人教版 九年级数学上册 27.2 相似三角形 课时训练(含答案)

人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 课时训
练
一、选择题
1. （2020·内江）如图，在ABC ∆中，
D 、
E 分别是AB 和AC 的中点，
15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）
A. 30
B. 25
C. 22．5
D. 20
2. (2019•重庆)下列命题是真命题的是
A ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
3. (2019•沈阳)已知△
ABC ∽△A'B'C'，AD 和A'D'是它们的对应中线，若AD =10，
A'D'=6，则△ABC 与△A'B'C'的周长比是 A ．3∶5 B ．9∶25 C ．5∶3 D ．25∶9
4. （2020·云南）如图，平行四边形
ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E
是CD 的中点．则△DEO 与△BCD 的面积的比等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5. （2020·铜仁）已知△FHB ∽△EAD ，它们的周长分别为30和15，且FH ＝6，
则EA 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．5
6. (2019•巴中)如图
ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使13DE AD =∶∶
，连接EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S △△=
A ．2∶3
B ．3∶2
C ．9∶4
D ．4∶9
7. (2019•贵港)如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥，
ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为
A ．3
B ．32
C ．6
D ．5
8. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶
点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE ∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
A B
C
二、填空题
9. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为
C2，则1
2
C
C
的值等于▲ ．
A
B
C
D E
F
10. （2020·吉林）如图，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若ADE 的面积为
1
2
．则四边形DBCE的面积为_______．
11. (2019•台州)如图，直线123
l l l
∥∥，A，B，C分别为直线
1
l，
2
l，
3
l上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线2l于点D．设直线1l，2l之间的距离为m，直线2l，3l之间的距离为n，若90
ABC
∠=︒，4
BD=，且
3
2
m
n
=，则m n
+的最
大值为__________．
12. (2019•烟台)如图，在边长为
1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标
系，ABO △与'A'B'O △是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P 的坐标为__________．
13.
（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.
14. (2019•吉林)在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地
测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为__________m ．
15. (2019•泸州)如图，在等腰Rt ABC △中，90C =︒∠，15AC
=，点E 在边CB 上，
2CE EB =，点D 在边AB 上，CD AE ⊥，垂足为F ，则AD 长为__________．
16. （2020·长沙）如图，点
P 在以MN 为直径的半圆上运动，（点P 与M ,N 不重
合）PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F . (1)
PM
PE
PQ PF ＋
＝
____________．
(2)若MN PM PN •＝2,则
NQ
MQ
＝____________． F E N
M
P
三、解答题
17. 在△ABC
中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋
转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A ′B ′C.
(1)如图①，当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D.证明：△A ′CD 是等边三角形；
(2)如图②，连接A ′A 、B ′B ，设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S △ACA ′和S △BCB ′.求证：S △ACA ′∶S △BCB ′＝1∶3；
(3)如图③，设AC 中点为E ，A ′B ′中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝________°时，EP 长度最大，最大值为________．
图① 图② 图③
18. (2019•广东)如图，在ABC △中，点D 是边AB 上的一点．
(1)请用尺规作图法，在ABC △内，求作ADE ∠，使ADE B ∠=∠，DE 交AC 于E ；(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若2AD
DB =，求AE EC
的值．
19. 如图，四边形
ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，
BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)； (2)求BP ∶PQ ∶QR.
20. (2019•张家界)如图，在平行四边形
ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点
E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点
F ，
G ． (1)求证：BF CF =；
(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．
21. （2020•丽水）如图，在△ABC
中，AB ＝4，∠B ＝45°，∠C ＝60°．
（1）求BC 边上的高线长．
（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将△AEF 折叠
得到△PEF ．
①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长.
人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 课时训
练-答案
一、选择题
1. 【答案】
D
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE 是中位线，从而判断△ADE ∽△ABC ，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．
根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=
1
2
BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20，因此本题选D ．
2. 【答案】B
【解析】A 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；
B 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；
C 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；
D 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题， 故选B ．
3. 【答案】C
【解析】∵△ABC ∽△A'B'C'，AD 和A'D'是它们的对应中线，AD =10，A'D'=6， ∴△ABC 与△A'B'C'的周长比=AD ∶A ′D ′=10∶6=5∶3．故选C ．
4. 【答案】
B ．
