历年初三数学中考总复习专题训练15-换元法填空通关50题(含答案)

换元法填空通关50题（含答案）
1. 方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2
的解是 {x =5,
y =−2, 则方程组
{a 1
(x −3)+b 1(y +1)=c 1,
a 2(x −3)+
b 2(y +1)=
c 2 的解是 ．
2. 能使 6∣k +2∣=(k +2)2 成立的 k 的值为 ．
3. 一题多解是拓展我们发散思维的重要策略．对于方程“4x −3+6(3−4x )=7(4x −3)”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设 4x −3=y ．
（1）则原方程可变形为关于 y 的方程： ，通过先求 y 的值，从而可得 x = ； （2）上述方法用到的数学思想是 ．
4. 若方程组 {2a −3b =13,
3a +5b =30.9
的解为 {a =8.3,b =1.2, 则方程组
{
2(x +2)−3(y −1)=13,
3(x +2)+5(y −1)=30.9 的解是 ．
5. 已知方程组 {2x −3y =13,3x +5y =−9
的解是 {x =2,
y =−3, 则方程组
{
2(x −1)−3(y +2)=13,
3(x −1)+5(y +2)=−9 的解是 ．
6. 三个同学对问题“若方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x −b 2y =c 2
的解是 {x =3,
y =4. 求方程组
{3a 1
x +2b 1y =5c 1,
3a 2x −2b 2y =5c 2
的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“他们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两边都除以 5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
7. 若 (m +n )(m +n +5)=6，则 m +n 的值是 ．
8. 已知方程组 {
2a −3b =13,
3a +5b =30.9
的解是 {a =8.3,b =1.2, 则方程组
{
2(x −3)−3(y +2)=13,
3(x −3)+5(y +2)=30.9
的解是 ．
9. （1）已知 (x +y )(x +y +2)=8，那么 x +y = ．
（2）若实数 x ，y 满足 (x 2+y 2+2)(x 2+y 2−1)=0，则 x 2+y 2= ．
10. 如果 (a 2+b 2+1)(a 2+b 2−1)=63，那么 a 2+b 2 的值为 ．
11. 已知 (a 2+b 2)2−(a 2+b 2)−6=0，则 a 2+b 2= ．
12. 解方程 2x x 2−1
−
3x 2−3x
=2 时，若设 y =
x
x 2−1
，则方程可化为 ．
13. 三个同学对问题“若方程组 {
a 1x +
b 1y =
c 1,a 2x +b 2y =c 2
的解是 {x =1,
y =2. 求方程组
{a 1
x +2b 1y =3c 1,
a 2x +2
b 2y =3
c 2
的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 3，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
14. 用换元法解方程 2x x 2−1
−
3x 2−3x
=1 ，若设
x x 2−1
=y ，则原方程可化为关
于 y 的一元二次方程为 ．
15. 关于 x ，y 的方程组 {2x +2
y
=45,2x
+3y
=35, 那么 1x −1y
= ．
16. 设 a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且 (a 2+b 2)(a 2+b 2−
1)=12，则这个直角三角形的斜边长为 ．
17. 若 (a 2+b 2)(a 2+b 2−3)−4=0，则 a 2+b 2= ．
18. 三个同学对问题“若方程组 {
a 1x +
b 1y =
c 1,a 2x +b 2y =c 2
的解是 {x =3,
y =4, 求方程组
{3a 1
x +2b 1y =5c 1,
3a 2x +2b 2y =5c 2
的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
19. (x2+y2)(x2−1+y2)−12=0，则x2+y2的值是．
20. 计算(1−1
2−1
3
−1
4
−1
5
)(1
2
+1
3
+1
4
+1
5
+1
6
)−(1−1
2
−1
3
−1
4
−1
5
−1
6
)(1
2
+
1 3+1
4
+1
5
)的结果是．
21. 对任意实数a，b，若(a2+b2)(a2+b2−1)=12，则a2+
b2=．
22. 已知(x2+y2)2+5(x2+y2)−6=0，则x2+y2的值为．
23. 已知关于x的一元一次方程1
2013
x+3=2x+b的解为x=2，那么关
于y的一元一次方程1
2013
(y+1)+3=2(y+1)+b的解为．24. 若(a2+b2)(a2+b2+2)=24，则a2+b2=．
