吉林省延边第二中学高一下学期第二次月考数学试题 答案和解析

【全国百强校】吉林省延边第二中学【最新】高一下学期第
二次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题正确的是
A ．若a 、b 都是单位向量，则a =b.
B ．若AB D
C =，则A ，B ，C ，
D 四点构成平行四边形. C ．若两向量a 、b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量 D ．AB 与BA 是两平行向量
2．若α是第二象限角，则tan ） A ．1-
B ．1
C ．2tan α-
D ．2tan α
3．已知输入实数12x =，执行如图所示的流程图，则输出的x 是（ ）
A ．25
B ．102
C ．103
D ．51
4．已知,,A B C 为圆O 上的三点，若OA OC OB +=，圆O 的半径为2，则OB CB ⋅=（ ） A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
5．设向量()(),2,1,1a x b ==-，且()a b b -⊥，则x 的值为 （ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ） A ．4
B ．3
C ．-4
D ．-3
7．()
sin 23g x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的单调递减区间为（ ） A ．52,212
12k k k z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．52,26
6k k k z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C ．5,12
12k k k z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．5,6
6k k k z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
8．将四位八进制中的最小数转化为六进制数为( ) A ．2120(6) B ．3120(6)
C ．2212(6)
D ．4212(6)
9．已知3
sin ,35
x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭则5cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A ．
3
5 B ．
45
C ．35
-
D ．45
-
10．函数()()sin f x A x ωϕ=+ ()0,0A ω>>,若()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调函数,且()()02f f f ππ⎛⎫
-==- ⎪⎝⎭
则ω的值为（ ）
A ．
23
B ．
2
3
或2 C ．
13
D ．1或
13
11．在ABC 中，60BAC ∠=︒，3AB =，2AC = .若2BD DC =，AE AC AB λ=- （R λ∈ ），且4AD AE ⋅=-，则λ的值为（ ） A ．
3
11
B ．
411
C ．
511
D ．
611
12．已知向量a 与b 的夹角为3
π
，||||2a b ==．若向量m 满足1m a b --=，则||m 的最大值为
A ．1
B ．1
C ．4
D 1
二、填空题 13．在区间22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，内任取两个数分别记为,p q ,则函数()2221f x x px q =+-+至少有一个零点的概率为___________.
14．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点(3,4)P ，则
sin 2cos sin cos αα
αα
+=-____．
15．如图，已知ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足
2AM MP
MC PB
== ，若02,3,120AB AC BAC ==∠= ，则AP BC ⋅的值为
__________．
16．给出下列命题：
①已知任意两个向量b a ，不共线，若OA a b =+、2OB a b =+、2a OC b =-则
A B C 、、三点共线；
②已知向量()62a =，
与()b 3k =-，的夹角是钝角，则k 的取值范围是9k <；
③设4
x π
≤
，则函数()2
cos sin f x x x =+的最小值是
12
； ④设()()()4,,6,8,,6A a B C a ，若OABC 是平行四边形(O 为原点),则4
AOC π
∠=
其中正确命题的序号为__________．
三、解答题
17．已知：()()(),54,12,13A B C ，，λλ-三点,其中0λ<. （1）若,,A B C 三点在同一条直线上，求λ的值； （2）当AB BC ⊥时，求AC ．
18．已知2sin ()cos(2)tan()
()sin()tan(3)
f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.
（1）化简()f α；
（2）若()18
f
α=
，且42ππ
α<<，求cos sin αα-的值
19．已知函数()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图像如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 在[]0,π上取得最小值时对应的角度为θ，求半径为2，圆心角为θ的扇形的面积.
20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移
6
π
个单位长度后得到函数()f x 的图象. （Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意x ∈ ,612ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， ()()210f x mf x --≤恒成立，求实数m 的取值范围；
21．在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， ,,A B C 三点满足12
33
OC OA OB =+. （1）求证： ,,A B C 三点共线，并求
||BC BA
的值；
（2）已知()1,sin A x ， ()1sin ,sin B x x +， ()0,x π∈，且函数
()2•2?3f x OA OC m AB ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭的最小值为12，求实数m 的值.
参考答案
1．D 【解析】
分析：逐一分析即可.
详解：A ，单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A 不对； B ，A ，B ，C ，D 四点可能共线，故B 不对；
C ，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C 不对；
D ，因AB 与BA 方向相反，是平行向量，故D 对. 故选D.
