贵州省安顺市2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题含解析

贵州省安顺市2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()f x = ）
A ．{2x x ≤或}3x ≥
B ．{3x x ≤-或}2x ≥-
C ．{}23x x ≤≤
D ．{}
32x x -≤≤- 【答案】A
【解析】
【分析】 根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域.
【详解】
由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥.
因此，函数()y f x =的定义域为{
2x x ≤或}3x ≥.
故选：A.
【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．若AB 为过椭圆22
116925
x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ） A ．20
B ．30
C ．50
D ．60 【答案】D
【解析】
【分析】
先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.
【详解】
由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，
则1F AB ∆的面积为122
S OF y c y =⨯⨯=， 当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，
由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，
又由22116925
x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-， 所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-⨯=.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.
3．已知双曲线221x y a
+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ） A ．3
B ．3
C ．33-
D ．3- 【答案】D
【解析】
【分析】 由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.
【详解】
由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x a
=-， Q 一条渐近线的倾斜角为
56π，53tan 63a
π==--，解得：3a =-. 故选：D .
【点睛】 本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.
4．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）
A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，表示的可行域，如图，
由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31
x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+，
平移直线2y x z =-+，
由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时，
直线在y 轴上的截距最大，
z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()
22lg lg f x x <的解集为（ ）
A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()10,10,10骣琪??琪桫
C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()10,+∞ 【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.
【详解】
设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函
数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，
则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，
解得10x >或1010
x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭
.故选:B . 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.
6．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）.
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】C
【解析】
【分析】
若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可.
【详解】
由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以22212323a a a a a =++， 22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍）， 故2(1)7(2)82
n n n S n n n -=+
⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.
7．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
2z x y =+等价于2y x z =-+，作直线2y x =-，向上平移，
易知当直线经过点()2,0时z 最大，所以max 2204z =⨯+=，故选D ．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
8．231+=-i i
（ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122
i - 【答案】A
【解析】
【分析】
分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可.
【详解】
解:23(23)(1)151(1)(1)22
i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A
【点睛】
本题考查复数的除法运算,属于基础题.
9．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(0,1]
B ．3(0,]4
C ．3[,1]4
D ．[1,)+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
根据A φ≠，得到2()1f x ax x x =-+≤有解，则440a ∆=-≥，得01a <≤，
1211,x x a a +==，得到12{|()}[]11,[A x f x x x x a a
-≤===，再根据{|(())()}B x f f x f x x =≤≤，有(())()f f x f x ≤，即()()
22212110a ax x ax x -+--++≤，可化为
()()2222110ax x a x a +-+-≤，根据A B φ=≠，则2210a x a -≥+的解集包含11[,]a a +求解，
【详解】
因为A φ≠，
所以2()1f x ax x x =-+≤有解，
即2()210f x ax x =-+≤有解，
所以440a ∆=-≥，得01a <≤，12x x ==
所以12{|()}[]11,[A x f x x x x a a
-≤===， 又因为{|(())()}B x f f x f x x =≤≤，
所以(())()f f x f x ≤，
即()()22212110a ax x ax x -+--++≤，
可化为()()
2222110ax x a x a +-+-≤，
因为A B φ=≠，
所以2210a x a -≥+的解集包含11[a a
-+，
所以1a a ≤
或1a a
≥， 解得314
a ≤≤， 故选：C
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题， 10．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）
A ．2
B ．2
C
D
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x 、y 轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．
【详解】
设双曲线C 的渐近线方程为y=kx
1k ∴=， ， 得双曲线的一条渐近线的方程为
y =∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x
轴上时有： b c e a a ==＝ ②当焦点在y 轴上时有：
2a c e b a ==； ∴求得双曲线的离心率 2
或
3
． 故选：A ．
【点睛】
本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．
11．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ）
A ．9
B ．－9
C ．212
D ．214
- 【答案】C
【解析】
【分析】 根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.
【详解】
∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨
=⎩或5836
a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则 当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222
a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当58
36a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.
