2020版高中数学北师大版选修2-2课件：3.2.1 实际问题中导数的意义
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化率为 f (36) f (0) 12 1 (道/分钟).
36 0 36 3
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答 1 道题.
3
(2)因为f′(x)= 1，所以f′(64)= (1道/分钟)，
x
8
f′(100)= 1(道/分钟).它们分别表示该考生在第64
10
分钟和第100分钟时每分钟可解答 1 和 1 道题.
由导数的定义，当Δx趋于0时，比值 y＝f (x0 x) f (x0)
x
x
趋于一个常数A，则称常数A为函数f(x)在点x=x0处的
导数，记作f′(x0)，因此当Δx趋于0时，f (x
0
x) x
f
(x
0
)
≈f′(x0).在经济学中，通常取Δx=1，就认为Δx达
到很小，故有f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0).在实际问题
8 10
C.10小时的平均降雨量
D.t=10时的温度
【解析】选A.f′(t)表示t时刻的降雨强度.
类型一 导数在物理学中的应用 【典例】某质点的运动方程为s=s(t)=2t2+3t，其中s 是位移(单位：m)，t是时间(单位：s). (1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变 化率，并解释它的实际意义. (2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义.
(3)导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一 个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的 不同而不同. ( )
【解析】(1)√.导数是变化率的极限值，所以导数解 决的问题通常是变化率问题. (2)√.根据位移和速度的定义可知其正确. (3)√.导数是切线的斜率、物体的运动速度等实际问 题的抽象，其实际意义因变量实际含义的不同而不同.
20
(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率， 并解释它的实际意义. (2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的意义.
【思维·引】求出函数f(x)的平均变化率，并解释其 实际意义.
【解析】(1)当x从1 h变到4 h时，产量y从f(1)= 81 g
20
变到f(4)= 176 g，此时平均变化率为 f (4) f (1)
【思维·引】求出总成本的平均改变量并解释其实际 意义.
【解析】当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)= 2 675元变到C(20)=3 350元. 此时总成本的平均改变量为 C(20) C(10)=67.5(元/
20 10
件)， 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总 成本的改变量.
2
97.5，解得a>60.
【类题·通】 解决实际问题的一般步骤
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论， 找出问题的主要关系. (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型.
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数 学方法求解. (4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确 的判断，确定其答案.
27
1 min，水流量增加 1 m3.
27
类型二 导数在经济生活中的应用
【典例】某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力
为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量
x(件)的函数关系为C(x)= 1 x2+60x+2 050.求当日产
4
量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说
明其实际意义.
10
5
【内化·悟】 导数在实际生活中的应用的具体思路是什么？ 提示：结合导数在实际问题中的应用及数值所代表的 实际意义进行转化求解.
【类题·通】 正确理解导数的实际意义
在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合 具体问题进行分析，在理解导数的实际意义时，要注 意函数所表示的对象是什么，在某一点处的导数的实 际意义，问题不同有不同的意义.
【思维·引】求出函数的平均变化率，根据导数的实 际意义解释.
【解析】(1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化 率为 s s(3) s(1) 27 5 =11(m/s).
t 3 1 3 1
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间内，该质点平均每秒
的位移是11 m.
(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)=4t+3， 则s′(1)=4+3=7(m/s)，s′(2)=4×2+3=11(m/s). s′(1)表示的是该质点在t=1 s时的瞬时速度，也就是 该质点在t=1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.
Q Q4
而 100 Q 2g 100gQ =10，
Q4
Q4
当且仅当 100 Q ，即Q=20时，等号成立，
Q4
所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最
小值是10.
类型三 导数在生活中的应用 【典例】一名工人上班后开始连续工作，生产的产品 质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这 个函数为y=f(x)= x2 4 x.
世纪金榜导学号
【解析】(1)Q=10时的总成本C(10)=100+ 102 =125；
4
Q=10时的平均成本为 C(10) =12.5.边际成本即成本函数
10
C(Q)对产量Q的导数，
故边际成本C′(Q)= 1Q，Q=10时的边际成本是C′(10)
2
=5.
(2)由(1)得，平均成本为 C(Q) 100 Q ,
【解析】(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为
f (8) f (1) 2 1 1 (m3/min).
8 1
77
(2)f′(x)= 1 x，23 于是f′(27)=
3
1
27
2 3
(m31/min)，
3
27
实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为
1 m3/min，也就是当时间为27 min时，每增加
(2)看函数值的改变量Δy及自变量的改变量Δx的实际
意义.