点睛：本题考查了向量相等和平行向量的定义，考查了对向量基础概念的理解和应用. 2．A 【分析】
根据α的范围，利用同角三角函数的基本关系化简所给的式子可得结果. 【详解】
α是第二象限角，
∴sin 0,cos 0αα><，
则sin cos sin cos tan 1cos sin cos sin αααα
ααααα
=⋅=-⋅=-， 故选A. 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用. 3．C 【解析】
分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件，可得103x =. 详解：初始化数值12,1,x n ==
执行第一次循环：13n =≤成立，122125x =⨯+=； 执行第二次循环：23n =≤成立，252151x =⨯+=； 执行第三次循环：33n =≤成立，5121103x =⨯+=； 判断43n =≤不成立，输出103x =.
故选C.
点睛：程序框图问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，解题时只要按照循环结构，注意判断条件的成立与否完成解答即可.
4．D
【解析】
分析：根据题意画出图形，结合图形得出四边形OABC是菱形，且一内角为120︒，由此求出OB CB
⋅的值.
详解：如图所示：
+=，
OA OC OB
∴四边形OABC是菱形，且120
∠=，
AOC︒
又圆O的半径为2，
∴22cos602
⋅=⨯⨯=，
OB CB︒
故选D.
点睛：本题考查了平面向量的数量积应用问题.
5．D
【解析】
()
-=-，那么()130
-⋅=--=，解得4
a b b x
a b x
1,3
x=，故选D．
6．D
【解析】
分析：根据平面向量的数量积可得AB AC
⊥，再结合图形求出BC与CA方向上的投影即可.
详解：如图所示：
AB AC AB AC +=-，
0AB AC ∴⋅=， ∴AB AC ⊥，
又4AB =，3AC =，
BC ∴在CA 方向上的投影是：
()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB π=-∠=-∠=-，
故选D.
点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题. 7．C 【解析】
分析：利用诱导公式可得本题即求函数sin 23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的单调递增区间. 详解：函数sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递减区间，即函数sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的
单调递增区间， 令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-≤+
，求得1212
k x k π5π
π-
≤≤π+，k Z ∈， 故函数sin 23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的单调递增区间即sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
得单调递减区间为： 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈ 故选：C.
点睛：本题主要考查诱导公式、正弦函数的增区间，体现了转化的数学思想.
8．C 【解析】
四位八进制中的最小数为()()3
810100018512=⨯=,
6512685 (2)
614...1 2 (2)
故为()62212 9．C 【解析】
分析：首先根据条件得出
5632
x x πππ
-=-+，然后根据三角恒等变换公式即可得到 5cos 6x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值.
详解：53cos cos sin 63
235x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=--=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
点睛：本题考查三角恒等变换等知识，在解题的过程中关键在于角的拼凑，把56
x π
-用3
x π
-和
2
π
来表示，体现了整体的思想. 10．B 【解析】
分析：由()()sin f x A x ωϕ=+在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是有单调性，可得T 范围，从而得02ω≤＜；由()()0f f π-=，可得函数()f x 关于2x π=-
对称，又()02f f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()f x 有对称中心为,04π⎛⎫
⎪⎝⎭；讨论2x π=-与,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可． 详解：因为()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调，∴22T π≥，即202T πππωω≥⇒≥⇒<≤，而()0T ππ--=≤；若T π=，则2ω=；若T π>，则2
x π
=-
是()f x 的一条对称轴，
,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
是其相邻的对称中心，所以34424T πππ⎛⎫=--= ⎪
⎝⎭，∴2233T T ππω=⇒==. 故选B.
点睛：本题考查三角函数的周期性及其求法，确定2x π=-
与,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
是否为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题． 11．A 【解析】
分析：根据题意画出图形，根据向量的加减的几何意义，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值. 详解：如图所示：
在ABC 中，60BAC ∠=︒，3AB =，2AC = ，2BD DC =，
()
2212
3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+
=+-=+, AE AC AB λ=- （R λ∈ ）
， ()
22121
212333
333AD AE AB AC AC AB AB AC AB AC λλ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+-=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
221
21232cos 603243
333λλ︒⎛⎫=-⨯⨯⨯-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，
311
λ∴=
. 故选：A.
