2023年人教版数学九年级上册第二十二章 小结与复习课件优选课件

针对训练
5.若抛物线 y=−7(x+4)2−1平移得到 y=-7x2，则可能 （） A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
例5 (1)已知关于x的二次函数，当x=−1时，函数 值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值 为7，求这个二次函数的解析式.
25m
解：（1）由题意，得 羊圈的长为25m，宽为(40-25)÷2=7.5(m). 故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
（2）设羊圈与墙垂直的一边为xm,则与墙相对的一边长 为(40-2x)m, 羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200， (7.5≤x＜20). ∵7.5≤10＜20，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200. 故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m， 而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m.
解：(1)根据题意，得
65k 75k
b c
55 45
(2)w=(x-60)•(−x+120)= − x2+180x-7200= −(x − 90)2+900,
∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，w随x的增大而增大， 而60≤x≤60×(1+45%)，即60≤x≤87, ∴当x=87时，w有最大值，此时w=−(87− 90)2+900=891.
例1 已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那
么m的值为（ ）
A．−2
B．2 C．±2
D．0
针对训练
1.已知函数：①y=2x−1；②y=−2x2−1；③y=3x3−2x2；
④y=2x2−x−1；⑤y=ax2+bx+c，其中二次函数的个数为
（）
A．1
B．2
C．3
D．4
例2 对于y＝2(x−3)2＋2的图象下列叙述正确的是( ) A．顶点坐标为(−3,2) B．对称轴为y＝3 C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x≥3时，y随x的增大而减小
针对训练
3针练.已对知训点（−1，y1），（1.5，y2），（2，y3）在函 数y=ax2−2ax+a−2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、 y3按由大到小的顺序排列是（ ） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
4.已知二次函数y=−x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x
实际问题
目 标
归纳
二次函数
抽象
y=ax2 + bx + c
图象 性质
实际问题的答案
利用二次函数的 图象和性质求解
►雨水打在窗户上，发出嘀嗒，嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子， 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处，被笼罩在雨山之中的 大楼，如海市蜃楼般忽隐忽现，让人捉摸不透，还不时亮起一丝红灯， 给人片丝暖意。 ►七月盛夏，夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令，以最高的温度炙烤着大地，天热得发了狂， 地烤得发烫、直冒烟，像着了火似的，马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几，只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩，一些似云非云、似雾非雾的灰气，低低地浮在空中， 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来，耷拉着 脑袋。
针对训练
2. 关于抛物线y=−x2+2x−3的判断，下列说法正确的是 （）
A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线x=-1 C．抛物线对称轴左侧部分是下降的 D．抛物线顶点到x轴的距离是2
方法归纳：解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋ bx＋c配方为顶点式y＝a(x − h)2＋k的形式，得到：对 称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)； 也可以直接利用公式求解.
大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们 之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量 的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际 问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
考点一 二次函数的概念、图象与性质
∵a=
3
2
2
＜0,15＜20＜30，
2
∴当x=20时，S有最大值，
最大值为150.
针对训练
10.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为 了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家 房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.
(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积； (2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直 接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.
例3 二次函数y＝−x2＋bx＋c的图象如
图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在 此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2 的大小关系是( )
A. y1≤y2 C．y1≥y2
B．y1<y2 D．y1>y2
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大． ∵x1<x2<1，∴y1<y2 .
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
针对训练
9.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润 情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合 图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第 几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的 知识，对公司在此款电脑的经营状况 (是否亏损？何时亏损？)作预测分析．
一般地，形如
(a，b，c是常
数，
)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的 最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊 的二次函数．
2.二次函数的图象与性质： 二次函数 y=a(x − h)2+k
开口 方向
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0 增 a＞0 减 性 a＜0
(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x−30.
所以S△DEF-S△GBF= 3 x2+60x-450.
1 2
DE2 −1
2
BF2= 1
2
x2− 1
2
(2x−30)2=
2
（3）S= 3 x2+60x-450= 3 (x-20)2+150.
