安徽省铜陵市名校2021-2022学年中考冲刺卷数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡的坡度为（）
A．
5
12
B．
12
13
C．
5
13
D．
13
12
2．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
3．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则cos∠ECB 为（）
A．3
5
B．
313
13
C．
2
3
D．
213
13
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为（）
A．15
4
B．
1
4
C．
15
15
D．
17
17
5．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（）
A．30
x
﹣
36
1.5x
=10 B．
36
x
﹣
30
1.5x
=10
C．
36
1.5x
﹣
30
x
=10 D．
30
x
+
36
1.5x
=10
影部分的面积是( )
A．4
3
π
B．
4
3
π
﹣3C．23+
3
π
D．23﹣
2
3
π
7．安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学记数法表示3804.2千正确的是（）
A．3804.2×103B．380.42×104C．3.8042×106D．3.8042×105
8．下列各式计算正确的是（）
A．a4•a3=a12B．3a•4a=12a C．（a3）4=a12D．a12÷a3=a4
9．在实数0，2
-，1，5中，其中最小的实数是（）
A．0B．2-C．1D．5
10．4的平方根是( )
A．2 B．2C．±2 D．±2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为_____．
12．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8)x
-个，则当x=_________元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝42，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为___．
15．二次函数2(1)3y x =--的图象与y 轴的交点坐标是________． 16．若分式方程
2m 2x 22x
-=--有增根，则m 的值为______． 三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：y=﹣2x+1．设这种产品每天的销售利润为w 元．求w 与x 之间的函数关系式．该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
18．（8分）某商场甲、乙、丙三名业务员2018年前5个月的销售额（单位：万元）如下表：
（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：
（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由.
19．（8分）某商场购进一批30瓦的LED 灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：
标价（元） 60 30
（1）该商场购进了LED 灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED 灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可获利3200元，求该商场购进LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？
（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进这两种灯泡120个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？
20．（8分）如图，AC 是⊙O 的直径，点P 在线段AC 的延长线上，且PC=CO ，点B 在⊙O 上，且∠CAB=30°． （1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）若D 为圆O 上任一动点，⊙O 的半径为5cm 时，当弧CD 长为 时，四边形ADPB 为菱形，当弧CD 长为 时，四边形ADCB 为矩形．
21．（8分）如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．
（1）试说明DF 是⊙O 的切线； （2）若AC =3AE ，求tan C ．
22．（10分）已知抛物线2
y x bx c =++过点(0,0)，(1,3)，求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标. 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4）；点D 的坐标为（0，2），点P 为二次函数图象上的动点． （1）求二次函数的表达式；
（2）当点P 位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD ，AP ，以AD ，AP 为邻边作平行四边形APED ，设平行四边形APED 的面积为S ，求S 的最大值；
（3）在y轴上是否存在点F，使∠PDF与∠ADO互余？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解析】
试题解析：∵一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，
∴这个斜坡的坡度为：50：10=5：1．
故选A．
点睛：本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
2、B
【解析】
根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】
∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，
∴-2+m=−3
1
，
解得，m=-1，
故选B．
3、D
【解析】
连接EB，设圆O半径为r，根据勾股定理可求出半径r=4，从而可求出EB的长度，最后勾股定理即可求出CE的长度．利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
解：连接EB，
由圆周角定理可知：∠B=90°，
设⊙O的半径为r，
由垂径定理可知：AC=BC=4，
∵CD=2，
∴OC=r-2，
∴由勾股定理可知：r2=（r-2）2+42，
∴r=5，
BCE 中，由勾股定理可知：
∴cos ∠ECB=CB CE 故选D ． 【点睛】
本题考查垂径定理，涉及勾股定理，垂直定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型． 4、A 【解析】
∵在Rt △ABC 中,∠C =90°，AB =4，AC =1，
∴BC ，
则cos B =BC AB =4
， 故选A 5、A 【解析】
根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可. 【详解】
设原计划每亩平均产量x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克， 根据题意列方程为：3036
101.5x x
-=. 故选：A . 【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系. 6、D 【解析】
连接OC 交MN 于点P ，连接OM 、ON ，根据折叠的性质得到OP=1
2
OM ，得到∠POM=60°，根据勾股定理求出MN ，结合图形计算即可. 【详解】
解：连接OC 交MN 于点P ，连接OM 、ON ，
由题意知，OC⊥MN，且OP=PC=1，在Rt△MOP中，∵OM=2，OP=1，
∴cos∠POM=OP
OM
=
1
2
，22
OM OP
-3
∴∠POM=60°，3，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则图中阴影部分的面积=S半圆-2S弓形MCN
=1
2
×π×22-2×（
2
1202
360
π⨯
-
1
2
×31）3
2
3
π，
故选D.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键.
