2020-2021北京市海淀北部新区实验中学九年级数学上期末一模试卷(附答案)

2020-2021北京市海淀北部新区实验中学九年级数学上期末一模试卷(附答案)
一、选择题
1．若二次函数y =ax 2+1的图象经过点（-2，0），则关于x 的方程a （x -2）2+1=0的实数根为（ ）
A ．1x 0=，2x 4=
B ．1x 2=-，2x 6=
C ．13x 2=，25x 2
= D ．1x 4=-，2x 0= 2．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和c y x
=的图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A ．正三角形
B ．平行四边形
C ．正五边形
D ．正六边形
4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知
4EF CD ==，则球的半径长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1＝y 2，设该函数图象的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是( )
A ．0＜m ＜1
B ．1＜m ≤2
C ．2＜m ＜4
D ．0＜m ＜4
6．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）
A ．43
B ．63
C ．23
D ．8
8．二次函数2y (x 3)2=-++图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( ) A ．向下，直线x 3=，()3,2
B ．向下，直线x 3=-，()3,2
C ．向上，直线x 3=-，()3,2
D ．向下，直线x 3=-，()3,2- 9．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为280m 的矩形花圃（墙长为12m ），围栏总长度
为28m ，则与墙垂直的边x 为（ ）
A ．4m 或10m
B ．4m
C ．10m
D ．8m 10．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（ ） A ．36°
B ．54°
C ．72°
D ．108° 11．二次函数y=3(x –2)2–5与y 轴交点坐标为( )
A ．(0，2)
B ．(0，–5)
C ．(0，7)
D ．(0，3) 12．如图，AOB V 中，30B ∠=︒．将AOB V 绕点O 顺时针旋转52︒得到A OB ''△，边A B ''与边OB 交于点C （A '不在OB 上），则A CO '∠的度数为（ ）
A ．22︒
B ．52︒
C ．60︒
D ．82︒
二、填空题
13．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为_____．
14．若⊙O 的直径是4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是_________．
15．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____． 16．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOE ＝78°，点C 、D 是弧BE 的三等分点，则∠COE ＝_____．
18．在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．
19．若点A（－3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=－2（x－1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是________（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．
20．已知扇形的面积为12πcm2，半径为12cm，则该扇形的圆心角是_______.
三、解答题
21．某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O 相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接P A，PB，PC，且满足∠PCA ＝∠ABC
（1）求证：P A＝PC；
（2）求证：P A是⊙O的切线；
（3）若BC＝8，
3
2
AB
DF
，求DE的长．
23．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边
向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动． （1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于6cm 2？ （2）在（1）中，△PQB 的面积能否等于8cm 2？说明理由．
24．已知抛物线2
y x bx c =++经过()()1,0,3,0A B -两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）设点P 为抛物线上一点，若6PAB S ∆=，求点P 的坐标．
25．在一个不透明的袋子中，装有除颜色外其余均相同的红、蓝两种球，已知其中红球有3个，且从中任意摸出一个是红球的概率为0.75.
（1）根据题意，袋中有 个蓝球.
（2）若第一次随机摸出一球，不放回，再随机摸出第二个球.请用画树状图或列表法求“摸到两球中至少一个球为蓝球（记为事件A ）”的概率P （A ）.
