上海市2020〖人教版〗八年级数学下册复习试卷期中数学试卷021

上海市2020年〖人教版〗八年级数学下册复习试卷期中数学
试卷
创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01
审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校
一、细心选一选（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列运算正确的是（）
A．B ．
C．D．
考点：二次根式的性质与化简．.
分析：本题考查最简二次根式的合并，二次根式的计算，以及二次根式的意义．
解答：解：A、错误，∵2﹣=≠1；
B、正确，∵=（﹣1）2=1×2=2；
C、错误，∵==11≠±11；
D、错误，∵==≠1．
故选B．
点评：灵活运用二次根式的性质进行计算和化简，最简二次根式的运用，以及二次根式的计算法则的运用．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的为（）
A．x2+3x=0 B．2x+y=3 C．D．x（x2+2）=0
考
点：
一元二次方程的定义．.
分析：本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答：解：A、符合一元二次方程定义，正确；
B、含有两个未知数，错误；
C、不是整式方程，错误；
D、未知数的最高次数是3，错误．
故选A．
点评：判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．
3．（3分）用配方法将方程x2+6x﹣11=0变形为（）
A．（x﹣3）2=20 B．（x+3）2=20 C．（x+3）2=2 D．（x﹣3）2=2
考
点：
解一元二次方程-配方法．.
专
题：
配方法．
分
析：
首先移项变形成x2+6x=11，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方9，即可变形得到．
解答：解：∵x2+6x﹣11=0，∴x2+6x=11，
⇒x2+6x+9=11+9，
∴（x+3）2=20．
故选B．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（3分）用反证法证明“a＞b”时应假设（）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a≤b 考
点：
反证法．.
分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是a＞b的反面有多种情况，应一一否定．
解答：解：a，b的大小关系有a＞b，a＜b，a=b三种情况，因而a＞b的反面是a≤b．因此用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．
故选D．
点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．（3分）某商店销售A，B，C，D，E五种品牌洗衣机，统计某个月销售量的频数分布直方图如图，根据直方图提供的信息．下列说法错误的是（）
A．这商场这个月共销售了240台洗衣机
B．这个月销售E品牌洗衣机的频率是0.125
C．这个月销售B 品牌洗衣机的频数是
D．这个月A品牌、D品牌洗衣机的销售量相同
考点：频数（率）分布直方图．.
专题：图表型．
分析：A项中，根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，可知这个商场的总销售量；
B项中，根据：频率=频数÷总数据个数，可知E品牌销售频率；
C项中，频数直接可以从频数分布直方图中读出；
D项中，销售量=频数，可得答案．
解答：解：A项中，根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，知这个商场这个月共销售了
50+70+40+50+30=240，可知A项正确；
B项中，频率=频数÷总数据个数，可得销售E品牌洗衣机的频率=30÷240=0.125，可知b选项正确；
C项中，频数直接可以从频数分布直方图中读出，为70，所以C项错误；
D项中，由销售量=频数，可知A、D两品牌的销售量相同，可知D选项正确．
故选C．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
6．（3分）为使有意义，x的取值范围是（）
A．x ＞B．x ≥C．x≠D．x ≥且x≠二次根式有意义的条件．.
考
点：
常规题型．
专
题：
分根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可求解．
析：
解答：解：根据题意得，2x+3≥0且3x﹣2≠0，解得x≥﹣且x≠．
故选D．
点
评：
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．7．（3分）已知x+|x﹣1|=1，则化简的结果是（）
A．3﹣2x B．1C．﹣1 D．2x﹣3
考
点：
二次根式的性质与化简．.
专
题：
计算题．
分析：由x+|x﹣1|=1变形得到|x﹣1|=﹣（x﹣1），根据绝对值的意义有x﹣1≤0，即x≤1，再根据二次根式的性质化简原式得到原式=|x﹣1|+|2﹣x|，然后根据x的取值范围去绝对值，再合并同类项即可．
解答：解：∵x+|x﹣1|=1，
∴|x﹣1|=﹣（x﹣1），∴x﹣1≤0，
∴x≤1，
∴原式=|x﹣1|+|2﹣x| =﹣（x﹣1）+2﹣x
=﹣x+1+2﹣x
=﹣2x+3．
故选A．
点
评：
本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了绝对值．
8．（3分）温州某服装店十月份的营业额为8000元，第四季度的营业额共为40000元．如果平均每月的增长率为x，则由题意可列出方程为（）A．8000（1+x）2=40000 B．8000+8000（1+x）2=40000
C．8000+8000×2x=40000D．8000=40000
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．.
