安徽省太和第一中学2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷(普通班)

安徽省太和第一中学2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷
（普通班）
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取样本容量为36的样本，最合适的抽取样本的方法是（ ）
A ．简单随机抽样
B ．系统抽样
C ．分层抽样
D ．抽签法
2已知()()()2,2,0,0,2,2,2,0,2A B C ，则,,A B C 满足（ ）
A ．三点共线
B ．构成直角三角形
C ．构成钝角三角形
D ．构成等边三角形
3．已知直线a 、b ，平面α、β、γ，下列命题正确的是（ ）
A ．若αγ⊥，βγ⊥，a αβ⋂=，则a γ⊥
B ．若a αβ⋂=，b αγ⋂=，c βγ⋂=，则////a b c
C ．若a αβ⋂=，//b a ，则//b α
D ．若αβ⊥，a αβ⋂=，//b α，则//b a
4已知正方体的8个顶点中，有4个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）
A B ．1: C ．2 D ．5 执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入的条件是
A 4k >
B ．5k >
C ．6k >
D ．7k > 6 直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于（ ）
A 0
B ．1
C ．2
D ．3
7．已知圆(x −a)2+y 2=4截直线y =x −4所得的弦的长度为2√2，则a 等于（ ）
A ．2
B ．6
C ．2或6
D ．2√2
8．线段AB 长为2a ，两端A ，B 分别在一个直二面角的两个面内，AB 和两个面所成角分别为45︒，30，那
么A ，B 在棱上射影间的距离为（ ）．
A ．2a
B ．2a
C ．a
D ．2
a 9．某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）
A B C ．
2 D ．15 10．已知直线:l ()23y k x =-+，圆:O ()()224x a y b -+-=，且点(),a b 是圆()()22234x y -+-=上的
任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A ．对任意的实数k 与点(),a b ，直线l 与圆O 相切
B ．对任意的实数k 与点(),a b ，直线l 与圆O 相交
C ．对任意的实数k ，必存在实数点(),a b ，使得直线l 与圆O 相切
D ．对任意的实数点(),a b ，必存在实数k ，使得直线l 与圆O 相切
11在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆
有公共点，则实数的最大值为（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．3
12在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==有下列结论： ①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；
②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为
23π；
④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B 种型号产品抽取了60件，则a =______
14．运行下面的程序，执行后输出的s 的值是________
i ＝1
WHILE i<6
i ＝i ＋2
s ＝2*i1
WEND O 22 1.x y +=2y kx =+O P ABC -PAC ⊥ABC PAC AB AC ⊥D BC
AC PD ⊥2AB AC ==D PAB l ()()1520a x y a a R ++--=∈a l P l
x y (),0A A x ()0,B B y AOB ∆AOB ∆l l A DBCE -5AD BD AE CE ====4BC =2DE =//DE BC ,O H ,DE AB AO CE ⊥//DH ACE A DBCE -111ABC A B C -ABC 1CC ⊥ABC 14CC =E 11B C G 11A B 1C G ⊥11A B BA 1//AC 1A EB 1A EBA -22(4)1x y +-=20x y -=60APB ︒∠=4132
y x =
-所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方 （1）求圆M 的方程； （2）设(0,),(0,6)(52)A t B t t +-≤≤-，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的范围
参考答案一、选择题
1-5 CDAAB 6-10 ACCBC 11-12 BC
二、填空题
1516
3
π
16
(,1][1)
-∞-⋃+∞
，
三、解答题
17（1）证明：取AC中点E，连接DE，PE
PAC为等边三角形，∴PE AC
⊥
AB AC
⊥，D是BC的中点，E为AC中点，∴ED AC
⊥
又PE ED E
=，AC
∴⊥平面PED
∴AC PD
⊥
（2）方法一：取PA中点M，连接
CM
PAC为等边三角形，∴CM PA
⊥
平面PAC⊥平面ABC，AB AC
⊥，
∴AB⊥平面PAC AB CM
∴⊥
又AB PA A
⋂=，CM
∴⊥平面PAB
2
AC=，PAC
为等边三角形，CM
∴=
D是BC的中点，
∴D到平面PAB的距离的2倍等于C到平面PAB的距离
∴D到平面PAB
的距离为
2
方法二：由平面PAC⊥平面ABC，AB AC
⊥，
可得AB⊥平面PAC，则AB PA