7、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
∵3804.2千=3804200，
∴3804200=3.8042×106；
故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8、C
根据同底数幂的乘法，可判断A、B，根据幂的乘方，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．
【详解】
A．a4•a3=a7，故A错误；
B．3a•4a=12a2，故B错误；
C．（a3）4=a12，故C正确；
D．a12÷a3=a9，故D错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减是解题的关键．
9、B
【解析】
由正数大于一切负数，负数小于0，正数大于0，两个负数绝对值大的反而小，把这四个数从小到大排列，即可求解．【详解】
解：∵0，-2，1-2＜0＜1
∴其中最小的实数为-2；
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，关键是掌握：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小．10、D
【解析】
，然后再根据平方根的定义求解即可．
【详解】
=2，2的平方根是
的平方根是．
故选D．
【点睛】
正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
【解析】
试题分析：根据圆锥的展开图的圆心角计算法则可得：扇形的圆心角=×360°=90°，则θ=108°－90°=18°. 考点：圆锥的展开图 12、1
【解析】先根据题意得出总利润y 与x 的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答． 解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8-x ）个， ∴y=（8-x ）x ，即y=-x 2+8x ， ∴当x=- b
82a 2
-=-=1时，y 取得最大值．
故答案为：1． 13、25﹣2 【解析】
连结AE ，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD 为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E 在以AB 为直径的 O 上，于是当点O 、E 、C 共线时，CE 最小，如图2，在Rt △AOC 中利用勾股定理计算出OC=25，从而得到CE 的最小值为25﹣2. 【详解】
连结AE ，如图1，
∵∠BAC=90°,AB=AC,BC=42 ∴AB=AC=4， ∵AD 为直径， ∴∠AED=90°， ∴∠AEB=90°，
∴点E 在以AB 为直径的O 上， ∵O 的半径为2，
在Rt △AOC 中，∵OA=2，AC=4，
∴2225AC OA =+
∴52，
即线段CE 长度的最小值为5 2.
故答案为5﹣2.
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题关键在于结合实际运用圆的相关性质.
14、a≥1．
【解析】
根据平方根的定义列出不等式计算即可.
【详解】
根据题意，得30.a -≥
解得： 3.a ≥
故答案为 3.a ≥
【点睛】
考查平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
15、(0,2)-
【解析】
求出自变量x 为1时的函数值即可得到二次函数的图象与y 轴的交点坐标．
【详解】
把0x =代入2(1)3y x =--得：132y =-=-，
∴该二次函数的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)-，
故答案为(0,2)-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y 轴上的点的横坐标为1．
16、-1
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．
【详解】
方程两边都乘（x-1），得
x-1（x-1）=-m
∵原方程增根为x=1，
∴把x=1代入整式方程，得m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三、解答题（共8题，共72分）
17、 (1)2w 2x 120x 1600=-+-;
(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润2元;
(3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【解析】
（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式．
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．
（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x ，根据x 的取值范围求x 的值．
【详解】
解：（1）由题意得：()()()2
w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-， ∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-．
（2）()2
2w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为2．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润2元．
（3）当w=150时，可得方程﹣2（x ﹣30）2+2=150，解得x 1=25，x 2=3．
∵3＞28，∴x 2=3不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
18、（1）8.2；9；9；6.4；（2）赞同甲的说法.理由见解析.
【解析】
（1）利用平均数、众数、中位数的定义和方差的计算公式求解；
（2）利用甲的平均数大得到总营业额高，方差小，营业额稳定进行判断.
【详解】
（1）甲的平均数()16910888.25=
++++=； 乙的众数为9；
丙的中位数为9， 丙的方差()()()()()222221589810858118 6.45⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣
⎦； 故答案为8.2；9；9；6.4；
（2）赞同甲的说法.理由是：甲的平均数高，总营业额比乙、丙都高，每月的营业额比较稳定.
【点睛】
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小.记住方差的计算公式.也考查了平均数、众数和中位数.
19、（1）LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个；（2）1 350元.
