离散数学c图论

《 离散数学 》
同步测试卷10:图的基本概念
一．填空：
1．一个无向图表示为G=<V , E>，其中V 是 结点 的集合，E 是 边 的集合， 并且要求E 中的任何一条边必须和G 中的两个结点 相关联 。

2．设无向图G 中有12条边，已知G 中度为3的结点有6个，其余的结点度均 小于3，则G 中至少有 9 个结点。

3．设G=(n,m)是简单图，v 是G 中一个度为k 的结点，e 是G 中的一条边，则G – v 中有1n -个结点，m k -条边；G – e 中有n 个结点，1m -条边。

4．设G 是个有向图，当且仅当G 中有一条经过每一个结点的路径时，G 才是 单向 连通图。

5．设图G=<V , E>，则：若E 中的每条边都是_无向边 _，则称图G 为无向图；
若E 中的每条边都是_有向边__，则称图G 为有向图。

6．设图G 中 无自环 和 无平行边 ，则称图G 为简单图。

7．设G 是个无自环的无向图，其中有2个结点的度数为4，其余结点的度为2，
有6条边。

则G 中共有_ 4 个结点。

因此，G 是个多重边_图。

8．一个无向图G 有16条边，若G 中每一个结点的度均为2，则G 有16个结点。

9．设G 是个具有5个结点的简单无向完全图，则G 有__10_条边。

10．设G 是个具有5个结点的简单有向完全图，则G 有_20_条边。

11．设G 是个n 阶简单有向图，G '是G 的子图，已知G '的边数()1E n n '=-，
则G 的边数m 为()1n n -。

12．35条边，每个结点的度数至少是3的图最多有__23_个结点。

13、3个结点可构成 4 个不同构的简单无向图，可构成 16 个不同构的简单有
向图。

14、设()100,100G =为无向连通图，则从G 中能找到 1 条回路
15、5K 的点连通度为 4 ，边连通度为 4 。

16、设图G=<V , E>，{}1234,,,V v v v v =，若G 的邻接矩阵0101101111001000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则 ()1deg v -= 3 ，()4deg v += 1 ，
，从2v 到4v 长度为2的通路有 1 条。

17、右图的点连通度为 1 ，边连通度为 1 。

18、当n 为 奇 数时，n K 必为欧拉图。

19、,n m K 为哈密顿图，当且仅当2n m =≥
20、若连通平面图G 有4个结点，3个面，则G 有 5 条边。

21、仅当n ≤ 4 时，n K 为平面图。

22、设图G=<7,15>为简单平面图，则G 一定是 连通的 ，且每个面均为3K 。

23、图A 所示的图G 的色数()G χ= 3 。

24、图B 所示的图G 的点连通度κ=2，G 的边连通度λ=3，点色数()G χ=4 。

A B
25、4K 的生成子图中，有 6 个非同构的连通图。

26、平面图G 的对偶图*G 同构于G ，则称G 为自对偶图，若一个(),n m 图是自
对偶的，则其结点数n 与边数m 的关系为22m n =-
27、设D 是()(2n n ≥阶有向简单（若连通）图，则D 的可达矩阵的所有元素之和至少为1n -
28、完全二部图,n m K 的点覆盖数0α= {}min ,n m
29、设()2,2n W n k k =≥为轮图，则n W 的点色数为()n W χ= 4
二．判断下列命题的对错。