(3)看Δx趋于0时，y 趋于一个固定值的实际意义.
x
【习练·破】 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的 函数，且y=f(x)= 3 x . (1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？ (2)求f′(27)，并解释它的实际意义.
【发散·拓】 导数在经济学中的应用是边际分析和弹性分析 边际和弹性是经济学中两个重要的概念，用导数来研 究经济变量的边际和弹性的方法，称之为边际分析和 弹性分析.
边际函数：在经济学中，把函数f(x)的导函数f′(x) 称为f(x)的边际函数.在点x=x0处的值f′(x0)称之为 f(x)在点x=x0处的边际值(或变化率、变化速度等).
【素养·探】 在解决导数在经济生活中的实际意义问题时，一般要 求函数的平均变化率，所用的数学核心素养是数学运 算.
1.典例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本， 并说明其实际意义.
【解析】因为C′(x)= 1 x+60，所以C′(75)= 1
22ຫໍສະໝຸດ ×75+60=97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，
中，略去“近似”两字，就得到f(x)在x0处的边际值 f′(x0)的经济意义：即当自变量x在x0的基础上再增 加一个单位时，函数f(x)的改变量.
【习练·破】 已知某商品的成本函数为C(Q)=100+ Q2 (Q为产品的数
4
量).
(1)求Q=10时的总成本、平均成本及边际成本.
(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？
【思考】 (1)设总成本函数为C=C(q)，C表示总成本，q表示产量， 那么C(q)的导数C′(q)是什么？其经济意义是什么？
提示：C′(q)为产量为q个单位时的边际成本.边际成本 的经济意义是：当产量达到q个单位时，再增加一个单 位的产量，总成本将增加C′(q)个单位.
(2)设总利润函数为L=L(q)，L表示总利润，q表示销售 量，那么L=L(q)的导数L′(q)是什么？其经济意义是
2.一质点的运动方程为s=5-3t2，则该质点在t=2时的
速度等于 ( )
A.-12
B.12
C.2
D.-7
【解析】选A.因为s′=-6t，所以s′(2)=-12.
3.一次降雨过程中，降雨量y是时间t(单位：h)的函数，
用y=f(t)表示，则f′(10)表示 ( )
A.t=10时的降雨强度
B.t=10时的降雨量
每多生产一件产品，需增加成本97.5元.
2.典例的条件“C(x)= 1 x2+60x+2 050”变为“C(x)=
4
1 x2+ax+2 050，当日产量为75件时的边际成本大于
4
97.5元/件”，求a的取值范围.
【解析】因为C′(x)= 1 x+a，所以日产量为75件时的
2
边际成本大于97.5元/件，即C′(75)= 1 ×75+a>
20
4 1
176 20
81 20
19
(g/h)，它表示从1
h到4
h这段时间
3
12
这名工人平均每小时生产 19 g产品.
12
(2)f′(x)= x 2 ，于是f′(1)= (2g1/h)，f′(4)=
10 x
10
7 (g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这名工人每
5
小时生产产品 21 g和 7 g.
【习练·破】 某年高考，某考生在参加数学学科考试时，其解答完 的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近 似地满足函数关系y=2 x .
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率， 并解释它的实际意义. (2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义.
【解析】(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变
§2 导数在实际问题中的应用 2.1 实际问题中导数的意义
生活中的变化率问题 (1)在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率， 它的单位是瓦特. (2)在气象学中，通常把在单位时间(如1时、1天等)内 的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一 个重要指标.
(3)在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数 y=f(x)的导函数称为边际成本，边际成本f′(x0)指的 是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产 量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0) 个单位的成本.
s′(2)表示的是该质点在t=2 s时的瞬时速度，也就是 该质点在t=2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.
【内化·悟】 除在物理中应用到导数外，导数还会应用到哪些领 域？ 提示：化学变化率如浓度、酸碱性的变化率、生物的 变化率比如细菌繁殖等.
【类题·通】 三角度理解导数在物理学中的意义
(1)正确理解导数的定义，按照导数的定义去思考实际 问题.
什么？
提示：L′(q)为销售量为q个单位时的边际利润.边际利
润的经济意义是：销售量达到q个单位的时候，再增加
一个单位的销量，相应的总利润增加L′(q)个单位.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)导数解决的问题通常是变化率的问题. ( ) (2)位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数为加 速度.( )
36 0 36 3
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答 1 道题.
