对2007年高考数学命题走向的分析-4

对2007年高考数学命题走向的分析-4
对2007年高考数学命题走向的分析
2006年高考数学自主命题的省市增加为16个，它们是：北京、上海、天津、重庆、广东、福建、浙江、江苏、湖南、湖北、辽宁。

四川、陕西、安徽省,并且全国各省市都已第二年进入了过渡性新课程命题，对2007年复习备考的中学师生，我们认为还是要以《考试大纲》为依据，以通性、通法为主，以不变应万变。

（I）、2005年的《考试大纲》相对稳定，稍有微调，它的微调对2006年命题是起了作用的。

1、增加了“掌握充分条件、必要条件”。

2、在“函数”部分，将“函数的奇偶性”由“三角函数”部分调整到“函数”部分，增加了判断“函数的奇偶性”的要求。

3、在“直线”部分，增加了理解直线“倾斜角”的要求。

4、在“立体几何”部分，删除了“了解多面体的欧拉公式”的要求。

5、在“立体几何”部分，对“三垂线定理及其逆定理”由“了解”上升为“掌握”。

6、在“复数”部分，删除了“了解复数引进的必要性”，将“复数的代数表示和几何意义”的要求层次由“理解”改为“了解”。

7．在三角中删去了“利用计算器解决解三角形的计算问题”。

8、统计中考试内容删除了“总体特征数的估计”。

9、文科增加了掌握函数y=c（c为常数）的导数公式。

10、文科删除了会利用导数解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题。

11、删去了两组比例数选择题、填空题、解答题在试卷中的比例. 容易题、中等题、难题在试卷中的比例.并以中等题为主。

12、考纲指出，运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似的计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等等。

运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。

这一变化显示，对考生运算能力的考查并未降低，并对探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等提出了更为明确的要求，2005年的考题已充分印证了这一点，所以备考教师要加强对学生运算能力的训练。

13、能力考查增添新注解
数学高考大纲中更强调考生能力的要求，在思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识方面都增加了新的要求。

（1）思维能力中增添了“数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心，数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸多方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。

”
（2）空间想象能力中，添加了“空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。

主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。

识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形和对图形进行各种变换，对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种。

”
（3）实践能力中，添加了“实践能力是将客观事物数学化的能力，主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决. （4）创新意识中，添加了“创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的观察、猜测、抽象、概括、证明是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出创新意识也就越强。

”
对个性品质要求：指考生个体的情感、态度、价值观。

应具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义。

要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。

14、将原来“Ⅰ．考试性质”中第二段“数学学科的考试，要发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学知识掌握程度，又注重考查进入高校继续学习数学的潜能。

”移至“Ⅱ．考试要求”的第二段。

15、将原来“Ⅱ．考试要求”中“二、命题的基本原则”中对“思维能力、运算能力、空
间想像能力、实践能力、创新意识”等内容的解释，移至“Ⅱ．考试要求”中“一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质的要求”中“2．能力要求”的各个相应能力概念之后，
使得大纲在对各种能力的解释方面的结构更为合理，并对有些能力的解释作了新的解释。

（Ⅱ）2006年数学考试大纲在2005年的基础上又作了修订
数学(文科)有5点调整
（1）三角函数部分：“了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”变为“理解正
弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”。

[解读]实际上近几年来的命题都已达到理解的层次，这样的提法更科学。

（2）三角函数部分：将考试要求中“同角三角函数基本关系式”移到了“考试内容”中，
单独列为一条，突出了同角关系的地位。

[解读]同角关系是三角函数中的基本关系，考生一般都知道，但要掌握其中的变形技巧，运
用整体代换的思想来解题，应引起重视。

（3）直线与圆的方程部分：第6条增加了“了解参数方程的概念”
[解读]文科考生也要有参数的思想，会用参数法来曲线方程；会用曲线的参数方程表示曲线
上点的坐标；要重视圆的参数方程的动用。

