威宁彝族回族苗族自治县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

威宁彝族回族苗族自治县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为5，
则n =（ ）
A ．35
B ． 36
C ．120
D ．121
2． 记
,那么
A
B
C D
3． （m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1） C
． D
．
4． 在△ABC 中，C=60°，
AB=，AB
边上的高为，则AC+BC 等于（ ）
A
． B ．5 C ．3 D
．
5． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（ ）
A ．点A 处
B ．线段AD 的中点处
C ．线段AB 的中点处
D ．点D 处
6． 底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ） A ．36π
B ．48π
C ．60π
D ．72π
7． 已知f （x ）=2sin （ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的表达式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣或﹣
9． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．y=|x|（x ∈R ）
B ．y=（x ≠0）
C ．y=x （x ∈R ）
D ．y=﹣x 3（x ∈R ） 10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．
34 D ．3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
12．如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）
A ．12
B ．34 C. D 二、填空题
13．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1
2
12
||z z z +在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 14．若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 ．
15．已知x ，y 为实数，代数式222
2)3(9)2(1y x x y ++
-++-+的最小值是 .
【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X 的值为2，则输出的结果是 ．
17．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（为自然对数的底数），若
，则实数的取值范围为______．
18．设α为锐角，若sin（α﹣）=，则cos2α=．
三、解答题
19．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图
2．
（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．
20．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：=1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．
21．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．
22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆
的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．
23．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
24．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．
（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求
实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
威宁彝族回族苗族自治县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114
n n n n
a a a a ++-=
+得
2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴2
44(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得
2n a n
=
．
111
(1)2212
n
n n n
a a n n +==+-++
+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为
1111
(21)(32)(1)(11)52222
n n n -+-+++-=+-=，∴120n =，选C ． 2． 【答案】B 【解析】【解析1】
,
所以
【解析2】
，
3． 【答案】C
【解析】解：不等式（m+1）x 2
﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立，
即（m+1）x 2
﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立
若m+1=0，显然不成立 若m+1≠0，则 解得a ．
故选C ．
【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．
4． 【答案】D
【解析】解：由题意可知三角形的面积为S===AC •BCsin60°，
∴AC •BC=．由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC •BCcos60°=（AC+BC ）2
﹣3AC •BC ，
∴（AC+BC ）2
﹣3AC •BC=3，
∴（AC+BC ）2
=11．
∴AC+BC=
故选：D
【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．
5． 【答案】A
【解析】解：如图，
E 为底面ABCD 上的动点，连接BE ，CE ，D 1E ， 对三棱锥B ﹣D 1EC ，无论E 在底面ABCD 上的何位置， 面BCD 1 的面积为定值，
要使三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则侧面BCE 、CAD 1、BAD 1 的面积和最大， 而当E 与A 重合时，三侧面的面积均最大，
∴E 点位于点A 处时，三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大． 故选：A ．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
6． 【答案】
【解析】选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ， 则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2，
又V 四棱锥P －ABCD ＝1
3
S 矩形ABCD ·PO
＝13abR ≤23R 3. ∴2
3
R 3＝18，则R ＝3， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A.
7．【答案】B
【解析】解：∵函数的周期为T==，
∴ω=
又∵函数的最大值是2，相应的x值为
∴=，其中k∈Z
取k=1，得φ=
因此，f（x）的表达式为，
故选B
【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质，周期与相位等概念，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解；
当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）==0，f（0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；
所以a+b==﹣；
故选：B
9．【答案】D
【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，
y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件，
y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件，
y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，
故选：D
10．【答案】A
【解析】解：几何体如图所示，则V=，
故选：A ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．
11．【答案】B
12．【答案】B 【解析】
试题分析：在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，11BC AD ==AF x =x
解得x =
，即菱形1BED F =，则1BED F 在底面ABCD 上的投影四边形是底边为34，高为的平行四边形，其面积为3
4
，故选B. 考点：平面图形的投影及其作法.
二、填空题
13．【答案】D
【解析】
14．【答案】（1，2）．
【解析】解：∵f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），
∴0＜a＜1，x＞0，
若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），
则，
解得：1＜x＜2，
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
15．
【解析】
16．【答案】﹣3．
【解析】解：分析如图执行框图，
可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．
当x=2时，f（x）=1﹣2×2=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．
17．【答案】
【解析】令，则
所以为奇函数且单调递增，因此
即
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
18．【答案】﹣．
【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，
∴cos（α﹣）=，
∴sin=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC中，由已知可得：AC⊥DE．在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，即可证明DE⊥平面A1DC，再利用面面垂直的判定定理即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为，利用，BE与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，利用=
（0＜x＜6），即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，则AC⊥DE，
∴在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，
又∵A1D∩DC=D，∴DE⊥平面A1DC，
∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1DC，
∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
E（2，0，0）．
则，，
设平面A1BC的法向量为
则，解得，即
则BE与平面所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，在（2）的坐标系下有：A1（0，0，6﹣x），B（3，x，0），∴==（0＜x＜6），
即当x=3时，A1B长度达到最小值，最小值为．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2=1，
由可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．
（Ⅱ）射线与曲线C1的交点A的极径为，
射线与曲线C2的交点B的极径满足，解得，
所以．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA
∵△PCD为正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理得EM=，AM=，AE=3
∴EM2+AM2=AE2，∴∠AME=90°
∴AM⊥PM
（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V P﹣ADM=V D﹣PAM
∴
而
在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=
∴
∴
∴，即点D到平面PAM的距离为
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，
又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…
∴椭圆方程为：．…
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）
联立消去y并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0…
则，
于是…
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．
∴…
由m≠0得：
又由△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，得：0＜m2＜2
显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，
直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）…
设原点O到直线的距离为d，则
∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即⇒b=1，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣=
因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞0
即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数
（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜﹣．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．
24．【答案】
【解析】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．…
当a=2，b=1时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，
f′（x）=﹣2x﹣1=﹣．
令f′（x）=0，解得x=．…
当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．…
（2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]，
所以k=F′（x0）=≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…
所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈[2，3]…
当x0=2时，﹣x02+x0取得最大值0．所以a≥0．…
（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，
因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴m=1+，…
设g（x）=1+，则g′（x）=．…
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，…1 0分
∴g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，…
所以m=1+，或1≤m＜1+．…。