【解析】利用平行四边形的性质可得出点O 为线段BD 的中点，结合点E 是CD 的中点可得出线段OE 为△DBC 的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE ∥BC ，OE ＝BC ，进而可得出△DOE ∽△DBC ，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO 与△BCD 的面积的比为1：4．
5. 【答案】
A 【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FH
B 和△EAD
的相似比为30∶15=2∶1，所以FH ∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A ．
6. 【答案】D
【解析】设DE x =，∵13DE AD =∶∶
，∴3AD x =， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，3BC AD x ==， ∵点F 是BC 的中点，∴13
22
CF BC x =
=， ∵AD BC ∥，∴DEG CFG △∽△， ∴
224
()()392
DEG CFG S DE x S CF x ===△△，故选D ．
7. 【答案】C
【解析】设2AD x =，BD x =，∴3AB x =， ∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴
DE AD AE BC AB AC ==，∴263DE x
x
=， ∴4DE =，2
3
AE AC =，
∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠， ∵A A ∠=∠，∴ADE ACD △∽△，
∴AD AE DE
AC AD CD
==， 设2AE y =，3AC y =，∴
23AD y
y AD
=，
∴AD =4
CD
=，∴CD = 故选C ．
8. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
C
因此本题选A ．
二、填空题
9. 【答案】
2
【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为
1:2
．
10. 【答案】
32
【解析】点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， 1//,2DE BC DE BC ∴=
ADE
ABC ∴ 21()4
ADE ABC S DE S BC ∴==△△，即4ABC ADE S S =△△ 又12ADE S =，1422
ABC S ∴=⨯= 则四边形DBCE 的面积为13222ABC ADE S
S -=-=. 故答案为：
32．
11. 【答案】253
【解析】如图，过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，
设AE x =，CF y =，BN x =，BM y =，
∵4BD =，∴4DM y =-，4DN x =-，
∵90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒，
∴90EAB ABE ABE CBF ∠+∠=∠+∠=︒，
∴EAB CBF ∠=∠，∴ABE BFC △∽△，
∴AE BE BF CF
=，即x m n y =，∴xy mn =，
∵ADN CDM ∠=∠，∴CMD AND △△， ∴AN DN CM DM =，即4243m x n y -==-，
∴3102
y x =-+， ∵23m n =，∴32n m =， ∴5()2
m n m +=最大， ∴当m 最大时，5()2m n m +=
最大， ∵22333(10)10222
mn xy x x x x m ==-+=-+=， ∴当10
10332()2x =-=⨯-时，250332
mn m ==最大， ∴103
m =最大， ∴m n +的最大值为51025233⨯=．故答案为：253
．
12. 【答案】(32)-，
【解析】如图，连接B'B 并延长，A'A 并延长，B'B 与A'A 的交点即为位似中心P 点，
由图可知B'、B 、P 在一条直线上，则P 点横坐标为–3，
由图可得ABO △和'A'B'O △的位似比为3162
''OB O B ==，2BB '=，
所以12PB PB PB'PB BB'==+，解得PB =2， 所以P 点纵坐标为2，即P 点坐标为(32)-，
．故答案为：(32)-，．
13. 【答案】1【解析】 ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB. ∵////EF DG AC ，∴1
23EF AC ==∴1
12DH EF ==.
14. 【答案】54
【解析】设这栋楼的高度为h m ，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为60 m ，
∴1.8
390h
=，解得h =54(m)．故答案为：54．
15. 【答案】92
【解析】如图，过
D 作DH AC ⊥于H ，则∠AHD =90°，
∵在等腰Rt ABC △中，90C =︒∠，15AC =，
∴15AC BC ==，45CAD ∠=︒，
∴∠ADH =90°–∠CAD =45°=∠CAD ，
∴AH DH =，
∴CH =AC –AH =15–DH ，
∵CF AE ⊥，∴90DHA DFA ∠=∠=︒，
又∵∠ANH =∠DNF ，∴HAF HDF ∠=∠，
∴ACE DHC △∽△，∴DH CH AC CE
=， ∵2CE EB =，CE +BE =BC =15，∴10CE =， ∴151510
DH DH -=， ∴9DH =，
∴AD ==
，故答案为：．
16. 【答案】1；2
15－ 【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，
（1）作EH ⊥MN ，又∵MN 是直径，NE 平分∠MNP ，PQ ⊥MN ，∴易证出PE ＝EH ＝HF ＝PF ，EH ∥PQ ，∴△EMH ∽△PMQ ，∴
PQ
PF PQ EH PM ME ＝＝，∴1＝＋＝＋PM PE PM ME PM PE PQ PF ； （2）由相似基本图射影型得：解得MN QN PN •＝2又∵MN PM PN •＝2，∴QN ＝PM ，设QN ＝PM ＝a ，MQ ＝b ，由相似基本图射影型得：解得MN MQ PM •＝2，
∴()b a b a ＋＝2解得()251a b ＋－＝或()251a b －－＝（舍去）∴2
15－＝＝a b NQ MQ ； 因此本题答案为1；2
15－．
三、解答题
17. 【答案】
(1)证：∵AB ∥CB ′，∴∠BCB ′＝∠ABC ＝30°，
∴∠ACA ′＝30°；又∵∠ACB ＝90°，
∴A ′CD ＝60°，又∠CA ′B ′＝∠CAB ＝60°.
∴△A ′CD 是等边三角形．
(2)证：∵AC ＝A ′C ，BC ＝B ′C ，∴AC BC ＝A ′C B ′C
. 又∠ACA ′＝∠BCB ′，∴△ACA ′∽△BCB ′. ∵AC BC ＝tan30°＝33
，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝1∶3. (3)120，3a 2.
18. 【答案】
(1)如图所示：
(2)∵ADE B ∠=∠，
∴DE BC ∥．
∴
2AE AD EC DB
==．
19. 【答案】 解：(1)△BCP ∽△BER ，△PCQ ∽△PAB ，△PCQ ∽△RDQ ，△PAB ∽△RDQ.
(2)∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，
∴BC ＝AD ＝CE ，AC ∥DE ，∴PB ＝PR ，PC RE ＝12.
又∵PC ∥DR ，∴△PCQ ∽△RDQ.
∵点R 是DE 的中点，∴DR ＝RE. ∴PQ QR ＝PC DR ＝PC RE ＝12，∴QR ＝2PQ.
又∵BP ＝PR ＝PQ ＋QR ＝3PQ ，
∴BP ∶PQ ∶QR ＝3∶1∶2.
20. 【答案】
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD CD ∥，AD BC =，
∴EBF EAD △∽△，
∴BF BE AD EA
=， ∵BE =AB ，AE =AB +BE ，
∴12
BF AD =， ∴1122BF AD BC =
=， ∴BF CF =．
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD CD ∥，
∴FGC DGA △∽△，
∴FG FC DG AD =，即142
FG =， 解得，2FG =．
21. 【答案】
解：（1）如图1中，过点A 作AD ⊥BC 于D ．
在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝44．
（2）①如图2中，
∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．
②如图3中，由（1）可知：AC，
∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，
∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，
∴，即，∴AF＝2，在Rt△AFP，AF＝FP，
∴AP AF＝2．。