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
二次函数y=ax 2+1的图象经过点（-2，0），得到4a+1=0，求得a=-
，代入方程a （x-2）2+1=0即可得到结论．
【详解】
解：∵二次函数y=ax 2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=-1
4
，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定
y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线
c
y
x
=在二、四象限．
【详解】
根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y=ax+b过一、二、四象限，
双曲线
c
y
x
=在二、四象限，
∴C是正确的．
故选C．
【点睛】
此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是中心对称图形，轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形，轴对称图形.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则
OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【详解】
如图：
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
故选B．
【点睛】
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．
【详解】
解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），
∴x0＞4，
∴对称轴为x=m中2＜m＜4，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=1
2
∠AOC，
∴∠COD=∠B=60°；
在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，
∴3
3，
∴3．
故选A．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆；勾股定理；圆周角定理；垂径定理．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
已知抛物线解析式为顶点式，根据二次项系数可判断开口方向，根据解析式可知顶点坐标及对称轴．
【详解】
解：由二次函数y=-（x+3）2+2，可知a=-1＜0，故抛物线开口向下；
顶点坐标为（-3，2），对称轴为x=-3．
故选：D．
【点睛】
顶点式可判断抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，最大（小）值，函数的增减性．9．C
解析：C
【解析】
【分析】
设与墙相对的边长为（28-2x）m，根据题意列出方程x（28-2x）=80，求解即可.
【详解】
设与墙相对的边长为（28-2x）m，则0＜28-2x≤12，解得8≤x＜14，
根据题意列出方程x（28-2x）=80，
解得x1=4，x2=10
因为8≤x＜14
∴与墙垂直的边x为10m
故答案为C.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x值.
10．C
解析：C
【解析】
正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是360
5
=72度，
故选C．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意使x=0,求出相应的y的值即可求解.
【详解】
∵y=3（x﹣2）2﹣5,∴当x=0时，y=7,∴二次函数y=3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为(0,7).
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可得∠B′=∠B=30°，∠BOB′=52°，再由三角形外角的性质即可求得
A CO
∠'的度数.
【详解】
∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转得到，∠B=30°，
∴∠B′=∠B=30°，
∵△AOB绕点O顺时针旋转52°，
∴∠BOB′=52°，
∵∠A′CO是△B′OC的外角，
∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解决问题的关键.
二、填空题
13．8【解析】【分析】首先求出AB 的坐标然后根据坐标求出ABCD 的长再根据三角形面积公式计算即可【详解】解：∵y ＝x2﹣2x ﹣3设y ＝0∴0＝x2﹣2x ﹣3解得：x1＝3x2＝﹣1即A 点的坐标是（﹣10
解析：8
【解析】
【分析】
首先求出A 、B 的坐标，然后根据坐标求出AB 、CD 的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，设y ＝0，
∴0＝x 2﹣2x ﹣3，
解得：x 1＝3，x 2＝﹣1，
即A 点的坐标是（﹣1，0），B 点的坐标是（3，0），
∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，
＝（x ﹣1）2﹣4，
∴顶点C 的坐标是（1，﹣4），
∴△ABC 的面积＝
12
×4×4＝8， 故答案为8．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中． 14．相离【解析】r=2d=3则直线l 与⊙O 的位置关系是相离
解析：相离
【解析】
r=2,d=3, 则直线l 与⊙O 的位置关系是相离
15．-2017【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出将其代入中即可得出结论【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为：-2017【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于两根之积等于是解题的关键
解析：-2017
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入
()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．
【详解】
∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，
∴1a b +=-，2019ab =-，
∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．
故答案为：-2017．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a
”是解题的关键． 16．【解析】试题分析：确定出偶数有2个然后根据概率公式列式计算即可得解∵标号为12345的5个小球中偶数有2个∴P=考点：概率公式 解析：
【解析】
试题分析：确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，∴P=
． 考点：概率公式 17．68°【解析】【分析】根据∠AOE 的度数求出劣弧的度数得到劣弧的度数根据圆心角弧弦的关系定理解答即可【详解】∵∠AOE=78°∴劣弧的度数为78°∵AB 是⊙O 的直径∴劣弧的度数为180°﹣78°=1
解析：68°
【解析】
【分析】
根据∠AOE 的度数求出劣弧¶AE
的度数，得到劣弧¶BE 的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【详解】
∵∠AOE =78°，∴劣弧¶AE
的度数为78°． ∵AB 是⊙O 的直径，∴劣弧¶BE
的度数为180°﹣78°=102°． ∵点C 、D 是弧BE 的三等分点，∴∠COE 23
=
⨯102°=68°． 故答案为：68°．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键． 18．【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球∴任意从口袋中摸出一个球来P （摸到白球）==
解析：38
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，
∴任意从口袋中摸出一个球来，P （摸到白球）=353+ =38
. 19．y1＜y2【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1由a=-2可知当x ＞1时y 随x 增大而减小当x ＜1时y 随x 增大而增大因此由-3＜0＜1可知y1＜y2故答案为y1＜y2点睛：此题主要考查
解析：y 1＜y 2
【解析】
试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1，由a=-2，可知当x ＞1时，y 随 x 增大而减小，当x ＜1时，y 随x 增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y 1＜y 2.
