《凹凸性渐近线作》PPT课件

0
5
x
ezplot('x*(x-1)*y=1',[-10 10])
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10
22
(2)水平渐近线 若limf(x)b,则 直y线 b是 曲
x (x )
yf(x)的水平渐 . 近线
注意：只有当函数的定义域是无穷区间时， 其曲线才有可能存在水平渐近线．
20
例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为 lim 1 ,
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0 和x 1 是曲线的两条铅直渐近线．
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21
y=1/x(x-1) 10
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
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-5
y'15x26x7, y''30x6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
x ( ,1 )
1
5
5
(1 , ) 5
y '' -
0
+
y
凸
8 2
5
拐点
凹
在 x 1 两侧 y ' ' 符号发精选课生件ppt改变,则 ( 1 , 8 )是拐12 点．
5
5 25
1
例3.求曲线 y x 3 的拐点．
(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方
2021/1/21
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3
（一） 凹凸性定义
设 f (x)在 区 间 I上 连 续,如 果 对 I上 任 意 两 点
x1 , x2恒 有 :
f
x1
2
x2
f ( x1 ) 2
f (x2)
则 称 f (x)在 该 区 间 上 的 图 形 是 凹 的 ;如 果 恒 有 :
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二、曲线的渐近线
如 果 曲 线 上 一 动 点 沿 曲 线 趋 于 无 穷 远 时 , 动 点 与 某 一 直 线 的 距 离 趋 于 零 ,则 称 该 直 线 为 曲 线 的 一 条 渐 近 线 .
y
y f(x)
P
•
ykxb
o
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M
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x
18
曲线渐近线的分类 (1)铅直渐近线
13
y=x1/3
3
2
1
y
0
-1
-2
--310
-5
0
5
10
x
x=linspace(-10,10);
y=nthroot(x,3);
plot(x,y)
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14
例4.求曲线 y 1 的拐点．
x
解 函数 y 1 的定义域为 (,0) (0,)
x
y'
1 x2
,
y''
2 x3
由于 y
y
y f(x)
定理1：（拐点必要条件）
设 f (x)有二阶导数,
(•x0, f(x0)
若(x0, f (x0 ))为 f (x)的
x
拐点,则有f (x0 ) 0.
o x0
2021/1/21
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定理2（拐点的充分条件）
设f 在点x0的某邻域内有二阶, 导 若f 在x0两侧异号 ,则(x0, f (x0))是f 的一 个拐点 .
10
求拐点的一般步骤：
（1）求函数的定义域；
（2）求二阶导数；
（3）求定义域内使二阶导数等于零 或二阶导数不存在的点；
（4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果 符号不同,该点就是拐点的横坐标；
（5）求出拐点的纵坐标．
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例2.求曲线 y5x33x27x1凹、凸区间 及拐点．
解：函数的定义域为 (,)
2021/1/21
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9
例1.判断曲线 y x 4 的凹凸性.
解:
y 4 x3 , y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时 , y 0,
y Ox
故曲线 y x 4 在 (, ) 上是凹的.
说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二 阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .
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1 x
在x
0
处没有定义,所以该曲线
没有拐点．
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15
y=1/x 10
5
y
0
-5
-10 -10
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-5
0
5
x
ezplot('x*y=1',[-10 10])
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10
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作业
P108 习题4 20(2)(3) 21
预习：P112—115
2021/1/21
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f
x1
2
x2
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
则 称 f (x)在 该 区 间 上 的 图 形 是 凸 的 .
2021/1/21
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4
凹曲线的一阶导数变化规律：
若 f( x ) 是 凹 函 数 , 则 f ( x ) 单 调 增 加 ；
2021/1/21
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5
凸曲线的一阶导数变化规律：
(2)若 在 (a, b)内f(x)0, 则f(x)在 [a, b]是 凸 函 数 .
2021/1/21
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（三 ） 拐点
设 点 (x0,f(x0))是 曲 线 yf(x)上 的 一 个 点 ，
在 该 点 两 侧 曲 线 凹 凸 性 相 反 ,则 称 点 (x0,f(x0))
为 曲 线 yf(x)的 拐 点 .
1
解:函数 y x 3 的定义域为 (,)
y'
1
2
x 3,
y
''
2
5
x3
2
3
9
9x3 x2
当 x 0 时， y '' 不存在． 当 x 0 时， y '' 0; 当 x 0 时， y '' 0, 在 x 0 的两侧，y '' 的符号发生改变.点
( 0 , 0 ) 是该曲线的拐点．
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函数的凹凸性、渐近线 与作图
一、函数的凹凸性 二、曲线的渐近线 三、函数作图
2021/1/21
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1
一、函数的凹凸性
若在某区间内,曲线上每一点的切线都位 于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的； 若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，
则称曲线在该区间内是凸的．
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2
(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方
若 f( x ) 是 凸 函 数 ,则 f ( x ) 单 调 减 少 .
2021/1/21
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（二）凹凸性的判定 定理1：( 用二阶导数判定函数的凹凸性 )
设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 连 续 ,在 (a ,b )内 二 阶 可 导 , 那 么
(1)若 在 (a, b)内f(x)0, 则f(x)在 [a, b]是 凹 函 数 ;
y xa
若 lim f ( x ) ( ) x a
(或 lim f ( x) ( ))
x a
oa x
则直线 xa
y f(x)
为 曲 线 y f ( x )的
铅直渐近线.
2021/1/21
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o
2
x
o
2
x
2021/1/21
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