离散复习题——精选推荐

离散复习题
离散数学期末复习题
⼀、选择题
1.给定如下4个语句:
(1)全体⽴正！ (2)如果天不下⾬,我就去踢⾜球。

(3)我正在说谎。

(4)⽕星上有⼈吗?
其中是命题的是 ( B )
A.(1)(4)
B.(2)(3)
C.(1)(3)
D.(2)
2、下列是真命题的有（ D ）
A ． }}{{}{a a ?；
B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；
C ． }},{{ΦΦ∈Φ；
D ． }}{{}{Φ∈Φ。

3、下列集合中相等的有（）
A ．{4，3}Φ?；
B ．{Φ，3，4}；
C ．{4，Φ，3，3}；
D ． {3，4}。

4、设A={1，2，3}，则A 上的⼆元关系有（）个。

A ． 23 ；
B ． 32 ；
C ． 332?；
D ． 223?。

5.命题公式A 与命题公式B 是等价的，是指 ( )
A. A 和B 具有相同的命题变元。

B. A 与B 是可满⾜的。

C. 当A 的值为真时，B 的值也为真。

D. A 与B 具有相同的真值。

6.下列公式中正确的等价式是 ( )
A. ?(?x)A(x)?(?x)?A(x)
B. ?(?x)A(x)?(?x)?A(x)
C. (?x)(?y)A(x,y)?(?y)(?x)A(x,y)
D. (?x)(A(x)∨B(x))?(?x)A(x)∨(?x)B(x)
7、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（）
A ．若R ，S 是⾃反的，则S R 是⾃反的；
B ．若R ，S 是反⾃反的，则S R 是反⾃反的；
C ．若R ，S 是对称的，则S R 是对称的；
D ．若R ，S 是传递的，则S R 是传递的。

8.命题逻辑中⼀组公式H 1，H 2， ···,H n .，C ，存在关系H 1∧H 2∧···∧H n ?C 当且仅当H 1∧H 2∧···∧H n →C 是 ( )
A.永真式。

B.永假式。

C.可满⾜式。

D.⽭盾式。

9.设集合A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( )
A．1∈A B.{1,2, 3}?A
C．{{4,5}}?A D. ?∈A
10. 设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（）
11.设S={a,b,c},则S的幂集的元素的个数有( )
A. 3个
B. 6个
C. 8个
D. 9个
12.命题公式(P∨Q)→Q为( )
A.⽭盾式。

B.可满⾜式。

C.重⾔式。

D.合取范式。

13.谓词公式(?x)(P(x)∨(?y)R(y))→Q(x)中的x ( )
A.只是约束变元。

B.只是⾃由变元。

C.既⾮约束变元⼜⾮⾃由变元。

D.既是约束变元⼜是⾃由变元。

14.下⾯的⼆元关系具有传递性质的有( )
A. ⽗⼦关系。

B. 朋友关系。

C. 师⽣关系。

D. ⽼乡关系。

15.集合A上的等价关系R的关系矩阵M(R)的对⾓线上的元素( )
A.全是1 。

B.全是0。

C.有的是1有的是0 。

D.有的是2。

16.当个体域D={a, b}时，下列与(?x)P(x)等值的式⼦是( )
A.P(a)∨P(b)
B.p(a)∧P(b)
C.P(a)→P(b)
D.?P(a)→P(b)
17.整数集合Z上的<关系R的⾃反闭包是( )
A.=关系。

B.≠关系。

C.>关系。

D.≤关系。

18.R={<1,4>,<2,3>,<3,1>,<4,3>},则不属于t(R)的序偶有 ( )
A.<1,2>
B.<2,3>
C.<1,3>
D.<1,4>
19.⼀个⽆向图有四个结点，其中三个度数为2，3，3，则第四个结点的度数不可能是 ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
20.⽆向图结点之间的连通关系，是结点集合上的⼀个 ( )
A.连通关系。