12．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2 【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；
【详解】
f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），
因为f′（x ）11
x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1，
故选：B ．
【点睛】
本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，斜率为22的直线过F 且与抛物线交于A
B ，两点，O 为坐标原点，若A 在第一象限，那么AFO BFO
S S =V V _______________． 【答案】2
【解析】
【分析】
如图所示，先证明||||
AFO BFO S AF S BF =V V ，再利用抛物线的定义和相似得到||2||AFO BFO S AF S BF ==V V . 【详解】
由题得1||||sin 2AFO S OF AF AFO ∆=⋅∠,1||||sin 2
BFO S OF BF BFO ∆=⋅∠. 因为,sin sin AFO BFO AFO BFO π∠+∠=∴∠=∠.
所以||||
AFO BFO S AF S BF =V V , 过点A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作BE AM ⊥于点E,
设|BF|=m ，|AF|=n ，则|BN|=m ，|AM|=n ，
所以|AE|=n-m ，因为22AB k =所以|AB|=3(n-m)，
所以3(n-m)=n+m ，
所以2n m
=.
所以||=2||AFO BFO S AF n S BF m
==V V . 故答案为：2
【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．在矩形ABCD 中，4BC ＝，M 为BC 的中点，将ABM V 和DCM △分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与C 重合于点P .若150APD ∠︒＝，则三棱锥M PAD ﹣的外接球的表面积为_____.
【答案】68π.
【解析】
【分析】
计算ADP △外接圆的半径r ，并假设外接球的半径为R ，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，
然后根据PM ⊥面PAD ，2
22PM 2R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】
由题意可知，MP PA MP PD PD PA P ⊥⊥⋂，，＝，
所以可得PM ⊥面PAD ，
设ADP △外接圆的半径为r ， 由正弦定理可得AD 2sin APD
r =∠，即42sin150r =︒，4r =， 设三棱锥M PAD ﹣外接球的半径R ，
因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点， 则222PM 116172R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
， 所以外接球的表面积为2468S R ππ＝＝.
故答案为：68π.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.
15．已知函数221,1()(1),1x x f x x x ⎧-+≤=⎨
->⎩函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为____． 【答案】[2,2]-
【解析】
()()23,11,111,1x x f x x x x x ⎧+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎩，()()2
3,11,111,1x x f x x x x x ⎧->⎪⎪
-=+-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩，
所以()2234,1
2,11
34,1x x x g x x x x x ⎧++<-⎪
=-≤≤⎨⎪-+>⎩
， 所以()2g x ≤的解集为[]22-,。

点睛：本题考查绝对值不等式。

本题先对绝对值函数进行分段处理，再得到()f x -的解析式，求得()g x 的分段函数解析式，再解不等式()2g x ≤即可。

绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理。

16．在ABC V 中，4a =，5b =，6c =，则cos A =________，ABC V 的面积为________． 【答案】34 157
4
【解析】 【分析】
利用余弦定理可求得cos A 的值，进而可得出sin A 的值，最后利用三角形的面积公式可得出ABC V 的面积. 【详解】
由余弦定理得2222225643cos 22564
b c a A bc +-+-===⨯⨯，则27
sin 1cos A A =-=
， 因此，ABC V 的面积为117157
sin 562244
ABC S bc A =
=⨯⨯⨯=
V . 故答案为：34；
157
. 【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点，满足//PA 平面BDE .
（Ⅰ）证明：PE EC =；
（Ⅱ）设1PD AD BD ===，2AB =，若F 为棱PB 上一点，使得直线DF 与平面BDE 所成角的大
小为30°，求:PF FB 的值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）:1:1PF FB = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由//PA 平面BDE ，可得//PA EM ，又因为M 是AC 的中点，即得证；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设()01PF PB λλ=<<u u u r u u u r
，计算平面BDE 的法向量，由直线DF 与平
面BDE 所成角的大小为30°，列出等式，即得解. 【详解】 （Ⅰ）如图，
连接AC 交BD 于点M ，连接EM ， 则EM 是平面PAC 与平面BDE 的交线， 因为//PA 平面BDE ， 故//PA EM ，
又因为M 是AC 的中点， 所以E 是PC 的中点， 故PE EC =.