正确的在括号内填√,错误的在括号内填×。

1. 设图G=<V , E>，则V 中所含的结点数称为图G 的阶。

（ √ ）
2． 设图G=<V , E>，若V =Φ，则称G 为零图。

（ × ）
3、 设图G=<V , E>，若1V =，则称G 为平凡图。

（ × ）
4. 在简单有向图G 的邻接矩阵()ij n n A a ⨯=中，结点i v 所对应的行中1的个数等于i v 的出
度。

.(√)
5. 在简单无向图G 的邻接矩阵()ij n n A a ⨯=中，结点i v 所对应的行中1的个数等于i v 的度。

.(√)
6． 若无向图中恰有两个奇结点，则这两个奇结点比相互可达。

.(√)
7. 若有向图中恰有两个奇结点，则必有从一个结点到另一个结点可达或相互可达。

.(×)
8． 对任何一个图，其奇结点的个数一定是偶数。

.(√)
9． 在有向图中，结点间的可达关系一定是个等价关系。

.(×)
10． 割边（或桥）一定是悬挂边。

.(×)
11． 悬挂边一定是割边（或桥）。

.(√)
12． 悬挂点一定是割点。

(×)
13． 割点一定是悬挂点。

(×)
14． 有向图中的每个结点都恰处于一个单向分图中。

(×)
15． 在完全无向图中，任意两个点都是邻接结点。

(√)
16． 如果无向图G 的邻接矩阵中所有元素均为零，则G 必为零图。

(√)
17． 如果简单无向图G 的邻接矩阵中除主对角线外所有元素均为“1”，则G 一定是完全图。

(×)
18．如果G 是一个非连通无向图，则G 的一个连通子图称为G 的一个分支。

(×)
19．如果一个简单无向图G 连通且无回路，则G 中的每条边必为割边。

(√)
20．具有n 个结点的连通图中，至少有n 条边。

(×)
三、在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内(多选不给分)。

1．在具有n 个结点的无向连通图中，( B )
A ．恰好有n 条边
B ．至少有1-n 条边
C ．最多有n 条边
D ．至少有n 条边
2．设G=<V , E>为无自环的无向图，如果5,12V E ==，则G 是( D )
A ．完全图
B ．正则图
C ．简单图
D ．多重边图
3．设G=<V , E>为简单完全有向图，如果5V =，则G 中有( B )条边。

A ．10
B ．20
C ．16
D ．8
4．设G=<V , E>为无自环的无向图，如果6,16V E ==，则G 是( D )
A ．完全图
B ．零图
C ．简单图
D ．多重边图 （因()1152V V
E ->
=）
5．如果无向图G 中( D )，则称G 是个简单无向图。

A ．无回路
B ．无自环
C ．五多重边
D ．无自环且无多重边
6．设G=(n,m)，若G 中每个结点的度数不是k 就是1k +，则G 中度数为k 的结点
个数为( A )
n
A．()12
n n+C．nk D．
+-B．()1
n k m
2
7．任何无向图G中结点间的可达关系是( B )
A．偏序关系B．等价关系C．相容关系D．逆序关系
8．设有向图G=<V, E>，其中{1,2,3,4},{1,2,3,1,3,4,4,2}
==<><><><>，
V E
则G是( C )
A．强连通图B．单向连通图
C．弱连通图D．非连通图
9．设有向图G=<V, E>，其中{,,,},{,,,,,,,}
==<><><><>，
V a b c d E a b a d d c b d
则G是( C )
A．强连通图B．单向连通图
C．弱连通图D．非连通图
10．设有向图G=<V, E>，其中{,,,}
=，则使G构成强连通的边集E是( A )
V a b c d
A．{,,,,,,,,,}
=<><><><><>
E a d b a b d c b d c
B．{,,,,,,,,,}
=<><><><><>
E a d b a b c b d d c
C．{,,,,,,,,,}
=<><><><><>
E a c b a b c d a d c
D．{,,,,,,,,,}
=<><><><><>
E a b a c a d b d c d
11．设G=<V, E>是个非连通的有向图，则( A )
A．G中的每个结点恰处于一个强分图中
B．G中的每个结点恰处于一个单向分图中
C．G中有的结点可能处于两个强分图中
D．G中有的结点可能不处于任何单向分图中
12．设G是具有n个结点的3次正则图，则结点数n( B )
A．必是奇数B．必是偶数
C．或者是奇数或者是偶数D．必等于6
13．无向图G中的边e是G中的割边的充要条件是：e( C )
A．是悬挂边B．不是多重边
C ．不包含在G 的任一简单回路中
D ．不包含在G 的某一回路中
14．设无向图G 中有5条边，已知G 中度为2的结点有2个，其余结点的度为3，则G 中共有( C )个结点。

A ．6
B ．6
C ．4
D ．10
15．图G 与G '的结点和边分别存在一一对应的关系是G 与G '同构的( B )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不是充分条件也不是必要条件
16、设,D V E =<>为有向图，则有( A )
A ．E V V ⊆⨯
B ．E V V ⊄⨯
C ．V V E ⨯⊂
D ．V V
E ⨯=
17、含有5个结点、3条边的不同构的简单图有( C )个
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
18、设G 为有n 个结点的简单图，则
有( A )
A ．()G n ∆<
B ．()G n ∆≤
C ．()G n ∆>
D ．()G n ∆≥
19、设(),G n m ，且G 中每个结点的度数不是k 就是1k +，则G 中度为k 的结点的个数是( D )
A ．2
n B ．()1n n + C ．nk D ．()12n k m +- 20、给定下列序列，( B )可以构成无向简单图的结点度数序列。