（4）圆锥曲线方程部分：“理解椭圆的参数方程”变为“了解椭圆的参数方程”。

[解读]对椭圆的参数方程降低了要求，但要会用椭圆的参数方程来表示椭圆上点的坐标。

（5）直线、平面、简单几何体部分：在（B）中第2条增加了“理解直线和平面垂直的概念。

[解读]在立体几何解题中，线面垂直是关健。

不管选用9（A）还是9（B），都要十分重视直线与平面垂直关系的判定、运用。

不能因建立空间坐标系，减弱对直线与平面垂直关系的
要求。

否则，有可能因直线与平面垂直关系掌握不好，影响建立适当的空间坐标系，导致运算繁杂。

数学(理科)有三点调整
1.无增加、删除的考点
2.提法有变化的考点
(1)三角函数部分：“了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”变为“理解正弦
函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”。

[解读]同文科
(2)圆锥曲线方程部分：“理解椭圆的参数方程”变为“了解椭圆的参数方程”。

[解读]对椭圆的参数方程的考查减弱，但参数方程的概念和参数思想并未削弱，如会用参数法在圆、抛物线等中设参数点，会用交轨法求轨迹方程。

(3)极限部分：“理解闭区向上连续函数有最大值和最小值的性质”变为“了解闭区向上连续函数有最大值和最小值的性质”。

[解读]着重导数的应用，不延伸理论上的证明。

防止过热、过难。

数学文、理科考纲的变化不大，大部分调整只是在表述上进一步规范化，使之更贴近考试的要求。

仅在个别内容上要求有所提高。

文科增加了直线与圆的方程部分：“了解参数方程的概念”内容，这处考点对考生的要求不高，难度也不会太大。

从考纲变化的趋势上看，高考将提高对向量的运用要求，另外，对三角函数的要求也要提高一个层次，如将过去要求的“了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”改为了“理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”；文科增加了“了解参数方程的概念”，增加了“理解圆的参数方程”。

这部分的复习建议：
1、重视向量、函数，加强训练
2005年、2006年大纲都将向量放在“第一”的位置，考生应高度重视。

可着重训练平面向量关系式表征平面几何图形，即对向量的“形”的认识，可参照2005年全国高考卷（II）第8题、卷（I）第15题；将平面几何图形特征翻译为向量关系式，即对向量的“数”的认识，如2005年天津卷14题；在直线与圆锥曲线综合问题，向量融合在其中，如2005年天津卷21题、福建卷21题、湖南卷19题、全国卷（I）21题等。

2006年大纲将“正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质”由“了解”提高到“理解”，考生在复习中应相应作出调整，要比较熟练地画出三角函数图像，理解诸性质如对称中心、对称轴、周期、单调、最值(极值)的相依关系；要会对图象进行变换（先平移后伸缩、先伸缩后平移）。

在大题中，要注意“化简三角函数式，再研究性质和图像”类题目。

同时，极限部分“理解闭区向上连续函数有最大值和最小值的性质”变为“了解闭区向上连续函数有最大值和最小值的性质”。

这意味着会求就可以了.
2、“了解”不必盲目拔高
参数方程对理科学生而言，仅是“了解”层次，只需基本会用，不必盲目拔高；文科生要求“理解圆的参数方程”，要注意以下三点：会将圆的参数方程变成普通方程；会选择参数，将圆的普通方程变成参数方程；明白圆的参数方程中参数(角)的意义，并能由此展开相关的几何分析。

今年高考大纲数学理科将“闭区间上连续函数有最大值和最小值”由“理解”降低为“了解”，考生会用就行，不必追问“为什么”，它的证明不可能在中学完成，而是属于高等数学范畴，考生不必浪费时间。

（IV）题型示例进行了置换:
与2005年相比，题型示例保留20题,更换了13题,增加了2题.由33个增加至35个(主
要是填空题,保留2题,替换2题,增加2题)，认真研究、解读这35个题型示例，可以更好地理解考试大纲的要求，把握内容重点，提高复习效益，使复习备考更科学，更有针对性。