（Ⅱ）由条件可知，222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，
DP 为z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1P ，()1,1,0C -，111,,222E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，111,,222DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u u u
r ，
()0,1,0DB =u u u r
设()01PF PB λλ=<<u u u r u u u r
，
则()0,,1F λλ-，()0,,1DF λλ=-u u u r
设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r
，
则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u v v u u u v v ，即00x y z y -++=⎧⎨=⎩，故取()1,0,1n =r
因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30°
所以1sin 302DF n DF n
⋅=︒=u u u r r
u u u
r r ，
12=
，
解得1
2
λ=
，故此时:1:1PF FB =. 【点睛】
本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.
18．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的*
()
n n N ∈个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为
1
2
，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． （1）当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n =时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为5
16
； （2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）将有3个坑需要补种表示成n 的函数，考查函数随n 的变化情况，即可得到n 为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n ＝1时，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，1．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】
（1）对一个坑而言，要补播种的概率33
0133111222
P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，
有3个坑要补播种的概率为312n
n
C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 欲使312n
n C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1
3311
33111221122n n n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩， 解得56n ≤≤，因为*n N ∈，所以5,6,n =
当5n =时，5
35
15216
C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；
当6n =时，6
3615216
C ⎛⎫= ⎪
⎝⎭； 所以当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为
516
. （2）由已知，X 的可能取值为0，1，2，3，1.14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
，
所以X 的分布列为
X 的数学期望422
EX =⨯
=. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．
19．已知12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C 交于,A B 两点，
290AF B ∠=o ，且220
9
F AB S ∆=
． （1）求C 的方程；
（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．
【答案】（1）22
154
x y +=（2）45
【解析】
【分析】
（1
）不妨设2,3A a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭
，计算得到22
45a b =
，根据面积得到a b ⋅=到答案.
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00
122
mx y x x +=
，22
2
0120
4
m x x x x =-，代入化简计算得到答案. 【详解】
（1
）由题意不妨设2,33A a b ⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
，2,3
3B a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
则223b F A c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r
，223b F B c ⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
u u u u r ．
∵290AF B ∠=o
，∴22
22254099
b F A F B
c a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =．
又2
1220
239
F AB b S ∆==
，∴a b ⋅=
∴a =2b =，故C 的方程为22
154
x y +=．
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则0
OP y k x =．∵0OP MN k k +=， ∴0
0MN y k x =-
，设直线MN 的方程为
()00
0y y x m m x =-+≠， 联立0022
,1,5
4y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222
000004510540x y x mx y x x m +-+-=． ∵P 在C 上，∴22
004520x y +=，∴上式可化为(
)
22
2
0004240x mx y x x m -+-=．
∴00122mx y x x +=，22
2
0120
4m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()22000
1212042225
m y y mx y y x x m x -+=-++=
=， ()2
20000121212122000
0y y y my
y y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
222
2
22
0000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝
⎭，
∴()()()222
2
22
0001020120120
00
255
m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 222000
25
m x mx y -=
()()()
2222000
1020120120
24
m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴102010204
5
PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--．
【点睛】
本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长
度服从正态分布2
(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，
则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．
（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；
（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．
附：若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，则
5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．
【答案】（1）见解析（2）需要，见解析 【解析】 【分析】
（1）由零件的长度服从正态分布2
(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合
格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ；
（2）由题可得不合格率为2
50
,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 【详解】
（1）14950
50(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,
由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为
250
, 若不检查,损失的期望为252
()2602020505E Y n n =⨯⨯
-=-； 若检查,成本为10n ,由于522
()1020102055
E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2
()102005
E Y n n -=->,
所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 【点睛】
本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力. 21．已知函数2()ln f x ax a x =--，[0,)a ∃∈+∞,使得对任意两个不等的正实数12,x x ，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-恒成立.
（1）求()f x 的解析式； （2）若方程
1
()2f x m x
=+有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：121x x +>. 【答案】（1）()ln f x x =-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据题意，()f x 在(0,)+∞上单调递减，求导得2
121
()2(0)ax f x ax x x x
'
-=-=>，分类讨论()
f x 的单调性，结合题意，得出()f x 的解析式； （2）由12,x x 为方程
1()2f x m x
=+的两个实根，得出111ln 2x m x +=，221ln 2x m x +=，两式相减，分别算出1x 和2x ，利用换元法令12x t x =和构造函数1
()2ln ,01h t t t t t
=--<<，根据导数研究单调性，求出()(1)0h t h <=，即可证出结论. 【详解】
（1）根据题意，()f x 对任意两个不等的正实数12,x x ，都有()()
1212
0f x f x x x -<-恒成立.