A ．()1,1,2,2,3
B ．()1,1,2,2,2
C ．()0,1,3,3,3
D ．()1,3,4,4,5
21、n 个结点可构造的简单无向图（含同构图）的个数是(D )
A ．2n
B ．22n
C ．2n
D ．()122n n -（完全图的边集的子集数目）
22、4K 中含有3条边的不同构生成子图有( 3 )个
A ．1
B ．3
C ．4
D ．2
23、若简单图G 与其补图G 同构，称G 为自同构。

则含有5个结点的不同构的无向自补图的个数为 (C)
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
24、设,G V E =<>为无向图，,u v V ∈，若,u v 连通，则 (D)
A ．(),0d u v >
B ．(),0d u v =
C ．(),0d u v <
D (),0d u v <．
25、任何无向图中结点间的连通关系是 (B)关系
A ．偏序
B ．等价
C ．相容
D ．拟序
26、设,D V E =<>为有向图，{},,,,,,,,,E a b b c a d d e f e =<><><><><>，{},,,,,,V a b c d e f =则,D V E =<>是 ( C)
A ．强连通图
B ．单向连通图
C ．弱连通图
D ．不连通图
27、设1,,V D V E >=<>是强连通图，当且仅当 (D )
A ．D 中至少有一条通路
B ．D 中有通过每个结点至少有一条通路
C ．
D 中至少有一条回路 D ．D 中有通过每个结点至少有一条回路
28、无向图G 中边e 是G 的割边的充要条件是 (C)
A ．e 不包含在G 的某一回路中
B ．e 是重边
C ．e 不包含在G 的任一简单回路中
D ．e 不是重边
29、在有n 个结点的连通图中，其边数(B)
A ．最多有1n -条
B ．至少有1n -条
C ．最多有n 条
D ．至少有n 条
30、欧拉回路是 (B)
A ．既是基本回路也是简单回路
B ．简单回路
C ．既非基本回路也非简单回路
D ．路径
31、哈密顿回路是 (A)
A ．既是基本回路也是简单回路
B ．简单回路
C ．既非基本回路也非简单回路
D ．路径
32、设(),G n m =是欧拉图，则,n m 有关系 (D)
A ．n m =
B ．,n m 的奇偶性必相同
C ．,n m 的奇偶性必相反
D ．,n m 的奇偶性既可相同也可相反
33、下列命题中， (D)是正确的
A ．欧拉图是哈密顿图
B ．哈密顿图是欧拉图
C ．平面图是树
D ．树是平面图
34、5阶无向完全图的边数为(B)
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
35、n 个结点的无向完全图的边数为(D)
A ．()1n n -
B ．2n
C ．2n
D ．()112
n n - 36、下列三元数组为图的结点数、边数和面数，则 (C)不能构成连通平面图
A ．(4,4,2)
B ．()4,5,3
C ．()9,6,6
D ．()7,8,3
37、一个无向图有4个结点，其中3个度数为2，3，3，则第4个结点度数不可能是 (B)
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
38、连通简单无向图有17条边，则该图至少有 (C)个结点
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 （因()1172
n n -≥） 39、已知有向图如右所示，其可达矩阵()66ij P p ⨯=中，(C)1≠ A ．15p B ．25p C ．35p D ．45p
40、二部图2,3K 是 (D)
A ．欧拉图
B ．哈密顿图
C ．非平面图
D ．平面图
同步测试卷11:特殊图与应用
一．填空：
1．一个连通无向图G 是欧拉图，当且仅当G 中所有结点的度数为 偶数 。