25. 已知关于 x 的方程 3x x 2−1
+
x 2−1x
=52
，如果设
x x 2−1
=y ，那么原方程化为
关于 y 的方程是 ．
26. 在求 1+3+32+33+34+35+36+37+38 的值时，张红发现：从
第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 3 倍，于是她假设：S =1+3+32+33+34+35+36+37+38, ⋯⋯①
然后在 ① 式的两边都乘以 3，得：3S =3+32+33+34+35+36+
37+38+39, ⋯⋯②
②−① 得，3S −S =39−1，即 2S =39−1， 所以 S =
39−12
．
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母 m （m ≠0 且
m ≠1），能否求出 1+m +m 2+m 3+m 4+⋯+m 2016 的值?如能求出，其正确答案是 ．
27. 已知 (x 2+y 2)2+5(x 2+y 2)−6=0，则 x 2+y 2 的值为 ．
28. 用换元法解方程 (x
x+1
)2
−6x
x+1+5=0 时，可设 y = ，从而原方程可化为 ；
29. 若 y =x 2+x ，则分式方程 x 2+x +1=5x 2+x
可变形为 ；
30. 已知 (x +y )(x +y +2)−8=0，求 x +y 的值，若设 x +y =z ，则
原方程可变为 ，所以求出 z 的值即为 x +y 的值，所以 x +y 的值为 ．
31. 若实数 a ，b 满足 (4a +4b )(4a +4b −2)−8=0，则 a +b = ( )．
32. 如果二元一次方程组 {2014x −2015y =2013,2015x −2014y =2016
的解是 {x =2,
y =1, 那么二元
一次方程组 {2014(x +y )−2015(x −y )=2013,
2015(x +y )−2014(x −y )=2016 的解是 ．
33. 用换元法解分式方程2x−1
x −x
2x−1
=2时，如果设2x−1
x
=y，并将原方程
化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是．
34. 方程(2009−x)2+(2010−x)2=13的根是．
35. 在方程x2+3
x2−4x
−4x+4=0中，如果设y=x2−4x，那么原方程可化为关于y的整式方程是．
36. 解方程x
x2+1+x2+1
x
=5
2
时，设x
x2+1
=y，于是原方程变形为整式方程
为．
37. 计算(1−1
2−1
3
−1
4
−1
5
)(1
2
+1
3
+1
4
+1
5
+1
6
)−(1−1
2
−1
3
−1
4
−1
5
−1
6
)(1
2
+
1 3+1
4
+1
5
)的结果是．
38. 若 (m 2+n 2)(m 2+n 2−2)−8=0，则 m 2+n 2 的值是 ．
39. 如果 (a +b +1)(a +b −1)=63，那么 a +b 的值为 ．
40. 满足 22x+1−3⋅2x+1+4=0 的 x 的值为 ．
41. 方程 (x
x−1
)2
+6=5(x
x−1) 的整数解是 ．
42. 三个同学对问题 "若方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2
的解是 {x =3,
y =4. 求方程组
{3a 1
x +2b 1y =5c 1,
3a 2x +2b 2y =5c 2
的解" 提出各自的想法．甲说："这个题目好象条件不够，不能求解"；乙说："它们的系数有一定的规律，可以试试"；丙说："能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5 ，通过换元替换的方法来解决"．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
43. 用换元法解方程1
x2−2x
+2x=x2−3时，如果设y=x2−2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是．
44. 计算(1
2+1
3
+⋯+1
2009
)(1+1
2
+⋯+1
2008
)−(1+1
2
+⋯+1
2009
)(1
2
+1
3
+
⋯+1
2008
)的结果是．
45. 设函数y=2
x
的图象与函数y=x−1的图象的交点坐标为(a,b)，则
1 a −1
b
的值为．
46. 方程1
x2+1+x2+1
x2
=10
3x
的实根是．
47. 已知a+b+c=10，则关于x的方程x−a
bc +x−b
ca
+x−c
ab
=2(1
a
+1
b
+1
c
)
的解是x=．
48. 用换元法解分式方程x 2−2
x
+2x
x2−2
=3时，如果设y=x2−2
x
，那么原方
程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是．
49. 已知实数m，n满足m−n2=1，则代数式m2+2n2+4m−1的最
小值等于．
50. 若2x2−5x+8
2x2−5x+1
−5=0，则2x2−5x−1的值为
参考答案，仅供参考哦
1. {x =8,y =−3
【解析】由题意得 {x −3=5,
y +1=−2,
所以 {x =8,y =−3.