则()f x 在(0,)+∞上单调递减，
因为2121
()2(0)ax f x ax x x x
'
-=-=>，
当0a =时，()0,()f x f x '
<在(0,)+∞内单调递减.， 当0a >时，由()0f x '=
，有x =
此时，当x ⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '
<单调递减，
当x ⎫
∈+∞⎪⎭
时，()0,()f x f x '>单调递增， 综上，0a =，所以()ln f x x =-. （2）由12,x x 为方程1
()2f x m x
=+的两个实根， 得1212
11ln ,ln 22x m x m x x +
=+=， 两式相减，可得1212
11
ln ln 022x x x x -+
-=， 因此1221
121122
11,2ln 2ln
x x x x x x x x x x --==， 令1
2
x t x =
，由12x x <，得01t <<， 则1211
112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t
-
-
-+=+
=， 构造函数1
()2ln ,01h t t t t t
=--<<.
则2
22
12(1)()10t h t t t t
-'=+-=>， 所以函数()h t 在(0,1)上单调递增， 故()(1)0h t h <=，
即12ln 0t t t
--<， 可知112ln t t t
->，
故121x x +>，命题得证. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力.
22．如图,设点2(1,0)F 为椭圆22
22:1(
0)x y E a b a b
+=>>的右焦点，圆222:(),C x a y a -+=过2F 且斜率
为(0)k k >的直线l 交圆C 于,A B 两点，交椭圆E 于点,P Q 两点，已知当3k =
时，2 6.AB =
（1）求椭圆E 的方程.
（2）当210
3PF =时，求PQC ∆的面积. 【答案】（1）2
2
198x y +=（2）
409
【解析】 【分析】
（1）先求出圆心(),0C a 到直线l 的距离为()
2
33
31
a d -=
+26AB =()2
23164
a a -+
=，
解之即得a 的值，再根据c=1求出b 的值得到椭圆的方程.(2)先求出81,3P ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，716,39Q ⎛⎫
⎪⎝
⎭，再求得PQC ∆的面积()
2140
29
Q P S CF y y =⋅-=.
【详解】
(1)因为直线l 过点()21,0F ，且斜率3k =
所以直线l 的方程为)31y x =-330x y -=，
所以圆心(),0C a 到直线l 的距离为()
2
33
31
a d -=
+
又因为26AB =C 的半径为a ，
所以2
22
2AB d a ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭，即()2
23164
a a -+=， 解之得，3a =或9a =-（舍去）. 所以2228
b a
c =-=，
所以所示椭圆E 的方程为22
198
x y += .
(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为:9m x =，离心率1
3
c e a =
=， 则点P 到右准线的距离为
21031013
PF d e
===， 所以910P x -=，即1P x =，把1P x =-代入椭圆方程22
198
x y +=得，83P y =±，
因为直线l 的斜率0k >， 所以83P y =-
，81,3P ⎛
⎫∴-- ⎪⎝
⎭
因为直线l 经过()21,0F 和81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
， 所以直线l 的方程为()4
13
y x =
-， 联立方程组()22
41,3
1,9
8y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23470x x --=， 解得1x =-或7
3
x =， 所以716,39Q ⎛⎫
⎪⎝
⎭， 所以PQC ∆的面积()21116840
222939
Q P S CF y y ⎛⎫=⋅-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
23．设a b
c d ，，，
都是正数，且x =
，y =
xy ≥．
【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
利用比较法进行证明：把代数式(
)()()2
22
2
2,a b
c
d ac bd +++展开、作差、化简可得,
()
2
0ad bc -
≥,
0ac bd ≥+>
成立,
0ad bc ≥+>,由此不等式
得证.
【详解】
证明:因为()()222222222222a b c d a c a d c b b d ++=+++,
()222222ac bd a c abcd b d +=++，
所以()()()2222222222a b c
d ac bd a d abcd c b ++-+=-+ ()20ad bc =-≥， ∴ ()()()2
2222a b c d ac bd ++≥+成立，又a c b d 、、、都是正数，
0ac bd ≥+>，①
0ad bc +>，
∴xy ≥．
【点睛】
本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。