点睛：(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对
a a a =⋅ 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．
(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就
会达到简化运算的目的． 12．B 【分析】
采用建系的方法，根据条件，可得a 与b 的坐标，然后假设m ，可以得出m 终点的轨迹方程，然后计算圆心到原点的距离，结合半径，可得结果. 【详解】 由题可知： 向量a 与b 的夹角为
3
π
，||||2a b == 设()2,0a =，()
1,3b =，设(),m x y =，
则()
3,1x y m a b =-=
--=
故向量m 的终点在以(为圆心，1r =为半径的圆上，
m 的最大值为圆心到原点的距离加上半径，
11=， 故选：B 【点睛】
本题考查根据建系解决向量问题，难点在于求得m 的终点的轨迹方程，熟悉圆外的点与圆上的点最大值为d r +，最小值为d r -，属基础题. 13．1
1π
-
.
【解析】 分析：设区间22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，内随机取两个数分别记为(),p q ，对应区域为边长为π的正方形，而使得函数()2
2
21f x x px q =+-+有零点的,p q 范围是判别式0∆≥，求出,p q . 详解：设区间22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，内随机取两个数分别记为(),p q ，则对应区域面积为2π， 而使得函数()2
2
21f x x px q =+-+有零点的,p q 范围为22
4440p q +-≥，对应区域面
积为2ππ-，
由几何概型的概率公式得到使得函数()2
2
21f x x px q =+-+有零点的概率为：
22
1
1ππππ
-=-. 故答案为：1
1π
-
.
点睛：应用几何概型求概率的方法
建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型． 14．10 【分析】
利用三角函数的定义式，可以求得4
tan 3
α=，再利用齐次式得到答案. 【详解】
根据角α的终边过(3,4)P ，利用三角函数的定义式，可以求得4tan 3
α=
所以有
4102
sin 2cos tan 23
31041
sin cos tan 1133
αααααα+++====---， 故答案是10. 【点睛】
本题考查了三角函数的定义，齐次式，分式上下同时除以cos α转化为tan α是解题的关键. 15．-2 【解析】
2,3,120,?23cos1203AB AC BAC AB AC ==∠=∴=⨯⨯=- .
()
22
,33MP MB AP AM AB AM =
∴-=- ,化为2121222
,?3333339AP AB AM AB AC AB AC AP BC =+=+⨯=+∴
()
2222422··39993AB AC AC AB AB AC AC AB ⎛⎫
=+-=+- ⎪⎝⎭
()22422
3322993
=⨯-+⨯-⨯=- ,故答案为2- . 16．③④. 【解析】
分析：对选项逐一判断即可.
详解：对①，AB OB OA b =-=，2AC OC OA a b =-=-，故A B C 、、三点不共线，所以①错误； 对②，
向量()62a =，
与()b 3k =-，的夹角是钝角，0a b ∴⋅<，即()6320k ⨯-+<，解得9k <，又()6230k -⨯-=，得1k =，此时a 与b 反向，应去掉，所以②错误；
对③，函数()2
2215cos sin 1sin sin sin 24f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，
4
x π
≤
，
,sin 4
4
22x x π
π
∴-
≤≤
-
≤≤，当sin 2x =-时，()min
12
f x =，所以③正确； 对④，由题意得()4,OA a =，()6,2CB a =-，四边形OABC 是平行四边形，OA CB ∴=,
2a ∴=，()2,6OC ∴=,81220OA OC ∴⋅=+=，又
cos 2cos OA OC OA OC AOC AOC AOC ⋅=⋅∠=∠=∠，2
cos 2
AOC ∴∠=
，0AOC π<∠<，4AOC π∴∠=，所以④正确.
故答案为③④.
点睛：本题考查命题的真假判断与应用. 17．(1)
16
3
λ=-
. (2) 10AC =.
【分析】
（1）先求出AB BC ，的坐标，再根据向量共线得到λ的值； (2)根据AB BC λ⊥得到的值，再求AC ． 【详解】
（1）依题有()()4,7,4,1AB BC λλ=-=--，
,,A B C 共线， ()()4740λλ∴-++= ，16
3
λ∴=-
. （2）由AB BC ⊥得()()4470λλ-++= ，
3λ∴=±.
又0λ<, 3λ∴=-, ()()2,86,8AC λ∴=-=,
10AC ∴=.