例8 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试 销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符 合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时， y＝45. (1)求一次函数的表达式； (2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单 价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可 获得最大利润，最大利润是多少元？
交点式
（2）点Q为抛物线上一点，若S△QAB=8，求出此时点Q
的坐标．
则S△QAB=
1 AB•|y|=2|y|=8， 2
综上所述，则点Q的坐标为 (1 2 2,4),(1 2 2，4)， 或（1，−4）.
考点二 二次函数与一元二次方程 例6 已知二次函数y=x2−2mx+m2 −1（m为常数）． 求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个 公共点.
值的增大而减小，则实数b的取值范围是（
）
A．b≥−1 B．b≤−1 C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为−1＜0，∴抛物线开口向
下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题
设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛
物线y=−x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧，抛 物线y=−x2＋2bx＋c的对称轴为 x b b ，即b≤1.
物线 y 1 x2 bx c 的一部分（如图），其中出球点 4
B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是
4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
A.y 1 x2 3 x 1 44
B.y 1 x2 3 x 1 44
C.y 1 x2 3 x 1 D.y 1 x2 3 x 1
解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为 y=ax2+bx，由图象的点的含义，得
a b 13, 4a 2b 24,
解得a=−1，b=14. 故所求一次函数的表达式为y=−x2+14x.
(2) y=−x2+14x=−(x−7)2+49.即当x=7时，利润最大，
y=49.
(3) 没有利润，即y=−x2+14x=0.解得x1=0(舍去），或x2=14， 而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.
解析：函数的图象与x轴总有两个公共点，即方程 x2−2mx+m2−1=0有两个不相等的实数根，根据根的 判别式求解即可.
故不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公 共点.
针对训练
7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则 方程ax2+bx+c−2=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
44
44
针对训练
8.如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两
个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为
10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到
达警戒水位CD位置时，水面宽为（ ）米．
A.5
B.2 5
C.4 5
D.8
方法归纳：解决此类题目需运用建模思想，建立合适 的平面直角坐标系，抽象出函数模型，解决相关问题
a b c 10, a b c 4, 4a 2b c 7.
一般式 待定系数法
(2)已知关于x的二次函数，当x=−2或4时，y=−16， 且函数的最大值为2．求二次函数的解析式．
∴对称轴为直线 x 2 4 1 .
2
顶点式
针对训练
6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（−1，0）、 B（3，0）两点，与y轴交于点C(0,−3)． （1）求抛物线的解析式；
例9 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°， ∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 30 ， BC ＝ x ， 其 中 15 ＜ x ＜ 30. 作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处， DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长；
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
y＝ax2＋bx＋c
b x
2a ( b ，4ac b2 )
2a 4a
4ac b2
y最小= 4a
4ac b2
y最大= 4a
二次函数y＝ax2 一元二次方程 一元二次方程
＋bx＋c的图象和 ax2＋bx＋c=0的 ax2＋bx＋c=0根的
x轴交点
根
判别式（b2−4ac）
1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最
复ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ目标
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识. 2.进一步巩固二次函数的概念、图象和性质，能熟 练应用二次函数的图象和性质解决有关问题.（重点） 3.能应用二次函数与一元二次方程之间的关系解决 函数与方程的问题，会用待定系数法求二次函数解 析式. 4.熟练应用二次函数的有关知识解决实际问题，体 会其中的建模思想.（难点）
2 (1)
例4 将抛物线y＝x2−6x＋5向上平移 2个单位长度， 再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析 式是( )
A．y＝(x−4)2−6 B．y＝(x−4)2-2 C．y＝(x−2)2-2 D．y＝(x−1)2−3
【解析】因为y＝x2−6x＋5＝(x−3)2−4，所以向上平 移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到 的解析式为y＝(x−3−1)2 − 4＋2，即y＝ (x − 4)2−2.