专题：增长率问题．
分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果平均每月的增长率为x，根据题意即可列出方程．
解答：解：设平均每月的增长率为x，
则十一月份的营业额为8000（1+x），
十二月份的营业额为8000（1+x）2，
由此列出方程：8000=40000．
故选：D．
点评：本题主要考查：复利公式：“a（1+x）n=b”的应用，理解公式是解决本题的关键．
9．（3分）下列给出的4个命题：
命题1 若|a|=|b|，则a|a|=b|b|；
命题2 若a2﹣5a+5=0，则；
命题3 若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x ＜，则m＜﹣3；
命题4 若方程x2+mx﹣1=0中m＞0，则该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．
其中正确的命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
考
点：
根与系数的关系；绝对值；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式．.
专
题：
计算题．
分析：命题1、代入特殊值验证正确与否；
命题2、根据求根公式求的a值，然后与1比较大小后再来解；命题3、根据不等式的性质作答；
命题4、根据根与系数的关系解答．
解答：解：命题1、当a=﹣1，b=1时，a|a|≠b|b|；故本选项错误；
命题2、原方程的解是a=．
①当a=时，1﹣a=﹣＜0，所以；当a=时，1﹣a=﹣＜0，所以；
故本选项正确；
命题3、若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x ＜，则m+3＜0，即m＜﹣3，故本选项正确；命题4、∵x1•x2=﹣1＜0，
∴方程x2+mx﹣1=0中m＞0，则该方程有一正根和一负根；
∵x1+x2=﹣m，且m＞0，
∴﹣m＜0，即x1+x2＜0；
∴该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．
故该选项正确；
综上所述，命题2、3、4正确，共3个．
故选C．
点评：本题综合考查了根与系数的关系、绝对值、一元一次不等式及二次根式的性质与化简．都是比较基础的题目，在解得过程中只要细心一点儿就行了．
10．（3分）（•扬州）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB 边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）
A．30，2 B．60，2 C．
60，
D．60，
考
点：
旋转的性质；含30度角的直角三角形．.
专
题：
压轴题．
分析：先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
解答：解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×co t ∠A=2×=2，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC=CD=BD=AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，
∵BD=AB=2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，
∴S阴影=DF×CF=×=．
故选C．
点评：本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等．
二、专心填一填（每小题4分，共24分）
11．（4分）将命题“有一个角和夹这个角的两条边对应相等的两个三角形全等”改写成“如果…那么…”的形式为如果两个三角形有一角和夹这个角的两条边对应相等，那么这两个三角形全等．
考点：命题与定理．.
分析：“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．
解答：解：“有一个角和夹这个角的两条边对应相等的两个三角形全等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个三角形有一角和夹这个角的两条边对应相等，那么这两个三角形全等．
故答案为：如果两个三角形有一角和夹这个角的两条边对应相等，那么这两个三角形全等．
点评：本题考查了命题与定理，命题是有题设和结论构成．命题都能写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．
12．（4分）已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜3且k≠2 ．
考点：根的判别式．.
专题：探究型．
分析：先根据关于x的方程（k﹣2）x2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根得出关于k的不等式组，求出k 的取值范围即可．
解答：解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得k＜3且k≠2．
故答案为：k＜3且k≠2．
点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
13．（4分）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是方程x2﹣（8+k）x+8k=0的两个根，则这个等腰三角形的周长为18或21 ．
考点：解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性质．.
专题：计算题．
分析：方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断即可得到结果．
解答：解：方程x2﹣（8+k）x+8k=0，
因式分解得：（x﹣8）（x﹣k）=0，
解得：x=8或x=k，
当5为腰时，k=5，底为8，周长为5+5+8=18；当5为底时，k=8，周长为5+8+8=21，
则这个等腰三角形的周长为18或21．
故答案为：18或21．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
14．（4分）（•兰州）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x3=﹣4，x4=﹣1 ．
考点：一元二次方程的解．.
