人教A版选修2-1第三章3.2.1空间向量与平行关系复习课件

6．如右图所示，O 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的底面中心，P 是 DD1 的中点，Q 点在 CC1 上，问： 当点 Q 在 CC1 的什么位置时，平面 BD1Q∥平面 APO?
解：如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为 2，则 O(1,1,0)，P(0，0,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， D1(0,0,2)．
x2＋x，－x)，若 l∥α，则 x 的值是( )
A． 2
B．－ 2
C．2
D．± 2
解析：∵l∥α，∴v⊥n，∴(－1,1,1)·(2，x2＋x，－x)＝0，即 －2＋x2＋x－x＝0，∴x＝± 2.
答案：D
4．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
解：如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为 2，则 O(1,1,0)，P(0，0,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， D1(0,0,2)．
设 Q(0,2，z)(0≤z≤2)， 那么O→P＝(－1，－1,1)， B→D1＝(－2，－2,2)， ∴O→P∥B→D1.又 B∉OP，∴OP∥BD1.
解析：A→B＝12，2，72－－12，0，12＝(1,2,3)＝313，23，1.
答案：A
2．已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的一个法向
量可以表示为( )
A．a＝(－1,2,2)
B．a＝(1，－2,2)
C．a＝(1,2,2)
D．a＝(－1，－2,2)
3．直线与平面平行 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直：设直线 l 在平 面 α 外，a 是 l 的一个方向向量，b 是平面 α 的一个法向量，那么 l∥α⇔__a_⊥__b___⇔___a_·b_＝__0____.a∥平面 α⇔表示以 a 为方向向量 的直线与 α 平行或在平面 α 内，因此也可用向量证明线面平行．
解析：设平面 ABC 的法向量 a＝(x，y，z)， 则 aa··AA→→BC＝＝00，， 得24xx＋＋25yy＋＋z3＝z＝0，0， 令 z＝2， 得 a＝(1，－2,2)． 答案：B
知识点二 证明线面平行
3．直线 l 的方向向量 v＝(－1,1,1)，平面 α 的法向量 n＝(2，
3.2.1 空间向量与平行关系
基础知识梳理
利用向量解决平行问题 1．设 a，b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为 a， b，那么 a∥b⇔__a_∥__b___.根据实数与向量积的定义：a∥b⇔ ___a_＝__k_b_(_k_∈__R_，__k_≠_0_)_______． 2．平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行：设 两个不重合的平面 α，β 的法向量分别为 a，b，那么 α∥β⇔ __a_∥__b___.
题点知识巩固
知识点一 直线的方向向量，平面的法向量
1．若点 A－12，0，12，B12，2，72在直线 l 上，则直线 l 的 一个方向向量为( )
A．13，23，1
B．13，1，23
C．23，13，1
D．1，23，13
又A→P＝(－2,0,1)，B→Q＝(－2,0，z)， 显然当 z＝1 时，A→P∥B→Q，由于 B∉AP， ∴AP∥BQ. ∵OP 与 AP 是平面 APO 内的两条相交直线， BD1 与 BQ 是平面 BD1Q 内的两条相交直线， ∴平面 BD1Q∥平面 APO. ∴当 Q 为 CC1 的中点时，平面 BD1Q∥平面 APO.

证明：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为 1， 则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，M0，1，12，N12，1，1，
于是D→A1＝(1,0,1)，M→N＝12，0，12， ∴D→A1＝2M→N，∴D→A1∥M→N， ∴DA1∥MN. 而 MN⊄平面 A1BD，DA1⊂平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD.
(2)已知直线 a⊄α，A，B∈a，C，D，E∈α，且 C，D，E 三 点不共线，则 a∥α 的充要条件是存在有序实数对 λ，μ 使A→B＝λC→D ＋μC→E(常先设A→B＝λC→D＋μC→E，再求解 λ，μ 的值．若 λ，μ 存在 即证完；若 λ，μ 不存在，则直线 AB 与平面 α 相交)．
知识点三 证明面面平行
5．若平面 α 的法向量 m＝(1,2，－1)，平面 β 的法向量 n＝
(－3，－6,3)，则 α 与 β 的关系为( )
A．α∥β
B．α 与 β 相交但不垂直
C．α⊥β
D．以上均有可能
解析：∵m＝(1,2，－1)＝－13(－3，－6,3)＝－13n，
∴m∥n，∴α∥β.
答案：A