3
(2)因为f′(x)= 1，所以f′(64)= (1道/分钟)，
x
8
f′(100)= 1(道/分钟).它们分别表示该考生在第64
10
分钟和第100分钟时每分钟可解答 1 和 1 道题.
由导数的定义，当Δx趋于0时，比值 y＝f (x0 x) f (x0)
x
x
趋于一个常数A，则称常数A为函数f(x)在点x=x0处的
导数，记作f′(x0)，因此当Δx趋于0时，f (x
0
x) x
f
(x
0
)
≈f′(x0).在经济学中，通常取Δx=1，就认为Δx达
到很小，故有f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0).在实际问题
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C.10小时的平均降雨量
D.t=10时的温度
【解析】选A.f′(t)表示t时刻的降雨强度.
类型一 导数在物理学中的应用 【典例】某质点的运动方程为s=s(t)=2t2+3t，其中s 是位移(单位：m)，t是时间(单位：s). (1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变 化率，并解释它的实际意义. (2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义.
(3)导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一 个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的 不同而不同. ( )
【解析】(1)√.导数是变化率的极限值，所以导数解 决的问题通常是变化率问题. (2)√.根据位移和速度的定义可知其正确. (3)√.导数是切线的斜率、物体的运动速度等实际问 题的抽象，其实际意义因变量实际含义的不同而不同.
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(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率， 并解释它的实际意义. (2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的意义.
【思维·引】求出函数f(x)的平均变化率，并解释其 实际意义.
【解析】(1)当x从1 h变到4 h时，产量y从f(1)= 81 g
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变到f(4)= 176 g，此时平均变化率为 f (4) f (1)
【思维·引】求出总成本的平均改变量并解释其实际 意义.
【解析】当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)= 2 675元变到C(20)=3 350元. 此时总成本的平均改变量为 C(20) C(10)=67.5(元/
20 10
件)， 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总 成本的改变量.
2
97.5，解得a>60.
【类题·通】 解决实际问题的一般步骤
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论， 找出问题的主要关系. (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型.
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数 学方法求解. (4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确 的判断，确定其答案.
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1 min，水流量增加 1 m3.
27
类型二 导数在经济生活中的应用
【典例】某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力
为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量
x(件)的函数关系为C(x)= 1 x2+60x+2 050.求当日产
4
量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说
明其实际意义.
10
5
【内化·悟】 导数在实际生活中的应用的具体思路是什么？ 提示：结合导数在实际问题中的应用及数值所代表的 实际意义进行转化求解.
【类题·通】 正确理解导数的实际意义
在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合 具体问题进行分析，在理解导数的实际意义时，要注 意函数所表示的对象是什么，在某一点处的导数的实 际意义，问题不同有不同的意义.
【思维·引】求出函数的平均变化率，根据导数的实 际意义解释.
【解析】(1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化 率为 s s(3) s(1) 27 5 =11(m/s).
t 3 1 3 1
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间内，该质点平均每秒
的位移是11 m.
(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)=4t+3， 则s′(1)=4+3=7(m/s)，s′(2)=4×2+3=11(m/s). s′(1)表示的是该质点在t=1 s时的瞬时速度，也就是 该质点在t=1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.
Q Q4
而 100 Q 2g 100gQ =10，
Q4
Q4
当且仅当 100 Q ，即Q=20时，等号成立，
Q4
所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最
小值是10.
类型三 导数在生活中的应用 【典例】一名工人上班后开始连续工作，生产的产品 质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这 个函数为y=f(x)= x2 4 x.
世纪金榜导学号
【解析】(1)Q=10时的总成本C(10)=100+ 102 =125；
4
Q=10时的平均成本为 C(10) =12.5.边际成本即成本函数
10
C(Q)对产量Q的导数，
故边际成本C′(Q)= 1Q，Q=10时的边际成本是C′(10)
2
=5.
(2)由(1)得，平均成本为 C(Q) 100 Q ,
【解析】(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为
f (8) f (1) 2 1 1 (m3/min).
8 1
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(2)f′(x)= 1 x，23 于是f′(27)=
3
1
27
2 3
(m31/min)，
3
27
实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为
1 m3/min，也就是当时间为27 min时，每增加
(2)看函数值的改变量Δy及自变量的改变量Δx的实际
意义.