B.偏序关系。

C.等价关系。

D.相容关系。

21.在有3个结点的图中,奇结点的个数为 ( )
A.0
B.1
C.1或3
D.0或2
22.下图中既是欧拉图⼜是汉密尔顿图的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
23. ⼀棵树有7⽚树叶，3个3度结点，其余全是4度结点，则该树有（）个4度结点。

A 、1；
B 、2；
C 、3；
D 、4 。

24 下⾯四组数能构成⽆向图的度数列的有( )。

A 、 2,3,4,5,6,7；
B 、 1,2,2,3,4；
C 、 2,1,1,1,2；
D 、 3,3,5,6,0。

25 下列推理步骤错在（）。

①))()((x G x F x →? P
②)()(y G y F → US ①
③)(x xF ? P
④)(y F ES ③
⑤)(y G T ②④I
⑥)(x xG ? EG ⑤
A 、②；
B 、④；
C 、⑤；
D 、⑥
⼆、判断题
1．汉语中的“或”可表⽰为“排斥或”，也可表⽰为“可兼或”。

联结词“∨”对应的是“排斥或”。

( ) 2联结词“→”的值为假当且仅当它的前件为真，后件为假。

( ) 3若集合A 、B 和C 满⾜A ∩C = B ∩C ，则A =B 。

( ) 4对于任何命题变元A 、B 和C ，若A ∧C ?B ∧C,则A ?B 。

( ) 5.⼀个关系是反对称的即它不是对称的。

( ) 6.图中度数为奇数的结点必有偶数个。

( ) 7⼀个关系是反⾃反的即它不是⾃反的。

( ) 8 集合A={a,b}上的空关系Φ是⾃反、对称和传递的。

( ) 9设A={a,b,c}, R=A×A, 则R 是⾃反的、对称的和传递的。

( ) 10 集合A 上的等价关系和A 上的划分⼀⼀对应。

( ) 11．集合A 上的等价关系R 与所有划分集合∏存在⼀⼀对应。

( ) 12 完全图⼀定是汉密顿图。

( ) 13．⼀个偏序关系是全序的则必是良序的。

( ) 14 若⽆向图G 有零个或偶数个奇度结点，则G 具有⼀条欧拉路。

( ) 15．完全图⼀定是欧拉图。

( ) 16 树是边数最少的连通图。

( ) 17. ⼀个图是强连通的当且仅当G 中存在⼀条回路，⾄少包含每个结
点⼀次。

( ) 18 简单⽆向图关联矩阵的每⼀列必有两个1。

( ) 19．有v 个结点的树最少有v-1条边。

( ) 20 ⼀条回路和任何⼀棵⽣成树⾄少有⼀条公共边。

( ) 21 没T 是⼀棵m 叉树，它有t ⽚树叶，i 个分枝点，则(m-1)i = t-1。

( ) 22 如果⼀个有向图D 是欧拉图，则D 是强连通图。

( ) 23．图的邻接矩阵关于主对⾓线对称。

( ) 24 可能有某种关系，既是对称的，⼜是反对称的。

( ) 25 任何有向图中各结点⼊度之和等于边数。

( )
三、填空题
1. 设P 表⽰命题“天⽓晴朗”，Q 表⽰命题“我将去镇上”，R 表⽰命题“我有时间”请⽤符号形式表⽰命题: 如果天⽓晴朗和我有时间，那么我将去镇上。

2. 设G 是n 阶完全图，则G 的边数m= 。

3. ))(()(x xG x xF ??∧?的前束范式。

4．公式(P ∧(Q →R))→S 的合取范式是。

5. 将量词辖域中出现的和指导变元交换为另⼀变元符号，公式其余的部分不变，这种⽅法称为换名规则。

6．谓词公式(?x)(?y)(P(x,y)∨R(y))→Q(y)，则其⾃由变元是________。

7．已知论域：D={1,2}，谓词P(x)：x=1， Q(x)：
x=2。

(?x)(P(x)∧Q(x)) 的真值为。

8. 若P ，Q ，为⼆命题，Q P →真值为0 当且仅当。

9 欧拉图的充要条件是。

10．设A={a, b}，B={1,2,3}，则A ×B= 。

11. 公式（P ∧Q ）∨（?P ∧R ）的主析取范式是。

12. 命题公式(P ∧Q)∨R 的对偶式为。

13．设集合A={1,2,3,4}，A 上的关系R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}，则它的对称闭包s(R)= 。

