同济大学地下结构有限元8_二维单元庄晓莹
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X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
19
请构造图示6结点举行单元的形函数 按C0变结点单元构造方法
③ 结点6
6 3
2
5
1
4
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
20
2
5
1
④ 结点7
6 3
7
4
N7
1 2
2 1
1 1 ˆ N3 N3 N 6 N 7 2 2 1 ˆ N4 N4 N7 2
N8 2 1 1 ˆ N 4 N 4 N 7 N8 2 2 1
⑤ 结点8
2 6
5
8结点 二次单元
1 8
1
2
3
X. ZHUANG
7
4
1 1 ˆ N1 N1 N5 N8 2 2
21
弹性力学中的有限元
2
6
5
8结点 二次单元
1 8
3
7
4
1 1 ˆ N 4 N 4 N 7 N8 2 2
1 1 1 4
2 2 4 1 1 1 1 1 N3 2 2 4 1 1 1 N4 1 1 2 2 4
1 1 1
j 1, j i
n
(x x j ) ( xi x j )
i 1, 2,
x x1 l
,n
(1 0, , n 1)
, n 1)
0 1
引入无量纲坐标
2 x ( x1 xn ) l
1 1
(1 1,
( 1 )( 2 ) ( i 1 )( i 1 ) ( n ) Ni li( n1) ( ) (i 1 )(i 2 ) (i i 1 )(i i 1 ) (i n )
4结点
5结点
6结点
7结点
8结点 二次单元
12结点
三次单元
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
15
6.2.2 Serendipity 四边形单元
2 1
①
3
4
1 1 1 ˆ 1 1 N1 4 2 2 1 1 1 ˆ N2 1 1 2 2 4 1 1 1 ˆ N3 1 1 2 2 4 1 1 1 ˆ N4 1 1 2 2 4 弹性力学中的有限元 X. ZHUANG
X. ZHUANG
ˆ 1 1 1 N 3 4 1 ˆ N 4 1 1 4
弹性力学中的有限元
18
③ 结点6
6 3
2
5
1
4
N6
1 2
1
2
1 1 ˆ N 2 N 2 N5 N 6 2 2
1 ˆ N3 N3 N 6 2
( 1 )( 2 ) ( i 1 )( i 1 ) ( n ) Ni (i 1 )(i 2 ) (i i 1 )(i i 1 ) (i n )
2.二次单元
x1
(1)
x3
(0)
x2
(1)
N1 N2
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
24
6.3.2 三角形棱柱单元
一、6结点线性三棱柱单元 形函数 1 6 ζ
3 2
1 Ni Li (1 ) (i 1, 2,3) 2 1 N j L j (1 ) ( j 4,5, 6) 2
4
5 6结点五面体单元
16
2
5
1
② 结点5
3 4
N5
1 2
2 1
1 1 ˆ N1 2 2
可以发现：
ˆ ( , ) 1 N 1 5 5 2
1 ˆ N1 N1 N5 2 1 ˆ N 2 N 2 N5 2
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
7
6.1一维拉格朗日单元
n
1 2 3
x1 x2 x3
xn
n
Nii
i 1
( x x1 )( x x2 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) Ni ( xi x1 )( xi x2 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
弹性力学中的有限元
5
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
6
u Nδ
e e e
形函数特点：
1．形函数Ni在i结点值为1，在其余结点为零，即
1 k i N i ( xk , y k ) 0 k i
2．在单元内任一点三个形函数之和等于1。即
N
i
1
3．能保证用形函数定义的未知量(如场函数)在相邻单元之间 的连续性。 4．应包含任意线性项，以便用它定义的单元位移函数满足 常应变条件。
17
请验证5结点Serendipity单元满足
Ni (i , j ) ij
1 ˆ N1 N1 N5 2
N ( , ) 1
i 1 i
n
1 ˆ N 2 N 2 N5 2
N5
1 2
1
2
1 1 ˆ N1 2 2 1 ˆ N 2 1 1 4
x x
5
4
xy x4y xy
3 2
xy
2 2
xy xy
2 3
x 2y
Cubic, 20
Quartic, 15 y5
yz2
xy4
y4
Quartic, 35
Quintic, 21
xyz2
Pascal triangle 2D
Pascal pyramid 3D
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
14
6.2.2 Serendipity 四边形单元
矩形边中点
Nk 6 Lk (1 2 ) (k 1, 2,3)
三角形边中点