(II)2006年高考数学命题的中心
2006年高考数学自主命题的中心仍然是数学思想方法，考试命题有四个基本点：一，在基础中考能力，这主要体现在选择题、填空题、第17题和第18、19题的第（1）小题。

由于，基础中考能力，所以要注重解题的快法和巧法，能在32分钟左右，完成全部的选择填空题，这是夺取高分的关键。

二，在综合中考能力，主要体现在后三道大题。

三，在应用中考能力，在选择填空中，会出现一、二道大众数学的题目，在大题中有一道应用题。

四，在新型题中考能力。

这“四考能力”，围绕的中心就是考查数学思想。

数学考试大纲没有太大的变化。

主要坚持强调考查能力，但能力几乎无法操作。

而能力的载体是数学思想方法。

所以，高考更加考查数学思想方法。

与去年相比，试题的难度应与
去年全国高考试题持平。

（V）重点知识的复习
[1]高中数学的重点知识
新七大板块
1、函数与导数
函数是高中中教学内容的主干，是高考考查的重点。

在高中阶段对函数教学内容的学习划分为三个阶段，并不断深化，第一阶段，主要学习函数的概念，函数的图像与性质，以指数函数和对数函数为例，重点学习反函数和函数的关系、函数的单调性；第二阶段，是以三类三角函数为例，学习函数的奇偶性与周期性；第三阶段，是在学习函数极限、函数连续性的基础上，重点学习函数的导数，最终落实在导数的应用，由此给出了研究函数性质的一种新方法，即使用导数的方法研究函数的单调性、极大（小）值和最大（小）值。

在高考中函数问题更多的是与导数相结合，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质，应用函数的单调性证明不等式，体现出新的综合热点。

函数的六大性质：1、定义域。

2、值域。

3、周期性。

4、奇偶性（对称性）。

5、单调性。

6、最值与边界。

这六大性质是高考的重点，每年必考。

2、数列与极限
05年全国及各地高考试卷的解答题计有福建、重庆、辽宁、江苏、江西不同程度涉及了递推数列和数学归纳法。

高考试题均在压轴题上考查了有相当难度的递推数列问题。

递推数列侧重于思考能力,猜想能力,论证能力的考查,尤其是在立体几何利用向量工具代数化的背景下,它挑起了培养逻辑推理能力的重担。

递推数列沟通函数,解几,数学归纳法,不等式证明,数列的极限,导数的应用等知识,综合性广,灵活性大,技巧性强,作为理科的压轴题确实是比较理想的内容。

数学归纳法 (含猜想证明),本是数学的重要方法之一,深受大学老师青睐。

由于新教材把它作为理科选修内容后,被冷却了下来。

然而，热点很热，冷点不冷，05年许多省市就考查了数学归纳法,有些学生不很适应。

自从03年北京春季高考题考了一类研究数表规律的问题后,这类新颖题正异军突起，考题常出现在填空题中,运算量适中,应引起足够的重视。

3、不等式
不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本的很多章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种有利工具． 不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想． 随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题，尤其是与函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等
对使用平均值定理求最值的考查,由于导数的引入,考查要求有所下降,突出常规方法,淡化特殊技巧.
4、三角函数
在高考中把三角函数作为函数的一种，突出考查它的图像与性质，尤其是形如sin()y A x ωϕ=+的函数图像与性质，对三角公式和和三角变形的考查或与三角函数的图像与性质相结合，或直接化简求值，在化简求值的问题中，不仅考查考生对相关变换公式掌握的熟练程度，更重要的是以三角变形公式为素材，重点考查相关的数学思想和方法，主要是方程的思想和换元法。

三角函数的复习，主要是三角化归，三角公式是高速化归系统。

三角公式的记忆，非常好记，但不要死记硬背，应该记住几个主要公式，就能高速的推出所需要的公式。

记忆三角公式是一个非常有趣的事情。

比如，三角考试的重点就有一个三角变换问题。

它重点考查和角公式以后的系统。

和角公式是妈妈公式，她生了两个孩子，大孩子叫差角公式，和差角公式联合推出三化公式：“积化和差”、“和差化积”、“化一公式”，后来的三化公式不需要死记硬背，应该会用和差角公式高速推出。