专题：计算题；压轴题．
分析：把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
解答：解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a2+b=0，即此方程中x+2=﹣2或x+2=1，
解得x=﹣4或x=﹣1．
故答案为：x3=﹣4，x4=﹣1．
点评：此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
15．（4分）如图1，△ABC是一张等腰直角三角形彩色纸，
AC=BC=50cm．将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．若用这4张纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，则正方形美术作品最大面积是800 cm2．
考点：相似三角形的应用；等腰直角三角形．.
分析：利用相似三角形的性质求出每个纸条的长，将其相加，易得纸片的宽度，从而计算出正方形的边长，从而计算面积即可．
解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=50cm，如下图所示：
∴AB=50．
∴AC•BC=AB•CD，
∴50×50=50•CD，
∴CD=25cm，
于是纸条的宽度为：=5cm，
∵=，
又AB=50，
∴EF=10．
同理，GH=20，
IJ=30，
KL=40，
∴纸条的总长度为：100，
∴图画的正方形的边长为：﹣5=20，
∴面积为（20）2=800cm2．
故答案为：800．
点评：此题考查了相似三角形的应用，不仅要计算出纸条的长度，还要计算出宽度，要仔细观察图形，
寻找隐含条件．
16．（4分）观察下列等式：，
，请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算（…+）•（+）=
4020 ．
考点：分母有理化．.
专题：规律型．
分析：先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可求出第一个括号内代数式的值，进而可根据平方差公式求出整个代数式的值．
解答：解：原式=2（﹣+﹣+﹣+…+﹣）（+）=2（﹣）（+）
=2×=4020．
故答案为：4020．
点评：本题考查了分母有理化的知识，能够发现式子中的规律是解答此题的关键．
三、耐心做一做（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）
（2）．
考点：二次根式的混合运算；完全平方公式；平方差公式；二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的乘除法；同类二次根式；二次根式的加减法．.
专题：计算题．
分析：（1）根据去括号法则去括号，并且化成最简根式，合并同类二次根式即可；
（2）运用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可．
解答：解：（1）原式=2﹣2+=．
（2）原式=3﹣2+2+3﹣2=6﹣2．
点评：本题主要考查对完全平方公式，平方差公式，二次根式的性质，最简二次根式，二次根式的乘除法、加减法，同类二次根式等知识点的理解和掌握，能熟练地根据法则进行计算是解此题的关键．
18．（6分）用适当的方法解下列方程：
（1）2y2+1=y
（2）（x﹣5）2=（2x﹣1）（5﹣x）
考点：解一元二次方程-因式分解法．.
专题：计算题．
分析：（1）方程整理为一般形式，左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程右边整体移项到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解答：解：（1）移项得：2y2﹣y+1=0，
因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，
即2y+1=0或y﹣1=0，
解得：y1=，y2=1；
（2）移项得：（x﹣5）2﹣（2x﹣1）（5﹣x）=0，
因式分解得：（5﹣x）（5﹣x﹣2x+1）=0，
即5﹣x=0或﹣3x+6=0，
解得：x1=5，x2=2．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
19．（6分）（•日照）为了让学生了解文明礼仪知识，增强文明意识，养成文明习惯．某在“文明日照，从我做起”知识普及活动中，举行了一次“文明礼仪知识”竞赛，共有3 000名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行了统计．
请你根据上面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：
（1）求频率分布表中的m、n；
（2）补全频率分布直方图；
（3）你能根据所学知识确定“众数”、“中位数”在哪一组吗？（不要求说明理由）
频率分布表：
组别分组频数频率
1 50.5～60.5 6 0.08
2 60.5～70.5 9 0.12
3 70.5～80.5 15 m
4 80.5～90.
5 24 0.32
5 90.5～100.5 n 0.28
合计
频数分布直方图：
考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；中位数；众数．.
专题：图表型．
分析：（1）由第一组的频数为6，频率为0.08可计算出抽取人数，从而求出n．由频率的和为1，得到m．
（2）由（1）的数据补齐直方图．
（3）由“众数”、“中位数”的概念判断．
解答：解：（1）由第一组的频数为6，频率为0.08得，抽取人数=6÷0.08=75，n=75×28%=21．由频率的和为1，得m=1﹣0.18﹣0.12﹣0.32﹣0.28=0.2．
（2）
（3）由于抽取人数为75，前3组的频数的和为30，第4组的频数为24，所以中位线在第4组；
由于没有具体的数据，所以无法众数在哪组．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为
偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；众数一定是数据集里的数．
20．（8分）已知：三条边长AB=2，AC=，BC=．在如图的4×4的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上．
（1）求△ABC的面积；
（2）求点A到BC边的距离．
考点：勾股定理．.