2．在一个连通无向图G 是欧拉图中，当且仅当结点i v 和j v 的度为 奇数 ，其余
结点的度均为 偶数 ，结点i v 和j v 之间才存在欧拉路径。

3．设G=<V , E>为无向图，任取M E ⊆，如果M 中的任何两条边均不相邻，则这样的边集M 为G 的一个 匹配 。

4．无向图G 有生成树的充要条件是G 连通 。

5．如果T 是无向图G 的一棵生成树，则T 中的边称为 树枝 _，属于G 但不属
于T 的边称为T 的_连枝（弦）_。

6．在根树中，从根到结点v 的距离称为该结点的 层次 ，从根到叶结点的最大
距离称为树的 高度 。

7．设G 是(n,m)无向简单连通，用避回路法求G 的一棵生成树，必须在G 中选
择1n -条边且不构成回路。

8．设G 是(n,m)无向简单连通，用破回路法求G 的一棵生成树，必须在G 中去
掉1m n -+。

9．连通图G 是一棵树，当且仅当G 中每一条边均为_割边_。

10．无向图G 是由()2k k ≥棵树组成的森林，至少要添加1k -条边才能使G 成
为一棵树。

11．设A 是根树T 的邻接矩阵，则矩阵A 中行全为0所对应的结点为_树叶__，
列全为0所对应的结点为_树根_。

12．设A 是一棵k 元树的邻接矩阵，则矩阵A 的所有行中1的个数最多为k 个。

13．设G 是个连通无向图，e 是G 中的一条边，如果边e 包含在G 的任何一棵
生成树中，则e 必为G 的一条_割边 ，不包含在G 的任何生成树中的边一定是_自环 。

14．设T 是具有n 个结点的一棵完全二元树，则T 中树叶数为
12n +，内结点数为
12n -。

15、连通图G 是一棵树，当且仅当每条边 为割边
16、无向图G 具有生成树，当且仅当G 是连通的。

若G 为(),n m 连通图，要确定G 的一棵生成树必删去G 的1m n -+条边（称1m n -+为G 的环秩）
17、无向图G 是由()2k k ≥棵树组成的森林，至少要添加1k -条边才能使G 成为一棵树。

18、设,G V E =<>是无向连通图，e E ∈，若e 在G 的任何生成树中，则e 为G 的一条割边，若e 不在G 的任何生成树中，则e 为G 的一个环
19、设T 是高为k 的二元树，则T 的最大结点数为121k +-
20、一个简单有向图是根树，它的邻接矩阵必满足主对角线上元素全为0；矩阵中有一列元素全为0，其它各列中都恰有一个1。

21、一个简单树是根树，它的邻接矩阵中全0列所对应的结点为树根；全0行所对应的结点为树叶。

22、一棵有i n 个i 度分支点()2,3,,i k =，则它有()34222k n n k n +++-+片树叶。

二．判断下列命题的对错。

正确的在括号内填√,错误的在括号内填×。

2. 欧拉路径一定是简单路径。

（ √ ）
2． 哈密顿路径一定是简单路径。

（ × ）
3、 若有向图G 是强连通图，则G 一定是个欧拉图。

（ × ）
4. 若有向图G 是欧拉图，则G 必是个强连通图。

.( √ )
5. 如果能将无向图G 画在平面上，若边与边之间有交叉，则G 必为非平面图。

.( × )
6． 一个连通赋权图的最小生成树不是唯一的。

.( √ )
7. 若G 是个连通图，且e 是G 的割边，则边e 必包含在G 的每棵生成树中。

( √ )
8． 设图G 是有n 个结点、1n -条边的无向图，则G 一定是树。

( × )
9． 设G=(n,m)是个无向图，若去掉任何一条边G 的支有所增加，则G 必为树。

( × )
10． 设G=(n,m)是个无向图，若G 无回路且1m n =-，则G 必为根树。

( √ )
11． 有向图G 仅有一个结点的入度为0，其余结点的入度均为1，则G 必为根树。

( × )？
12． 若无向图G=(n,m)连通，则必有m n ≥。

( × )
13． 若无向图G=(n,m)连通，则必有1m n ≥-。

( √ )
14． 在完全二元树中，若有t 片树叶，则其边的总数为21E t =-。

( × )
15． 在完全二元树中，若有t 片树叶，则其分支结点数为1i t =-。

( √ )
16． 若无向图G 中的每条边都是割边，则G 必为树。

( × )
17． 带权为12,,,t ωωω的最优二叉树是唯一的。

( × )
18．若无向图G 中任意两点间恰好有一条路径，则G 必是树。

( √ )
19．若森林(),F n m =是由k 棵树组成，则m n k =-。

( √ )
20．设图G 是个连通无向图，则G 的生成子图，一定是G 的生成树。

( × )
三、在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内(多选不给分)。

1．给定一个无向图G ，如果( D )，则G 必是个欧拉图。

A ．G 中每个结点的度均为偶数
B ．G 是连通图
C ．G 是个简单完全图
D ．G 连通且每个结点的度均为偶数
2．设G 是个(n,m)简单连通平面图，若G 的每个区至少由3条边围成，则有( A )
A ．36m n ≤-
B ．24m n ≤-
C ．510m n ≤-
D ．612m n ≤-
3．设G=(n,m)是连通赋权图，如果用破圈法求G 的一个生成树，则必须从G 中去掉( D )条边。