2. −2，4 或 −8
3. y −6y =7y ，3
4，换元思想
4. {x =6.3,y =2.2
5. {x =3,y =−5
6. {x =5,y =10
7. −6 或 1
8. {x =11.3,y =−0.8
9. （1）2或−4，（2）1 10. 8
【解析】设 a 2+b 2=x ， 则 (x +1)(x −1)=63， 整理得 x 2=64，解得 x =±8，
即 a 2+b 2=8 或 a 2+b 2=−8（不合题意，舍去）． 11. 3
【解析】设 a 2+b 2=x ， 则有 x 2−x −6=0， 解得 x 1=3，x 2=−2． 由于 a 2+b 2≥0， 故 a 2+b 2=x 1=3． 12. 2y −3
y =2
13. {x =3,y =3
14. 2y 2−y −3=0 15. 10 16. 2
17. 4
18. {x =5,y =10
【解析】{3a 1x +2b 1y =5c 1,
3a 2x +2b 2y =5c 2,
两边同时除以 5 得，{
a 1(3
5x)+b 1(2
5y)=c 1,
a 2(3
5x)+b 2(2
5
y)=c 2,
有和方程组 {a 1x +b 1y =c 1,
a 2x +
b 2y =
c 2
的形式一样，
所以 {3
5x =3,2
5
y =4,
解得 {x =5,y =10.
19. 4 20. 1
6
【解析】设 a =1−12
−13
−14
−15
，b =12
+13
+14
+15
，则
原式=a (b +1
6)−(a −1
6)⋅b
=ab +1
6
a −a
b +1
6
b =1
6(a +b ),
∵ a +b =1−12
−13
−14
−15
+12
+13
+14
+15
=1， ∴ 原式=1
6．
21. 4
【解析】设 x =a 2+b 2(x >0)，则 x (x −1)=12，解得 x 1=−3（舍去），x 2=4．
22. 1
【解析】设 x 2+y 2=a (a ≥0)，则 a 2+5a −6=0． 解得 a 1=−6（舍去），a 2=1． 23. y =1 24. 4 25. 3y +1
y
=5
2
26. m 2017−1m−1（m ≠0 且 m ≠1）
27. 1
28.
x
x+1
，y 2−6y +5=0
29. y +1=5y
30. z 2+2z −8=0，2，−4 31. −0.5 或 1 32. {
x =3
2,y =12.
【解析】显然 {x +y =2,
x −y =1.
∴ {
x =3
2,
y =12.
33. y 2−2y −1=0 34. x 1=2007，x 2=2012 35. y 2+4y +3=0
【解析】方程整理得，x 2−4x +3x 2−4x
+4=0，
设 y =x 2−4x ，
原方程可化为，y +3
y +4=0，
方程两边都乘以 y ，去分母得， y 2+4y +3=0． 36. 2y 2−5y +2=0．
37. 1
6
【解析】设 12
+13
+14
+1
5
=a ，
原式=(1−a )(a +16)−(1−a −1
6)a
=a +1
6
−a 2−1
6
a −a +a 2+1
6
a =1
6.
38. 4
【解析】原方程可化为 (m 2+n 2)2−2(m 2+n 2)−8=0， Δ=(−2)2−4×1×(−8)=36， ∴m 2+n 2=
2±√36
2
=
2±62
，
∴m 2+n 2=4 或 m 2+n 2=−2． ∵m 2+n 2≥0， ∴m 2+n 2=4． 39. ±8 40. 1 或 0 41. 2 42. {x =5，y =10
【解析】{3a 1x +2b 1y =5c 1,3a 2x +2b 2y =5c 2⇒{a 1(3
5x)+b 1(2
5y)=c 1,a 2(35
x)+b 2(25
y)=c 2
⇒{3
5
x =3,25
y =4⇒{
x =5,
y =10.
43. y 2−3y −1=0 44.
12009
45. −12
【解析】ab =2，b −a =1，1a
−1b
=
b−a ab
=−1
2
．
46.
3±√52
47. 10
48. y2−3y+2=0
=3，整理即是．【解析】换元可得：y+2
y
49. 4
50. 0或2
【解析】令y=2x2−5x+1 .
−5=0，
则原式可化为y−1+8
y
整理得y2−6y+8=0，
解得y1=2,y2=4，
经检验都是方程的解；
则2x2−5x−1=2x2−5x+1−2=y−2，则2x2−5x−1的值为0或2 .。