N10 2 L1L2 (1 ) N13 2 L1L2 (1 ) N11 2 L2 L3 (1 ) N14 2 L2 L3 (1 ) N12 2 L1L3 (1 ) N15 2 L1L3 (1 )
j 1, j i
n
(x x j ) ( xi x j )
i 1, 2,
,n
l
( n 1) i
( x)
弹性力学中的有限元
X. ZHUANG
8
1 2 3
x1 x2 x3
xn
n
Nii
i 1
n
( x x1 )( x x2 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) Ni ( xi x1 )( xi x2 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
9
6.1一维拉格朗日单元
1 2 3
x1 x2 x3
xn
Nii
i 1
n
n 1 1
(1 1,
, n 1)
( 1 )( 2 ) ( i 1 )( i 1 ) ( n ) ( n 1) Ni li ( ) (i 1 )(i 2 ) (i i 1 )(i i 1 ) (i n )
(1 )
2 2
N3 1 2
(1 )
(1 )(9 2 1) N2 16
3.三次单元
0
x1
x3
x4
(1/ 3)
x2
(1)
(1 )(9 2 1) N1 16
(1) (1/ 3)
N3
9(1 3 )(1 ) 16
2
9(1 3 )(1 2 ) N4 16
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
11
6.2 二维单元
6.2.1拉格朗日矩形单元
(0, P) (I , J )
(r , p)
N I , J l ( )l
(r ) I
( p) J
( )
o
缺点：单元阶次增加，内结点急 剧增加，但由于多项式非完备项， 并不能提高单元进度。 (0, 0)
3 2
y
xy xy
2
y3
3
Linear, 3 Bi-linear, 4 Quadratic, 6 Quadratic, 8 Cubic, 10 y
4
Linear, 4
xy z xyz z3 x 2y 2 x yz
2 2
y2 xy y 2x zy xy3 xy2z zy z 2y 2 z 3y
3 2
Quadratic, 10 y3
单元形函数的构造 (The interpolation of Lagrange element and serendipity element)
单元类型
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
2
单元类型
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
3
单元类型
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
4
X. ZHUANG
Li 为三角形面积坐标
1 N1 (1 ) L1 2
X. ZHUANG
1 N5 (1 ) L2 2
25
弹性力学中的有限元
6.3.2 三角形棱柱单元 二、15结点二次三棱柱单元
形函数
1 L (1 )(2 L 2) ( i 1, 2,3) 角结点 i i 2 1 N j L j (1 )(2 L j 2) ( j 4,5, 6) 2 Ni
1 1 ˆ N3 N3 N 6 N 7 2 2
1
2 1
1 1 ˆ N1 N1 N5 N8 2 2 1 1 ˆ N 2 N 2 N5 N 6 2 2
2 1 2 N6 1 i 1, 2, , n 2 1 N7 1 2 2 1 2 N8 1 弹性力学中的有限元 2 X. Zi 1 i 1 i 4
i 1, 2,
,n
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
13
1 Constant, 1
1 x x2 x3
3
Constant, 1 y y2 xy
2
x z x2 xz x3 xz xz2 x4 x 3y xz x2z2 xz3 z4
1 N i 1 i 1 i 4
N5
22
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
23
6.3 三维单元
6.3.1拉格朗日单元
NI ,J ,K l
( m) I
( )l ( )l
( n) J
( p) k
( )
(I , J , K )
(m 1) (n 1) ( p 1)
(r , 0)
( 0 )( 1 ) l ( ) ( I 0 )( I 1 )
(r ) I
( I 1 )( I 1 ) ( r ) ( I I 1 )( I I 1 ) ( I r )
( J 1 )( J 1 ) ( J I 1 )( J J 1 ) ( p ) ( J p )
1.线性单元
x1
1 1
X. ZHUANG
2 1 N 1 l (1) ( ) 2 2
x2
( 2 ) ( 1) (1 ) (1) N1 l1 ( ) (1 2 ) ((1) 1) 2
2
弹性力学中的有限元
10
6.1一维拉格朗日单元
l
( p) J
( )
( 0 )( 1 ) ( J 0 )( J 1 )
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
12
6.2 二维单元
6.2.1拉格朗日矩形单元