故答案为y 1＜y 2.
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是求出其对称轴，然后根据对称轴和a 的值判断其增减性，然后可判断.
20．30°【解析】设圆心角为n°由题意得：=12π解得：n=30故答案为30° 解析：30°
【解析】
设圆心角为n°，由题意得：2
12360
n π⨯=12π， 解得：n=30，
故答案为30°．
三、解答题
21．（1）0.24R m =；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.
【解析】
【分析】
（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；
（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．
【详解】
（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
100307045k b k b +⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩
＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+160；
（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的销售量y=-2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝8．
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出P A＝PC；（2）由PC＝P A得出∠P AC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠P AC＝90°，即可得出结论；（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．
【详解】
（1）证明∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PD是AC的垂直平分线，
∴P A＝PC，
（2）证明：由（1）知：P A＝PC，
∴∠P AC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠P AC＝90°，即AB⊥P A，
∴P A是⊙O的切线；
（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥BC，OD＝1
2
BC＝
1
8
2
⨯＝4，
∵
3
2 AB
DF
=，
设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，
∴DE＝3a﹣2a＝a，
∴OD＝4＝3
2
a
﹣a，
a＝8，
∴DE＝8．
【点睛】
本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.
23．（1）2或3秒；（2）不能.
【解析】
【分析】
（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以
1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．
【详解】
（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则
1
2
×（5﹣x）×2x=6，
整理得：x2﹣5x+6=0，
解得：x=2或x=3．
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ．
（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则
1
2
×（5﹣x）×2x=8，
整理得：x2﹣5x+8=0，
△=25﹣32=﹣7＜0，
所以，此方程无解，
故△PQB的面积不能等于8cm2．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．
24．（1）抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，顶点坐标为（1，－4）；（2）P点坐标为（1
3）或（1，3）或（0，－3）或（2，－3）．
【解析】
【分析】
（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；
（2）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△P AB＝6，即可算出y的值，代入抛物线
解析式即可得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）把A（－1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2＋bx＋c中，
得：
10 930
b c
b c
-+
⎧
⎨
++
⎩
＝
＝
，
解得：
2
3 b
c
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．
∵y＝ x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴顶点坐标为（1，－4）．
（2）∵A（－1，0）、B（3，0），∴AB＝4．
设P（x，y），则S△P AB＝1
2 AB•|y|＝
2|y|＝6，
∴|y|＝3，
∴y＝±3．
①当y＝3时，x2－2x－3＝3，解得：x1＝1＋7，x2＝1－7，
此时P点坐标为（1＋7，3）或（1－7，3）；
②当y＝－3时，x2－2x－3＝－3，解得：x1＝0，x2＝2，
此时P点坐标为（0，－3）或（2，－3）．
综上所述，P点坐标为（1＋7，3）或（1－7，3）或（0，－3）或（2，－3）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）设出点P的坐标，找出关于y的方程．
25．(1)1;(2)
1
2
【解析】
【分析】
(1) 根据红球的个数和红球的概率可求出总球的个数，然后相减即可；
（2）根据题意画出树状图，然后求出总可能数和符合条件的次数，根据概率公式求解即可.【详解】
（1）3÷0.75-3=1. 故填1.
（2）将袋中各球分别记为红1、红2、红3、蓝.根据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中事
件A 的结果共有6种，所以 P(A)=61122 .。