A ．1n -
B ．1m n +-
C ．1m -
D ．1m n -+
4．设G=(n,m)是连通赋权图，如果用避回路求G 的一个生成树，则必须从G 中选取( A )条边。

A ．1n -
B ．1m n +-
C ．1m -
D ．1m n -+
5．具有n 个结点的无向图G ，如果( D )，则G 一定是树。

A ．G 中恰有1n -条边
B ．G 中每对结点间都相互可达
C ．G 中的每条边都是割边
D ．G 连通但去掉一条边就不连通
6．T 为完全二元树，有t 片树叶，m 条边，则有( C )。

A ．()21m t >-
B ．()21m t <-
C ．()21m t =-
D ．()21m t =+
7．5个结点构成的根树中，其元数m 最多为( C )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．一棵树中有2个4度结点，3个3度结点，其余的都是树叶，则该树的树叶总数为( C )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
9．一棵完全k 元树中有t 片树叶，i 个分支结点，则有关系式( B )
A ．1i t =-
B ．()11k i t -+=
C ．()1k i t -=
D ．()1k t t i -=-
10．一棵完全k 元树中有t 片树叶，m 条边，则有关系式( C )
A ．()1k t m k -=
B ．()11m k t =-+
C ．()11
k t m k -=- D ．()1m k t =-
11、下面哪一种图不一定是树( C )
A ．无回路的连通图
B ．有个n 结点1n -条边的连通图
C ．每对结点之间都有通路的图
D ．连通但删去一条边则不连通的图
12、连通图G 是一棵树当且仅当G 中( B )
A ．有些边不是割边
B ．每条边都是割边
C ．无割边集
D ．每条边都不是割边
13、具有4个结点的非同构的无向树的数目为( A )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
14、具有6个结点的非同构的无向树的数目为( B )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 （1+1+1+2+1=6）
15、一棵树有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，则其1度结点数为
(D)
A ．5
B ．7
C ．8
D ．9
16、完全m 元树T 中有t 片树叶，i 个分支点，则有关系式( B )
A ．1i t =-
B ．()11m i t -+=
C ．()1m i t -=
D ．()11m t i -=- 17、T 为完全二元树，有t 片树叶，e 条边，则有( C )
A ．()21e t >-
B ．()21e t <-
C ．()21e t =-
D ．()21e t =+
18、在一棵完全t 元树中，有k 个分支点，若内部路径长度为I ，外部路径长度为E ，则满足关系式( D )
A ．E I tk =+
B ．()1E tk t I +=-
C ．()1E t I k =-+
D ．()1
E t I tk =-+
19、、具有4个结点的非同构的根树的棵数为( B )
A ．32
B ．4
C ．5
D ．6
20、5个结点可构成的根树中，其元数m 最多为 (D)
A ．2
B ．3
C ．5
D ．4
21、设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需要5个插头的接线板数为 (B)
A ．7
B ．8
C ．9
D ．14
22、下面给出的符号串集合中，(A)是前缀码
1,01,001,000B．{}
1,11,101,001,0011
A．{} Array
b c a aa ac abb
,,,,,
,,,,
b c aa bc aba D．{}
C．{}
23、下面给出的符号串集合中，(D)不是前缀码
01,001,000,1
A．{}
0,10,110,1111B．{}
0011,001,101,11,1
b c aa ac aba abc D．{}
,,,,,
C．{}
24、按右上图所示的二元树做后序遍历得到的符号序列为(D) A．DBKHEIFLMJGCA B．BDEHKCFIJLMGA C．GCFIJLDKHEMBA D．DKHEBILMJFGCA
25、带权为10，15，20，25，30的最优二元树的权为(B) A．100 B．225 C．400 D．625
26、带权为4，6，8，10，12的最优二元树的权是(B)
A．80 B．90 C．100 D．110
11。