专题02 辅助线之截长补短

几何专题02 辅助线之截长补短
一、 知识导航
截长：在长边截取一条与某一短边相等的线段，再证明剩下的线段长度与另一短边相等。

例：如图，在AB 上截取AD AC
=补短：通过延长或是旋转等方式使两短边拼接在一起，然后证明与长边相等。

例：延长AC 至点D ，使得AD AB
=
D C
B A
二、 典型例题
题型一 截长补短证明线段（角）和差关系
例1 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AB BD AC +=．
变式训练1 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C
∠=∠例2 在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的两点，且∠EAF
＝
G F E C B D A A D
B
C
E F
G F
E C B D A A D B C E
F 1
2∠BAD ，求证：BE+DF ＝EF ．
变式训练2 正方形ABCD 中，点
E 在CD 延长线上，点
F 在BC 延长线上，45EAF ∠=︒，求证：EF BF DE
=-题型二 截长补短探究线段长度关系
例3 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．点D 是边BC 下方一点，∠BDC =90°，探索三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系，并证明你的结论．
变式训练3 在四边形ABDC 中，180B C ∠+∠=︒，DB DC =，120BDC ∠=︒，以D 为顶点作EDF ∠为60︒角，角的两边分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，请直接写出线段BE ，CF ，EF 之间的数量关
系．
G
A
B D
C E F F
E
C D B
A
三、 巩固练习
1. 正方形ABCD 中，已知AB=3，点E ，F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF 的面积.
2. 如图，在ΔABC 中，AB ＞AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-
．
截长补短方法归纳总结：
线段间的和差倍分，就把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．但凡出现了线段的和差关系时，一定要尝试一下用截长补短的方法来进行处理，但不是每一个和差关系的题目都可以同时使用截长法和补短法，有时截长法能更加便捷的解决问题，而有时补短法又优于截长法，这都是需要根据具体的题目取选择具体的方法的。

3. 如图，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC 外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延
长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．求证：AC﹣AE＝1
2 AF。