2
1
3 4
N I , J l ( )l
(r ) I
( p) J
( )
N1
N2
1 1 2 2
弹性力学中的有限元
19
请构造图示6结点举行单元的形函数 按C0变结点单元构造方法
③ 结点6
6 3
2
5
1
4
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
20
2
5
1
④ 结点7
6 3
7
4
N7
1 2
2 1
1 1 ˆ N3 N3 N 6 N 7 2 2 1 ˆ N4 N4 N7 2
N8 2 1 1 ˆ N 4 N 4 N 7 N8 2 2 1
⑤ 结点8
2 6
5
8结点 二次单元
1 8
1
2
3
X. ZHUANG
7
4
1 1 ˆ N1 N1 N5 N8 2 2
21
弹性力学中的有限元
2
6
5
8结点 二次单元
1 8
3
7
4
1 1 ˆ N 4 N 4 N 7 N8 2 2
1 1 1 4
2 2 4 1 1 1 1 1 N3 2 2 4 1 1 1 N4 1 1 2 2 4
1 1 1
j 1, j i
n
(x x j ) ( xi x j )
i 1, 2,
x x1 l
,n
(1 0, , n 1)
, n 1)
0 1
引入无量纲坐标
2 x ( x1 xn ) l
1 1
(1 1,
( 1 )( 2 ) ( i 1 )( i 1 ) ( n ) Ni li( n1) ( ) (i 1 )(i 2 ) (i i 1 )(i i 1 ) (i n )
4结点
5结点
6结点
7结点
8结点 二次单元
12结点
三次单元
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
15
6.2.2 Serendipity 四边形单元
2 1
①
3
4
1 1 1 ˆ 1 1 N1 4 2 2 1 1 1 ˆ N2 1 1 2 2 4 1 1 1 ˆ N3 1 1 2 2 4 1 1 1 ˆ N4 1 1 2 2 4 弹性力学中的有限元 X. ZHUANG
X. ZHUANG
ˆ 1 1 1 N 3 4 1 ˆ N 4 1 1 4
弹性力学中的有限元
18
③ 结点6
6 3
2
5
1
4
N6
1 2
1
2
1 1 ˆ N 2 N 2 N5 N 6 2 2
1 ˆ N3 N3 N 6 2
( 1 )( 2 ) ( i 1 )( i 1 ) ( n ) Ni (i 1 )(i 2 ) (i i 1 )(i i 1 ) (i n )
2.二次单元
x1
(1)
x3
(0)
x2
(1)
N1 N2
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
24
6.3.2 三角形棱柱单元
一、6结点线性三棱柱单元 形函数 1 6 ζ
3 2
1 Ni Li (1 ) (i 1, 2,3) 2 1 N j L j (1 ) ( j 4,5, 6) 2
4
5 6结点五面体单元
16
2
5
1
② 结点5
3 4
N5
1 2
2 1
1 1 ˆ N1 2 2
可以发现：
ˆ ( , ) 1 N 1 5 5 2
1 ˆ N1 N1 N5 2 1 ˆ N 2 N 2 N5 2
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
7
6.1一维拉格朗日单元
n
1 2 3
x1 x2 x3
xn
n
Nii
i 1
( x x1 )( x x2 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) Ni ( xi x1 )( xi x2 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
弹性力学中的有限元
5
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
6
u Nδ
e e e
形函数特点：
1．形函数Ni在i结点值为1，在其余结点为零，即
1 k i N i ( xk , y k ) 0 k i
2．在单元内任一点三个形函数之和等于1。即
N
i
1
3．能保证用形函数定义的未知量(如场函数)在相邻单元之间 的连续性。 4．应包含任意线性项，以便用它定义的单元位移函数满足 常应变条件。
17
请验证5结点Serendipity单元满足
Ni (i , j ) ij
1 ˆ N1 N1 N5 2
N ( , ) 1
i 1 i
n
1 ˆ N 2 N 2 N5 2
N5
1 2
1
2
1 1 ˆ N1 2 2 1 ˆ N 2 1 1 4
x x
5
4
xy x4y xy
3 2
xy
2 2
xy xy
2 3
x 2y
Cubic, 20
Quartic, 15 y5
yz2
xy4
y4
Quartic, 35
Quintic, 21
xyz2
Pascal triangle 2D
Pascal pyramid 3D
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
14
6.2.2 Serendipity 四边形单元
矩形边中点
Nk 6 Lk (1 2 ) (k 1, 2,3)
三角形边中点
N10 2 L1L2 (1 ) N13 2 L1L2 (1 ) N11 2 L2 L3 (1 ) N14 2 L2 L3 (1 ) N12 2 L1L3 (1 ) N15 2 L1L3 (1 )
