四川省成都市高中数学第二章推理与证明综合检测新人教A版选修2-2(2021年整理)

四川省成都市高中数学第二章推理与证明综合检测新人教A版选修2-2 编辑整理：
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第二章推理与证明
综合检测
一、选择题
1。

自然数都是整数,4是自然数,所以4是整数。

以上“三段论"推理()。

A。

正确
B.推理形式不正确
C。

两个“自然数”概念不一致
D。

“两个整数”概念不一致
【解析】“三段论”中的大前提，小前提及推理形式都是正确的.
【答案】A
2。

余弦函数是偶函数，f（x)=cos（x+1)是余弦函数,因此f（x)=cos(x+1)是偶函数，以上推理(）.
A。

结论正确 B.大前提不正确
C。

小前提不正确 D.全不正确
【解析】因为f(x）=cos(x+1)不是余弦函数,所以小前提错误。

【答案】C
3.下列推理不是合情推理的是(）.
A.由圆的性质类比推出球的有关性质
B。

由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C。

某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
【解析】A是类比推理，B、D是归纳推理,C不是合情推理。

【答案】C
4。

若f(n）=1+++…+(n∈N＊),则当n=2时，f(n)等于（）.
A.1+
B.
C。

1++++D。

均不正确
【解析】∵f(n)=1+++…+，分子是1，分母是1，2，3,…，2n+1,故当n=2时,f（n）
=1+++…+=1++++.
【答案】C
5。

下列推理是归纳推理的是（）。

A.A，B为定点,动点P满足｜PA｜+｜PB|=2a>|AB｜，则点P的轨迹为椭圆
B。

由a1=1,a n=3n—1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式
C。

由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】由S1，S2,S3猜想出数列的前n项和S n的表达式,是从特殊到一般的推理,所以选项B中的推理是归纳推理,故选B.
【答案】B
6。

函数y=f(x）的定义域为D，若对任意的x1,x2∈D都有|f(x1)—f(x2)|<1，则称函数y=f（x)为“Storm”函数。

那么下列函数是“Storm”函数的是（）。

A.f（x）=x2（x∈［—1,2］）
B.f(x)=x3（x∈[0,1]）
C.f（x）=—2x+1(x∈［—1，0］）
D。

f（x）=（x∈［1,3])
【解析】由定义知|f(x1)—f（x2）|小于等于函数f（x)的最大值与最小值之差的绝对值,故要判断一个函数是否为“Storm”函数,只需看这个函数的最值之差的绝对值是否小于1即可.在选项D中,因为f(x)=在x∈［1,3]上是减函数,所以令m=f(3）=,M=f(1）=1，所以｜M—m｜==<1，所以该函数是“Storm”函数.
【答案】D
7.下列推理正确的是(）.
A。

把a(b+c)与log a(x+y)进行类比,则有log a（x+y)=log a x+log a y
B.把a(b+c）与sin(x+y)进行类比,则有sin（x+y)=sin x+sin y
C。

把（ab)n与（a+b）n进行类比，则有（x+y)n=x n+y n
D。

把(a+b)+c与(xy)z进行类比,则有(xy）z=x（yz）
【答案】D
8.用数学归纳法证明:12+22+…+(n—1)2+n2+（n-1)2+…+22+12=。

从n=k到n=k+1，等式左边应添加的式子是()。

A.(k—1）2+2k2
B.（k+1）2+k2
C。

（k+1）2D。

(k+1）［2(k+1)2+1]
【解析】当n=k时，左边=12+22+…+(k-1)2+k2+（k-1）2+…+22+12；当n=k+1时，左边=12+22+…+（k—1)2+k2+（k+1）2+k2+（k-1)2+…+22+12。

所以从n=k到n=k+1，左边应添加的式子为(k+1）2+k2。

【答案】B
9.如表所示，若数列{x n}满足x0=5，且对任何自然数均有x n+1=f（x n),则x2019=().
x12345
f
（x
）
41352
A。

1 B.2 C.4 D。

5
【解析】因为x1=f（x0)=f（5）=2,x2=f(2)=1,x3=f（1)=4,x4=f(4）=5,x5=f（5）=2，…，所以数列｛x n｝是周期为4的数列，所以x2019=x3=4.故选C.
【答案】C
10。

在△ABC中,角A，B,C分别为边a,b，c所对的角。

若a,b，c成等差数列，则角B的取值范围是()。

A. B.
C. D。

【解析】∵a，b,c成等差数列,∴a+c=2b，
∴cos B===—≥—=.
又∵余弦函数y=cos x在区间内单调递减，
∴0〈B≤.故选B.
【答案】B
11.观察数表:
1234…第一行
2345…第二行
3456…第三行
4567…第四行
……………………
第一列第二
列
第三
列
第四列
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（).
A。

2n-1 B.2n+1
C.n2—1 D。

n2
【答案】A
12.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（).
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B。

△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D。

△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
【解析】由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，故△A1B1C1是锐角三角形.假设
△A2B2C2是锐角三角形，由得
故A2+B2+C2=，这与三角形内角和为π相矛盾，所以假设不成立。

又由已知可得△A2B2C2不是直角三角形，所以△A2B2C2是钝角三角形.
【答案】D
二、填空题
13。

已知x,y∈R，且x+y〈2,则x，y中至多有一个大于1.在用反证法证明时,假设应
为.
【解析】“x,y中至多有一个大于1”包括“x，y都不大于1”和“x,y有且仅有一个大于1”，故假设应为“x,y都大于1"。