而后者却是高考的重点。

她生的第二个孩子，叫做倍角公式。

由倍角公式推出“降幂公式”。

后二个公式也是高考的重点，但不需要记忆。

也要会由倍角公式高速推出。

在解题中还要会三角题的化归方法，这个方法是抓三个矛盾，做三种变换，简称“三变”。

孙悟空有七十二变，我们解三角题只需“三变”。

这“三变”是：变角、变函数、变式子。

这是三角解题通法。

因为三角问题的基本矛盾，就是角的差异、三角函数的差异、式子的差异。

解题时先观察这三个差异，抓住主要差异，实行“三变”，问题便迎刃而解了。

而三角公式就是这“三变”的工具。

5、直线平面及简单几何体。

立体几何总复习的目的是要掌握两种推理。

一、几何综合推理即以形解形，用已知的图形性质去求解图形的其他性质。

二、代数运算推理，这是一个现代推理，是国家大力提倡的数学推理。

它所使用的主要方法是坐标法和向量法。

由于，在中学讲述向量使得立体几何变成了一个空间解析几何。

它的思维方法和平面解析几何完全一样。

如果，学校选用的是B本那就太好了。

假如选择的是A本
那你要自学，把平面向量的知识类比到空间中去，自学空间向量的知识。

然后，练习用向量法解答立体几何问题。

第二，要学会两种化归：1、立体化平面。

2、立体化母体。

关于立体几何的解题思想，就是两种推理，两种化归。

立体几何解题思路千头万绪，归根结底就是引出两条辅助线?一条平行线，一条垂线。

所以，解题时注意垂直和平行这两个方面。

重点掌握住线面平行、线面垂直关系定理，入题的方向就会正确。

6、圆锥曲线
解析几何是历年高考的重点热点，主要有两部分知识：一是直线与圆，一是圆锥曲线。

从近几年高考试题看大致有以下三类：
（1）考查圆锥曲线的概念与性质；
（2）求曲线方程和求轨迹；
（3）关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题.
解几四大热点：
（一）解几的证明问题；（二）解几参数范围确定问题；（三）定值、最值问题；（四）轨迹问题与求曲线方程。

四大知识重组：
（一）解几与向量组合；（二）解几与立几组合
（三）解几与数列组合；（四）解几与导数组合
重点考查知识点
（一）直线与圆锥曲线；（二）各参数及其几何意义
常用数学思想与方法
（1）函数方程思想；（2）等价转化思想；
（3）分类讨论思想；（4）数形结合思想。

入题的方法
（一）联系判别式和韦达定理；
（二）注意运用定义解题；
（三）注意平几与三角知识运用。

7、概率与统计
高考对统计、概率内容的考查，往往以实际应用题出现，这既是这类问题的特点，也符合高考发展的方向。

概率应用题文科侧重于古典概率,基本上是排列与组合的分类问题，理科侧重于分布列与期望。

应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势，05年高考概率统计应用题多数省份出现在解答题前三题的位置，有个别省份有后移的趋势，如05年全国卷I、05年辽宁试卷出现在解答题第20题，可见概率统计在高考中属于中档题，在复习中应重点做到以下几个方面：
1、重视概率统计的基本知识、基本技能、基本方法的复习
要做到：①四个了解，即了解随机事件的统计规律性；随机事件的概率；互斥事件；相互独立事件．②四个会，即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率；会计算事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率；③理科还应重点掌握离散型随机变量分布列和数学期望。

2、重视教材的基础作用
教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，是高考试题的重要知识载体。

对05年全国各地高考试卷概率应用题背景统计：以“摸球”为背景的有山东卷、浙江卷、广东卷；以“体育竞赛（比赛胜负、射击、投篮命中率）”为背景的有全国卷II、江苏卷、北京卷、福建卷；其它的还有象投掷硬币（江西卷）、旅游（湖南）、照明（湖北）等，这些背景在教材中均可找到与其相关的习题、例题。