⊥
2
AB AC
==，PAC为等边三角形，则
1
2
2
PAB
S PA AB
=⋅⋅=
△
D是BC的中点，
1
1
22
ABD
AC
S AB
∴=⋅⋅=
△
点P到平面ABC的距离为，设D到平面PAB的距离为d，
由
11
33
D PAB P ABD PAB ABD
V V S d S PE
--
=⇒⋅=⋅
△△
，解得
2
d=
PE =18解：1由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，
则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩
，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ；
2由()1520a x y a ++--=得，
当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521
A a x a +=+， 又由5205201
B A y a a x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩
，得1a >-， ()()
119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+， 当且仅当()9411a a +=+，即12
a =时，取等号 ()4,0A ∴，()0,6B ，
AOB ∴∆
的周长为4610OA OB AB ++=+=+
3 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，
即52a +，521a a ++均为整数， 523211
a a a +=+++，4,2,0,2a ∴=--， 又当52
a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -= 19证明：（1）取线段AC 的中点F ，连接,EF HF
则HF 是ABC ∆的中位线，
所以12,2
HF BC HF ==BC 2,DE DE =BC ,HF DE HF =DE 所以四边形DEFH 为平行四边形 所以EF HD EF ⊂ACE DH ⊄ACE DH ACE
解：（2）易求等腰梯形DBCE 的高为
2==， 所以等腰梯形DBCE 的面积24262
S +=⨯= 因为AD AE =，O 为DE 中点，所以AO DE ⊥
又AO CE ⊥，DE CE E ⋂=，
,DE CE ⊂平面DBCE ，所以AO ⊥平面DBCE ，
AO 即为四棱锥A DBCE -的高
在Rt AOD ∆中，11,2OD DE AD =
==
则2AO ===，
故四棱锥A DBCE -的体积
1162433
V S AO =⋅=⨯⨯= 20（1）连接1C G ，由1CC ⊥底面ABC ，且11//CC BB ，可得1BB ⊥底面111A B C ， 又由1C G ⊂底面111A B C ，所以11C G B B ⊥，
又因为G 为正111A B C △边11A B 的中点，所以111C G A B ⊥，
因为1111A B BB B =，且111,A B BB ⊂平面11A B BA ，
所以1C G ⊥平面11A B BA
（2）连接1B A 交1A B 与G ，则O 为1A B 的中点，连接EO ，则1//EO AC 因为EO ⊂平面1EA B ，1AC ⊄平面1EA B ，
所以1//AC 平面1EA B
（2）因为11A A BE E ABA V V --=，11142
ABA S AB AA =⨯⨯=△ 取1GB 的中点F ，连接EF ，则1//EF C G ，可得EF ⊥平面11A B BA ，
即EF 为三棱锥1E ABA -的高，1122
EF C G ===，
三棱锥1A EBA -的体积11
11143323A A BE E ABA ABA V V S EF --==⨯=⨯⨯=△
21（1）由题意，圆C ：22(4)1x y +-=，可得圆心(0,4)C ，半径1r =， 因为60APB ∠=，可得2PC =，
设(,2)P a a
，则2PC ==
，解得2a =或65a =， 所以(2,4)P 或612(,)55
P （2）设(,2)P a a ，过,,A P C 三点的圆，即以PC 为直径的圆， 其方程为()(4)(2)0x x a y y a -+--=，
整理得22
(4)(28)0x y y a x y +--+-=， 由22
40280x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩，可得04x y =⎧⎨=⎩或85165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即经过A ､(0,4)
816(,)55a ，0，由已知得M 到直线l ：8-6y -3=0的距离为
2
231122⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
， 12=，又∵M 在直线l 的下方， ∴8a -3>0，∴8a -3=5，a =1，
故圆的方程为-12y 2=1
（2）设AC 的斜率为1，BC 的斜率为2，
则直线AC 的方程为y =1t ，直线BC 的方程为y =2t 6，
由方程组126y k x t y k x t =+⎧⎨=++⎩
，得C 点的横坐标为126C x k k =-， ∵|AB |=t 6-t =6，1212
161862S k k k k ∴=⋅=--， 由于圆M 与AC
相切，所以2
1112t k t -=∴=, 同理2
21(6)2(6)
t k t -+=+， ()
21223616t t k k t t ++∴-=+，
()222661616161t t S t t t t +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭
， 52,231t t -≤≤-∴-≤+≤，
28614t t ∴-++-， ∴2715[
,]42s ∈。