【答案】x，y都大于1
14。

观察下列等式:
×=1—，×+×=1—,×+×+×=1—,…，由以上等式推测得到一个一般的结论：对于任何n∈N*，×+×+…+×= .
【解析】由已知的等式得对于任何n∈N＊，×+×+…+×=1—.
【答案】1—
15。

如图，若对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”:
则由此规律，52的“分裂”中最大的数是 ,53
的“分裂"中最小的数是 。

【解析】由题意可知,
因此52的“分裂”中最大的数为9,53
的“分裂”中最小的数为21。

【答案】9 21
16.已知在数列{a n ｝中,a 1=1，且S n ,S n+1，2S 1成等差数列(S n 表示数列｛a n ｝的前n 项和)，则S 2，S 3,S 4分别为 ，由此猜想S n = 。

【解析】由S n ,S n+1,2S 1成等差数列得2S n+1=S n +2S 1. ∵S 1=a 1=1,∴2S n+1=S n +2。

令n=1,则2S 2=S 1+2=1+2=3⇒S 2=.
同理分别令n=2,n=3,可求得S 3=，S 4=。

由S 1=1=
，S 2==
，S 3==
,S 4==
,
猜想S n =(n ∈N *
）.
【答案】,， (n ∈N *
)
三、解答题
17。

实数a ，b ,c ，d 满足a+b=c+d=1,ac+bd 〉1,求证：a ,b ，c ，d 至少有一个负数。

【解析】假设a ，b ,c ，d 都是非负数，
则1=(a+b ）（c+d ）=(ac+bd )+(ad+bc )≥ac+bd ，
这与已知ac+bd 〉1矛盾.故a ,b ，c ，d 至少有一个负数。

18。

已知A ,B 都是锐角，且A+B ≠90°，(1+tan A ）(1+tan B )=2。

求证:A+B=45°。

【解析】∵(1+tan A )（1+tan B )=2, ∴tan A+tan B=1—tan A tan B 。

∵A+B ≠90°,∴tan （A+B )==1. ∵A ,B 都是锐角，∴0°<A+B<180°。

∴A+B=45°.
19。

已知a>0，b>0，2c〉a+b,求证:c—〈a〈c+。

【解析】要证c-〈a<c+,
只需证-<a-c<,
即证｜a—c｜<，
只需证(a—c)2<（)2，
只需证a2—2ac+c2〈c2-ab,即证2ac>a2+ab。

因为a>0，所以只需证2c>a+b.
又因为2c>a+b成立.
所以原不等式成立.
20.已知△ABC的三边长都是有理数，求证:
（1）cos A是有理数;
(2）对任何正整数n,cos nA和sin A·sin nA都是有理数.
【解析】(1)由AB,BC,AC的长为有理数及余弦定理知,
cos A=是有理数.
（2）用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数.
①当n=1时,由（1)知cos A是有理数,从而有sin A·sin A=1-cos2A也是有理数.
②假设当n=k（k≥1，k∈N*)时,cos kA和sin A·sin kA都是有理数，
那么当n=k+1时，
cos(k+1)A=cos A·cos kA—sin A·sin kA，
sin A·sin(k+1)A
=sin A·（sin A·cos kA+cos A·sin kA)
=(sin A·sin A）·cos kA+（sin A·sin kA)·cos A,
由①和归纳假设知,cos（k+1）A和sin A·sin（k+1）A都是有理数。

即当n=k+1时，结论成立。

综合①②可知，对任何正整数n,cos nA和sin A·sin nA都是有理数.
21。

如图,已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
(1）求证:PA⊥BD.
(2）求证：平面BDE⊥平面PAC.
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E—BCD的体积。

【解析】(1)∵PA⊥AB，PA⊥BC,且AB∩BC=B，
∴PA⊥平面ABC.
又∵BD⊂平面ABC,
∴PA⊥BD.
（2)∵AB=BC，D为线段AC的中点,
∴在△ABC中，BD⊥AC。

又由(1）知,PA⊥BD,PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC。

又∵BD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PAC.
(3)当PA∥平面BDE时，
由D是AC的中点知，E为PC的中点。

因此ED=PA=1,ED⊥平面BDC。

由AB=BC=2，AB⊥BC，D为AC的中点知,BD=CD=.
又由BD⊥AC知,BD⊥DC，即∠BDC=90°。

因此V E-BCD=S△BCD·ED=××××1=。

22.已知数列{a n｝的前n项和S n满足S n=+—1,且a n>0，n∈N*。

（1）求a1,a2，a3；
（2)猜想｛a n｝的通项公式，并用数学归纳法证明.
【解析】(1）a1=S1=+-1，即+2a1—2=0,
∵a n>0，∴a
1
=—1.
S 2=a
1
+a
2
=+—1，即+2a
2
—2=0，∴a
2
=—.
S 3=a
1
+a
2
+a
3
=+-1,
即+2a3-2=0，∴a3=—。

（2)由（1)猜想a n=-,n∈N*.
下面用数学归纳法证明:
当n=1时,由（1）知a1=-1,猜想成立;
假设当n=k(k∈N*)时，a k=—, 猜想成立，
那么当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k=—=+—.
∴+2a k+
—2=0。

1
=—,
∴a k+
1
即当n=k+1时猜想也成立.
综上可知,对任何n∈N*猜想都成立.。