14．设R 是X 上的⼆元关系且R 具有⾃反性,那么R 的⾃反闭包为。

15. 设A={a,b}，B={x,y}，则A ×B= 。

16．已知集合X={1，2，3}，那么建⽴在这个集合X 上的恒等关系是。

17．三个元素的集合共有个不同的划分。

18. 设集合A={1,2,3,4}，A 上的关系R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}，则它的对称闭包s(R)= 。

19．图G 为⼀连通图，且结点数为v ，边数为e 。

如果要将此连通图G 转变为它的⽣成树，⼀共要删去条边。

20. 由4个元素组成的有限集上所有的等价关系的个数是。

21．已知⼀个图存在割点,则它的点连通度k(G)为。

22．已知⼀个图G 是连通图，则意味着这个图的连通分⽀数为______。

23. 设集合A={a,b,c}，A 上的关系R={,,}，则它的逆关系R c = 。

四、解答题
1. 构造命题公式(P ∧R)∨(P →Q)的真值表。

2. ⽤真值表法证明?P ∨?Q 与?(P ∧Q)等价。

3求)()(Q P P Q ∧?∧→的主合取范式。

4. 设集合A={1,2,3,4,6,12}，并设偏序关系≤为整除关系,求出这个偏序关系≤并画出哈斯图。

5. 设集合A={2，3，4，5，6}，试写出关系R={|x 和y 是互质的}的关系矩阵。

6. 设集合Ａ＝{a,b,c,d,e}上的关系Ｒ＝{,,,}写出它的关系矩阵和关系图，并⽤矩阵运算⽅法求出Ｒ的传递闭包。

7. 将谓词公式)()())()()()((y R y y Q y x P x ?→?∨?化为前束析取范式与前束合取范式。

8. 设A={1，2，3，4}，S={{1}，{2，3}，{4}}，为A 的⼀个分划，求由S 导出的等价关系。

9. 下列前提下结论是否有效？
今天或者天晴或者下⾬。

如果天晴，我去看电影；若我去看电影，我就不看书。

故我在看书时，说明今天下⾬。

10. 设集合A={a ，b ，c ，d}上的关系R={ ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}⽤矩阵运算求出R 的传递闭包t (R)。

11. 设},,,,{54321x x x x x A =，偏序集>
求① A 中最⼩元与最⼤元；② },,{543x x x 的上界和上确界，下界和下确界。

五、证明题
1. ⽤ＣＰ规则证明：
１、Q S P P R R Q S ?→??∨?→∧,,)(
２、)()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ?→??→?
2. 证明：⾮平凡图的连通图G 是树的充分必要条件是G 的每条边是桥。

3. ⽤推理规则证明：?(P ∧?Q)，?Q ∨R ，?R ??P
4. 证明：(?x)(?A(x)→B(x)),(?x)?B(x)?(?x)A(x)
5 设R 为集合A 上的⼆元关系，如果R 是反⾃反的和可传递的，则R ⼀定是反对称的。

六、综合题
1. 在通讯中，⼋进制数字出现的频率如下：
0：30%、1：20%、2：15% 、3：10%、4：10%、5：5%、6：5%、7：5% 求传输它们最佳前缀码（写出求解过程）。

2. 对于英⽂字符集{c,d,g,k,l,o,u}，若他们的使⽤频率分别是10，4，20，5，6，30，25，试画出⼀棵最优⼆叉树，由此给出英⽂字符集{c,d,g,k,l,o,u}对应的前缀码，并写出英⽂字符串goodluck 对应的编码。

3. 假设英⽂字母，a ，e ，h ，n ，p ，r ，w ，y 出现的频率分别为12%，8%，15%，7%，6%，10%，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出happy new year 的编码信息。

（10分）
4. 求图中的⼀棵最⼩⽣成树。

5 使⽤普⾥姆算法求下图的最⼩⽣成树。