【点睛】
（1）本题主要考查向量的线性运算，考查向量共线和垂直的坐标表示，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 如果a =()11,x y ,b =()22,x y ，则a ||b 的充要条件是
12210x y x y -=,则12120a b x x y y ⊥⇔+=.
18．（1）sin cos αα⋅；（2）3
. 【分析】
（1）由诱导公式运算即可得解； （2）由平方关系可得()2
3
cos sin 4
αα-=，再由cos sin αα<即可得解. 【详解】
（1）由诱导公式()
2sin cos tan ()sin cos sin tan f ααα
ααααα⋅⋅=
=⋅-⋅-； （2）由()1
sin cos 8
f
ααα==
可知 ()
2
22cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+13
12sin cos 1284
αα=-=-⨯=，
又∵
4
2
π
π
α<<
，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，
∴cos sin αα-=. 19．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
.
（2）
43
π. 【解析】
试题分析：（1）由图象观察，最值求出2A =，周期求出2ω=，特殊点求出6
π
φ=
，所以
()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
；（2）由题意得23πθ=，所以扇形面积43π．
试题解析：
(1)∵0A >，∴根据函数图象，得2A =. 又周期T 满足
,046124T πππω⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭，∴2T ππω
==.解得2ω=. 当6x π
=时，2sin 226πφ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭
. ∴2,32k k Z ππφπ+=+∈.
∴2,6k k Z π
φπ=
+∈.故()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
(2)∵函数()f x 的周期为π，∴()f x 在[]
0，π上的最小值为-2. 由题意，角()0θθπ≤≤满足()2f
θ=-，即sin 216πθ⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭
.解得23
πθ=
. ∴半径为2，圆心角为θ的扇形面积为
2112442233
S r ππθ==⨯⨯=.
20．（1）()sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. （(2)0m ≥. 【解析】
分析：（1）根据图像变换得函数()f x 的解析式；（2）先求()f x 在x ∈ ,612ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
值域，
再转化研究对应二次不等式()2
10g t t mt =--≤在[]
0,1恒成立，结合二次函数图像可得
()()00{
10
g g ≤≤ ，解不等式可得实数m 的取值范围；(3)转化研究对应函数图像在一个周期上的
交点，再根据周期性确定实数a 和正整数n ， 详解：（Ⅰ） ()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
； （Ⅱ）设sin 2,3t x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ x ∈ ,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
则[]0,1t ∈， ()()210f x mf x --≤可化为210t mt --≤，
设()2
1g t t mt =--， []
0,1t ∈，则()g t 的图象是开口向上的抛物线一段，
()0g t ≤当且仅当()()00{
10
g g ≤≤，即10
{
110
m -≤--≤，
所以m 的取值范围是0m ≥. 注：该小题也可采用分离参数求解. 点睛：本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，函数的恒成立问题.
21．（1）
1
3
BC
BA =. （2）22
m =-. 【解析】
分析：（1）证明三点共线，只需证明由三点中，任意两点形成的两个向量共线即可，原等式可转化为1
3
BC BA =
，可证明共线及求得比值； （2）利用向量的坐标运算，求得函数()2
sin 2sin 1f x x m x =++，对sin x 进行换元，利用一元二次函数的单调性可求得最小值为m ，得到关于m 的方程，解得m 的值． 详解：（1）证明：
()
121
,333
OC OA OB OC OB OA OB =+∴-=-，
1
3
BC BA ∴=,又因为,BC BA 有公共点B ， ∴A,B,C 三点共线.
1
1,33
BC BC BA BA =∴=.
（2）
()()1,sin ,1sin ,sin A x B x x +，
1221sin ,sin 333OC OA OB x x ⎛⎫
∴=+=+ ⎪⎝⎭， 22·1sin sin 3OAOC x x ∴=++
()22sin ,?2?sin 2sin 13AB x f x OA OC m AB x m x ⎛
⎫=∴=+-=++ ⎪⎝
⎭又
设()(]sin ,
0,,0,1t x x t π=∈∴∈， ()2
22211y t mt t m m ∴=++=++-
①当20,021m m y t mt -≤≥=++即时，无最小值，不合题意；
②当2
min 101,-1012m m t m y m <-≤≤<=-=-=即时，当时，,m ∴=-③当min 11,11222m m t y m -><-==+=时即时，当时，， 3
14
m =->-不合题
意.综上可知， m =. 点睛：考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算.。