j 1, j i
n
(x x j ) ( xi x j )
i 1, 2,
,n
l
( n 1) i
( x)
弹性力学中的有限元
X. ZHUANG
8
1 2 3
x1 x2 x3
xn
n
Nii
i 1
n
( x x1 )( x x2 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) Ni ( xi x1 )( xi x2 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
9
6.1一维拉格朗日单元
1 2 3
x1 x2 x3
xn
Nii
i 1
n
n 1 1
(1 1,
, n 1)
( 1 )( 2 ) ( i 1 )( i 1 ) ( n ) ( n 1) Ni li ( ) (i 1 )(i 2 ) (i i 1 )(i i 1 ) (i n )
(1 )
2 2
N3 1 2
(1 )
(1 )(9 2 1) N2 16
3.三次单元
0
x1
x3
x4
(1/ 3)
x2
(1)
(1 )(9 2 1) N1 16
(1) (1/ 3)
N3
9(1 3 )(1 ) 16
2
9(1 3 )(1 2 ) N4 16
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
11
6.2 二维单元
6.2.1拉格朗日矩形单元
(0, P) (I , J )
(r , p)
N I , J l ( )l
(r ) I
( p) J
( )
o
缺点：单元阶次增加，内结点急 剧增加，但由于多项式非完备项， 并不能提高单元进度。 (0, 0)
3 2
y
xy xy
2
y3
3
Linear, 3 Bi-linear, 4 Quadratic, 6 Quadratic, 8 Cubic, 10 y
4
Linear, 4
xy z xyz z3 x 2y 2 x yz
2 2
y2 xy y 2x zy xy3 xy2z zy z 2y 2 z 3y
3 2
Quadratic, 10 y3
单元形函数的构造 (The interpolation of Lagrange element and serendipity element)
单元类型
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
2
单元类型
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
3
单元类型
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
4
X. ZHUANG
Li 为三角形面积坐标
1 N1 (1 ) L1 2
X. ZHUANG
1 N5 (1 ) L2 2
25
弹性力学中的有限元
6.3.2 三角形棱柱单元 二、15结点二次三棱柱单元
形函数
1 L (1 )(2 L 2) ( i 1, 2,3) 角结点 i i 2 1 N j L j (1 )(2 L j 2) ( j 4,5, 6) 2 Ni
1 1 ˆ N3 N3 N 6 N 7 2 2
1
2 1
1 1 ˆ N1 N1 N5 N8 2 2 1 1 ˆ N 2 N 2 N5 N 6 2 2
2 1 2 N6 1 i 1, 2, , n 2 1 N7 1 2 2 1 2 N8 1 弹性力学中的有限元 2 X. Zi 1 i 1 i 4
i 1, 2,
,n
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
13
1 Constant, 1
1 x x2 x3
3
Constant, 1 y y2 xy
2
x z x2 xz x3 xz xz2 x4 x 3y xz x2z2 xz3 z4
1 N i 1 i 1 i 4
N5
22
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
23
6.3 三维单元
6.3.1拉格朗日单元
NI ,J ,K l
( m) I
( )l ( )l
( n) J
( p) k
( )
(I , J , K )
(m 1) (n 1) ( p 1)
(r , 0)
( 0 )( 1 ) l ( ) ( I 0 )( I 1 )
(r ) I
( I 1 )( I 1 ) ( r ) ( I I 1 )( I I 1 ) ( I r )
( J 1 )( J 1 ) ( J I 1 )( J J 1 ) ( p ) ( J p )
1.线性单元
x1
1 1
X. ZHUANG
2 1 N 1 l (1) ( ) 2 2
x2
( 2 ) ( 1) (1 ) (1) N1 l1 ( ) (1 2 ) ((1) 1) 2
2
弹性力学中的有限元
10
6.1一维拉格朗日单元
l
( p) J
( )
( 0 )( 1 ) ( J 0 )( J 1 )
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
12
6.2 二维单元
6.2.1拉格朗日矩形单元
2
1
3 4
N I , J l ( )l
(r ) I
( p) J
( )
N1
N2
1 1 2 2