第一段是直线段，途中停留时距离不变，最后一段加速，最后的直线段比第一段下降得快，故应选C.
3．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋ln x ，x ≥1，
x 3，x <1，则f (x )的图象为( )
解析：选A 由题意知函数f (x )在R 上是增函数，当x ＝1时，f (x )＝1，当x ＝0时，f (x )＝0，故选A.
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 解析：因为 f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，所以4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.
答案：－2
5．(2018·大同检测)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.
解析：在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．
答案：(0，＋∞)
作函数的图象 [明技法]
画函数图象的2种常用方法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
[提能力]
【典例】 分别作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋
2；(2)y ＝x ＋2x －1
.
解：(1)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图①所示．
(2)因为y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3
x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1
个单位，即得y ＝x ＋2
x －1
的图象，如图②.
① ②
[母题变式] 将本例(2)的函数变为“y ＝x ＋2
x ＋3
”，函数的图象如何？
解： y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1
x 向左平移3个单位，再向上平移
1个单位得到，如图所示．
[刷好题]
(金榜原创)分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.
解：(1)∵y ＝|lg x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
lg x ，x ≥1，
－lg x ，0＜x ＜1.
∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.
(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y
轴对称，其图象如图②.
函数图象的识别与辨析
[明技法]
识辨函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
[提能力]
【典例】(1)(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝sin 2x
1－cos x
的部分图象大致为()
(2)如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P 所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为()
解析：(1)选C 令f (x )＝sin 2x
1－cos x ，
∵f (1)＝sin 21－cos 1>0，f (π)＝sin 2π
1－cos π＝0，
∴排除选项A ，D.
由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．
又∵f (－x )＝sin (－2x )
1－cos (－x )＝－sin 2x
1－cos x
＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.
(2)选D 方法一 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为1
2的
扇形．
因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x
2＝4－x ，
所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π
4(1≤x ≤3)，
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π
4
∈(3,4)，故选D.
方法二 在判断出点P 的轨迹后，发现当x ＝1时，y ＝3－π
4∈(2,3)，故选D.
[刷好题]
1．下列四个函数中，图象如图所示的只能是( )
A ．y ＝x ＋lg x
B ．y ＝x －lg x
C ．y ＝－x ＋lg x
D ．y ＝－x －lg x
解析：选B 特殊值法：当x ＝1时，由图象知y >0，而C ，D 中y <0，故排除C ，D ；又当x ＝110时，由图象知y >0，而A 中y ＝110＋lg 110＝－9
10
<0，排除A.故选B.
2．函数y ＝sin x 2的图象是( )
解析：选D 排除法：由y ＝sin x 2为偶函数判断函数图象的对称性，排除A ，C ；当x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π22＝sin π24
≠1，排除B.故选D. 3．如图，矩形ABCD 的周长为4，设AB ＝x ，AC ＝y ，则y ＝f (x )的大致图象为( )
解析：选C 方法一 由题意得y ＝x 2＋(2－x )2＝
2x 2－4x ＋4，x ∈(0,2)不是一次函
数，排除A 、B.当x →0时，y →2，故选C.
方法二 由法一知y ＝2(x －1)2＋2在(0,1]上是减函数，在[1,2)上是增函数，且非一次
函数，故选C.
函数图象的应用 [析考情]
函数图象的应用是每年高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，考查两图象的交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等，难度中档或偏上．
[提能力]
命题点1：利用图象研究函数的性质
【典例1】 (2018·长春质检)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )
的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
命题点2：方程的根或函数图象的零点
【典例2】 已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|lg x |，x >0，
2|x |，x ≤0，则方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解的个数为________.
解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝1
2或f (x )＝1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知
直线y ＝1
2与函数y ＝f (x )的图象有2个公共点；直线y ＝1与函数y ＝f (x )的图象有3个公共
点．故方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0有5个解．
答案：5
命题点3：利用图象求不等式的解集
【典例3】 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )
x ＜0的
解集为( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x ＜0化为f (x )
x ＜0，即xf (x )＜0，f (x )
的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
命题点4：利用函数图象的对称性解题
【典例4】 (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1
x 与
y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m
(x i ＋y i )＝( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
解析：选B 由f (－x )＝2－f (x )可知f (x )的图象关于点(0,1)对称，又易知y ＝x ＋1x ＝1＋
1
x 的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，则x 1＋x m ＝x 2＋x m －1＝…＝0，y 1＋y m ＝y 2＋y m －1＝…＝2，∴∑i ＝1m
(x i ＋y i )＝0×m 2＋2×m
2
＝m .故
选B.
命题点5：利用函数图象求参数的取值范围
【典例5】 函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－
x －1，x ≤0，
f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两
个不同实根，则a 的取值范围是________.
解析：当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，
当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.
当1<x ≤2时，－1<x －2≤0，f (x )＝f (x －1)＝f (x －2)＝2－(x －2)－1.故x >0时，f (x )是周期函数，如图，
欲使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，则a 的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1) [悟技法]
函数图象应用中的几个问题
(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性．
(2)有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解．
(3)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
[刷好题]
1．(2018·潍坊检测)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )
A ．多于4个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
解析：选B 因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示，函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.
2．(2018·滁州质检)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.
解析：如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1，∴a ≥－1.
答案：[－1，＋∞)
3．设函数y ＝2x －1x －2
，关于该函数图象的命题如下：
①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称；
④关于原点中心对称．
其中正确的是________.
解析：y ＝2x －1x －2＝2(x －2)＋3x －2
＝2＋3x －2，图象如图所示．可知②③正确．
答案：②③。