(3)看Δx趋于0时，y 趋于一个固定值的实际意义.
x
【习练·破】 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的 函数，且y=f(x)= 3 x . (1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？ (2)求f′(27)，并解释它的实际意义.
【发散·拓】 导数在经济学中的应用是边际分析和弹性分析 边际和弹性是经济学中两个重要的概念，用导数来研 究经济变量的边际和弹性的方法，称之为边际分析和 弹性分析.
边际函数：在经济学中，把函数f(x)的导函数f′(x) 称为f(x)的边际函数.在点x=x0处的值f′(x0)称之为 f(x)在点x=x0处的边际值(或变化率、变化速度等).
【素养·探】 在解决导数在经济生活中的实际意义问题时，一般要 求函数的平均变化率，所用的数学核心素养是数学运 算.
1.典例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本， 并说明其实际意义.
【解析】因为C′(x)= 1 x+60，所以C′(75)= 1
22ຫໍສະໝຸດ ×75+60=97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，
中，略去“近似”两字，就得到f(x)在x0处的边际值 f′(x0)的经济意义：即当自变量x在x0的基础上再增 加一个单位时，函数f(x)的改变量.
【习练·破】 已知某商品的成本函数为C(Q)=100+ Q2 (Q为产品的数
4
量).
(1)求Q=10时的总成本、平均成本及边际成本.
(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？
【思考】 (1)设总成本函数为C=C(q)，C表示总成本，q表示产量， 那么C(q)的导数C′(q)是什么？其经济意义是什么？
提示：C′(q)为产量为q个单位时的边际成本.边际成本 的经济意义是：当产量达到q个单位时，再增加一个单 位的产量，总成本将增加C′(q)个单位.
(2)设总利润函数为L=L(q)，L表示总利润，q表示销售 量，那么L=L(q)的导数L′(q)是什么？其经济意义是
2.一质点的运动方程为s=5-3t2，则该质点在t=2时的
速度等于 ( )
A.-12
B.12
C.2
D.-7
【解析】选A.因为s′=-6t，所以s′(2)=-12.
3.一次降雨过程中，降雨量y是时间t(单位：h)的函数，
用y=f(t)表示，则f′(10)表示 ( )
A.t=10时的降雨强度
B.t=10时的降雨量
每多生产一件产品，需增加成本97.5元.
2.典例的条件“C(x)= 1 x2+60x+2 050”变为“C(x)=
4
1 x2+ax+2 050，当日产量为75件时的边际成本大于
4
97.5元/件”，求a的取值范围.
【解析】因为C′(x)= 1 x+a，所以日产量为75件时的
2
边际成本大于97.5元/件，即C′(75)= 1 ×75+a>
20
4 1
176 20
81 20
19
(g/h)，它表示从1
h到4
h这段时间
3
12
这名工人平均每小时生产 19 g产品.
12
(2)f′(x)= x 2 ，于是f′(1)= (2g1/h)，f′(4)=
10 x
10
7 (g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这名工人每
5
小时生产产品 21 g和 7 g.
【习练·破】 某年高考，某考生在参加数学学科考试时，其解答完 的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近 似地满足函数关系y=2 x .
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率， 并解释它的实际意义. (2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义.
【解析】(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变
§2 导数在实际问题中的应用 2.1 实际问题中导数的意义
生活中的变化率问题 (1)在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率， 它的单位是瓦特. (2)在气象学中，通常把在单位时间(如1时、1天等)内 的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一 个重要指标.
(3)在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数 y=f(x)的导函数称为边际成本，边际成本f′(x0)指的 是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产 量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0) 个单位的成本.
s′(2)表示的是该质点在t=2 s时的瞬时速度，也就是 该质点在t=2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.
【内化·悟】 除在物理中应用到导数外，导数还会应用到哪些领 域？ 提示：化学变化率如浓度、酸碱性的变化率、生物的 变化率比如细菌繁殖等.
【类题·通】 三角度理解导数在物理学中的意义
(1)正确理解导数的定义，按照导数的定义去思考实际 问题.
什么？
提示：L′(q)为销售量为q个单位时的边际利润.边际利
润的经济意义是：销售量达到q个单位的时候，再增加
一个单位的销量，相应的总利润增加L′(q)个单位.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)导数解决的问题通常是变化率的问题. ( ) (2)位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数为加 速度.( )