专题：计算题．
分析：（1）根据题意画出图形，已知AB=2，AC=，BC=，观察可得AB边上的高CE的长为
2，从而不难求得其面积；
（1）根据第（1）问求得的面积，再利用面积公式即可求得BC边上的高．
解答：解：∵AB=2，AC==2，BC==2．
根据勾股定理，在图中画出△ABC如下所示：
（1）∵AB=2，CE=2
∴S△ABC=AB×CE=2，
（2）∵BC=2，
则S△ABC=BC×h=2，
∴h=，
即点A到BC边的距离．
点评：本题主要考查勾股定理的应用，解题关键是通过勾股定理确定三角形的各个边长，并在4×4的方格中作出图形，有一定难度．
21．（8分）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用15750元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？
考点：一元二次方程的应用．.
分析：首先根据共支付给旅行社旅游费用15750元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去旅游．即可由对话框，超过20人的人数为（x﹣20）人，每人降低10元，共降低了10（x﹣20）元．实际每人收了元，列出方程求解．
解答：解：设该单位这次共有x名员工去旅游．
因为600×20=12000＜15750，所以员工人数一定超过20人．
根据题意列方程得：x=15750．
整理得x2﹣80x+1575=0，
即（x﹣45）（x﹣35）=0，
解得x1=45，x2=35．
当x1=45时，600﹣10（x﹣20）=350＜420，故舍去x1；
当x2=35时，600﹣10（x﹣20）=450＞420，符合题意．
答：该单位这次共有35名员工去旅游．
点评：此题考查了一元二次方程的应用，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于420元来判断，得到满足题意的x的值．
22．（10分）（•泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，
AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定．.
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）把要证明的线段AD和BE放到两个三角形ABD和BCE中即可证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一即可证明；
（3）根据（2）中的结论，即可证明CD=BC．
解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
∴AD=BE．
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB=EA，
∵AD=BE，
∴AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°，
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7，
又∵AD=AE，
∴AM⊥DE，且EM=DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD=BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD=CE，由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形．
点评：综合运用了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质．此类题注意已证明的结论的充分运用．
23．（10分）在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：△ABD≌△ACE．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图1，当点D在线段BC上时，则α，β之间有怎样的数量关系？写出证明过程；
②当点D在线段CB的延长线上时，则α，β之间有怎样的数量关系？请在图2中画出完整图形并证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．.
分析：（1）首先求出∠BAD=∠CAE，再利用SAS得出△ABD≌△ACE即可；
（2）①利用△ABD≌△ACE，推出∠BAC+∠BCE=180°，根据三角形内角和定理求出即可；
②当D在CB的延长线上时，α=β，求出∠BAD=∠CAE．推出△ADB和△AEC，推出
∠BAC=∠BCE．根据三角形外角性质求出即可．
解答：证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①α+β=180°
理由：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
即α+β=180°；
②当点D在线段CB的延长线上时，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，题目比较典型，是一道证明过程类似的题目．
24．（12分）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q 同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是
1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t （s），解答下列各问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t 的值；不存在请说明理由．
考点：等边三角形的性质；一元二次方程的应用；勾股定理．.
专题：动点型．
分析：（1）过点A作AD⊥BC，求出AD的长，利用三角形的面积公式进行解答即可；
（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（3）本题可先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．
解答：
解：（1）过点A作AD⊥BC，则AD=×BC×A B•sin60°=×3×3×=；
（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，
即t=（3﹣t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
3﹣t=t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
（3）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=，
∴PM=PB•sin∠B=（3﹣t），
∴S△PBQ=BQ•PM=•t•（3﹣t），
∴y=S△ABC﹣S△PBQ=×32×﹣×t×（3﹣t）
=t2﹣t+，
∴y与t的关系式为y=t2﹣t+，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形APQC=S△ABC，
∴t2﹣t+=××32×，
∴t2﹣3t+3=0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．
点评：本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01
审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。