可见高考试卷中的概率统计试题，大多数试题源于教材，特别是客观题都是从课本上的练习题或习题改编的，既使是综合题，也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用。

P复习参考题十A组23题的改编。

如2005年全国理科III卷第17题即高中数学第二册（下B）
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因此复习阶段必须按《教学大纲)和《考试大纲》对本部分内容的要求，以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果。

3、合理选择方法是提高解题速度的有效手段
例（05年全国III理科17题）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125 （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率
简析：（Ⅰ）略
（Ⅱ）若直接求这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率则需用分类方法来解决（分类需分三类7种情况），而考虑运用该事件的对立事件来求（只需考虑一种情况：三台机器都不需要照顾的情况即可），这样处理，使运算简捷、合理，并大大降低了计算的出错率。

福建理科第18题（2）也应如此处理，方显简单。

4、注意高考概率统计命题的新变化
在2005年的高考数学试题中，概率试题及概率与统计试题出现了一些综合题，这些题目综合的角度与前几年有所不同，是今年高考试题命制的新亮点．例如，概率与方程的综合(江西卷，山东卷，全国卷Ⅲ)；概率，离散变量的分布列、期望与函数综合(湖南卷)，与线性规划综合(辽宁卷),与立体几何综合(湖北)等等，把概率统计问题与方程，函数，线性规划、立几结合在一起，题目的每一个局部都不困难，但是由于立意较新，有利于考查考生灵活与综合运用基础知识的能力以及分析问题和解决问题的能力，建议在复习中注意对概率统计问题的归类整理。

七块主干在高考命题中的主要综合(交汇点)是：“函数、方程与不等式的综合”、“函数与数列的综合”、“解析几何与几何、代数、三角的综合”、“导数与其它内容的融汇”、“向量与其它内容的融汇”。

[2]七种数学思想方法:
数学思想方法是数学知识的精髓,是数学思维的内核,是知识转化为能力的催化剂.因此,在在高考总复习中,我们应当着意关注数学思想的挖掘和提炼,考生们应逐步学会用函数与方程思想建立知识与知识之间的相互关系,用数形结合与分离的思想体现数与形之间的定性与定量的相互映证,用分类与整合的思想落实局部与整体之间的融合关系,用化归与转化思想完成问题与问题之间的相互转化,用特殊与一般的思想发展具体与抽象的辩证思维,用有限与无限的思想实现量变向质变的伟大跨越,用或然与必然的思想揭示随机现象内部所蕴涵的规律.走出题海,少而精的对一些具有数学特点的问题进行探索和研究,善于从数和形的角度进行观察和分析,会用准确、精练的数学语言进行表述和交流，以此形成和发展理性思维，培养和提高数学能力。

在高考中还有⑴猜想、论证的思想；⑵运动、变化的思想；⑶对称的思想；⑷主元的思想。

[3]二十几种重要技能：
韦恩图法、排除法、特例法、定义法、换元法、拆项法、配方法、构造法、判别式法、建模法、赋值法、分母（分子）有理化法、比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法、割补法、基面法、待定系数法、坐标法、参数法、极限法等。

[4]重点知识的复习建议
（VI ）一些信息
1、 命题专家比较欣赏的三个题目:
例1(全国III 第6题)若ln 2ln 3ln 5,,,235
a b c ===则 （ ） A ．a b c << B ．c b a << C ． c a b << D.b a c <<
例2(天津理第9题)设11()()()(1),2
x x f x f x a a a --=->是函数的反函数则使
1()1f x x ->成立的的取值范围为 ( ) A. 21(,)2a a
-+∞ B.21(,)2a a --∞ C. 21(,)2a a a
- D.[,)a +∞
解法一:由已知容易求得1()log (1log ,a a f x x a -=>=。