2018版高中数学必修三学案：3-2 古典概型 精品

[学习目标] 1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．
知识点一 基本事件 1．基本事件的定义
在1次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．它们是试验中不能再分的最简单的随机事件．
一次试验中只能出现一个基本事件．
如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个结果，这就是这一随机试验的6个基本事件． 2．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现1点”“出现3点”“出现5点”共同组成．
[思考] “抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？
答 不是．“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本事件． 知识点二 古典概型 1．古典概型的定义 如果一个随机试验满足： (1)所有的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件的发生都是等可能的，那么，我们将这个随机试验的概率模型称为古典概型． 2．古典概型的概率公式
对于任何事件A ，P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数
.
[思考] 若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
答不是，还必须满足每个基本事件出现的可能性相等．
题型一基本事件的定义及特点
例1一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)2个都是白球包含几个基本事件？
解方法一(1)采用列举法．
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．
(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件．
方法二(1)采用列表法．
设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．
列表如下：
共有10个基本事件．
(2)“2个都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(c，a)三个基本事件．
反思与感悟 1.求基本事件的基本方法是列举法．
基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生．2．当基本事件个数较多时还可应用列表法或树形图法求解．
跟踪训练1从A，B，C，D，E，F6名学生中选出4名参加数学竞赛．
(1)写出这个试验的所有基本事件；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出试验“A没被选中”所包含的基本事件．
解(1)这个试验的所有基本事件如下：
(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，C，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)．
(2)从6名学生中选出4名参加数学竞赛，共有15种可能情况，即基本事件的总数为15. (3)“A 没被选中”包含下列5个基本事件：(B ，C ，D ，E )，(B ，C ，D ，F )，(B ，C ，E ，F )，(B ，D ，E ，F )，(C ，D ，E ，F )． 题型二 利用古典概型公式求概率
例2 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)事件A ＝{三个数字中不含1和5}； (2)事件B ＝{三个数字中含1或5}．
解 这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n ＝10. (1)因为事件A ＝{(2,3,4)}， 所以事件A 包含的事件数m ＝1. 所以P (A )＝m n ＝110
.
(2)因为事件B ＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}， 所以事件B 包含的基本事件数m ＝9. 所以P (B )＝m n ＝9
10
.
反思与感悟 1.古典概型概率求法步骤： (1)确定等可能基本事件总数n ； (2)确定所求事件包含基本事件数m ； (3)P (A )＝m
n
.
2．使用古典概型概率公式应注意：(1)首先确定是否为古典概型；(2)A 事件是什么，包含的基本事件有哪些．
跟踪训练2 抛掷两枚骰子，求： (1)点数之和是4的倍数的概率； (2)点数之和大于5小于10的概率．
解 如图，基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共有9
个，即(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)． 所以P (A )＝1
4
.
(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件共有20个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P (B )＝5
9.
题型三 较复杂的古典概型的概率计算
例3 有A 、B 、C 、D 四位贵宾，应分别坐在a 、b 、c 、d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时，
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率； (3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．
解 将A 、B 、C 、D 四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝1
24
.
(2)设事件B 为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝38
. (3)设事件C 为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝1
3
.
反思与感悟 1.当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可
借助树形图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树形图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．
2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出基本事件的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．
跟踪训练3 用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．
(1)求3个矩形颜色都相同的概率； (2)求3个矩形颜色都不相同的概率； (3)求3个矩形颜色不都相同的概率．
解 设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3.用三种不同的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能的结果如图所示． 由图知基本事件共有27个．
(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A ，由图，知事件A 的基本事件有3个，故P (A )＝3
27＝
19
. (2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件B ，由图，知事件B 的基本事件有6个，故P (B )＝627
＝29
. (3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件C . 由图，知事件C 的基本事件有24个， 故P (C )＝2427＝8
9
.
古典概型的应用
例4 (12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率．
审题指导 (1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解．
(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件．
规范解答 (1)甲校2名男教师分别用A ，B 表示，1名女教师用C 表示；乙校1名男教师用D 表示，2名女教师分别用E ，F 表示．[1分]
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为： 错误!―→错误! 共9种．[3分]
从中选出2名教师性别相同的结果有：
(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，[5分] 所以选出的2名教师性别相同的概率为P ＝4
9
.[6分]
(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为： 错误!―→错误! 共15种．[8分]
从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种，[10分]
所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P ＝62
.155
→失分警示：结果不正确扣2分. [12分]
1．从2、3、8、9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________． 答案 16
解析 从2、3、8、9任取2个分别为记为(a ，b )，则有(2，3)，(3，2)，(2，8)，(8，2)，(2，9)，(9，2)，(3，8)，(8，3)，(3，9)，(9，3)，(8，9)，(9，8)，共有12种情况，其中符合log a b 为整数的有log 39和log 28两种情况，∴P ＝212＝1
6
.
2．在国庆阅兵中，某兵种A ，B ，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排
定的，则B 先于A ，C 通过的概率为________． 答案 13
解析 用(A ，B ，C )表示A ，B ，C 通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )，共6种，其中B 先于A ，C 通过的有：(B ，C ，A )和(B ，A ，C )，共2种，故所求概率P ＝26＝1
3
.
3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________． 答案
1
15
解析 第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为1
15
.
4．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是________． 答案 13
解析 基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共六个，甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P ＝26＝1
3.
5．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________． 答案 0.2
解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，所以P ＝2
10
＝0.2.
1.古典概型是一种最基本的概型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝m
n 时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、
n .
2．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树形图和列表)，注意做到不重不漏．。