【解析】
1）设该商场购进LED 灯泡x 个，普通白炽灯泡的数量为y 个，利用该商场购进了LED 灯泡与普通白炽灯泡共300个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可；
（2）设该商场购进LED 灯泡a 个，则购进普通白炽灯泡（120-a ）个，这批灯泡的总利润为W 元，利用利润的意义得到W=（60-45）a+（30-25）（120-a ）=10a+1，再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%可确定a 的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
【详解】
（1）设该商场购进LED 灯泡x 个，普通白炽灯泡的数量为y 个．根据题意，得300(6045)(0.93025)3200x y x y +=⎧⎨-+⨯-=⎩
解得200100x y =⎧⎨=⎩
答：该商场购进LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个．
（2）设该商场再次购进LED 灯泡a 个，这批灯泡的总利润为W 元．则购进普通白炽灯泡（120﹣a ）个．根据题意得
W=（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）=10a+1．
∵10a+1≤[45a+25（120﹣a）]×30%，解得a≤75，
∵k=10＞0，∴W随a的增大而增大，
∴a=75时，W最大，最大值为1350，此时购进普通白炽灯泡（120﹣75）=45个．
答：该商场再次购进LED灯泡75个，购进普通白炽灯泡45个，这批灯泡的总利润为1 350元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用,根据实际问题找到等量关系列方程组和建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题是解题的关键.
20、（1）证明见解析（2）5
3
π
cm，
10
3
cm
【解析】
【分析】（1）连接OB，要证明PB是切线，只需证明OB⊥PB即可；
（2）利用菱形、矩形的性质，求出圆心角∠COD即可解决问题. 【详解】（1）如图连接OB、BC，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠COB=∠OAB=∠OBA=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC，∵PC=OA=OC，
∴BC=CO=CP，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）①CD的长为5
3
π
cm时，四边形ADPB是菱形，
∵四边形ADPB是菱形，∠ADB=△ACB=60°，∴∠COD=2∠CAD=60°，
∴CD的长=60?·55
1803
ππ
=cm；
②当四边形ADCB是矩形时，易知∠COD=120°，
∴CD的长=120?·510
1803
ππ
=cm，
故答案为：5
3
π
cm，
10
3
π
cm.
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到切线的判定、矩形的性质、菱形的性质、弧长公式等知识，准确添加辅助线、灵活应用相关知识解决问题是关键.
21、（1）详见解析；（2）
2 tan.
2
C=
【解析】
（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=22AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的值．
【详解】
（1）连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB ，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∴∠ODB=∠C ，
∴OD ∥AC ，
∵DF ⊥AC ，
∴OD ⊥DF ，
∴DF 是⊙O 的切线；
（2）连接BE ，
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC ，AC=3AE ，
∴AB=3AE ，CE=4AE ，
∴=，
在RT △BEC 中，tanC=BE CE ==． 22、y=2x +2x ；（－1，－1）.
【解析】
试题分析：首先将两点代入解析式列出关于b 和c 的二元一次方程组，然后求出b 和c 的值，然后将抛物线配方成顶点式，求出顶点坐标.
试题解析：将点（0,0）和（1,3）代入解析式得：0{13c b c =++=解得：2{0
b c == ∴抛物线的解析式为y=2x +2x ∴y=2x +2x=2(1)x +－1 ∴顶点坐标为（－1，－1）.
考点：待定系数法求函数解析式.
23、 (1) y ＝﹣x 2﹣3x +4；(2)当74t =-
时，S 有最大值814；（3）点P 的横坐标为﹣2或1或52-+或52
-. 【解析】
（1）将B 10C 04（，）、（，）
代入2y x bx c =-++，列方程组求出b 、c 的值即可； （2）连接PD ，作PG y 轴交AD 于点G ，求出直线AD 的解析式为y x 2＝+，设
()2,34P t t t --+4t 0（﹣＜＜），则1,22G t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2
217342224PG t t t t t =--+--=--+，2
217812241484244APD D A S S PG x x t t t ⎛⎫==⨯⋅-=--+=-++ ⎪⎝⎭， 当74t =-时，S 有最大值814
； （3）过点P 作PH y ⊥轴，设()
2,34P t t t --+，则PH x ＝， 2234232HD x x x x =--+-=--+，
根据PDH DAO ∽，列出关于x 的方程，解之即可．
【详解】
解：（1）将B 10（，）、C 04（，）
代入y x2bx c ++＝﹣， 104
3,4
b c c b c -++=⎧⎨=⎩∴=-= ， ∴二次函数的表达式234y x x =--+；
（2）连接PD ，作PG y 轴交AD 于点G ，如图所示．
在234y x x =--+中，
令y ＝0，得x14x21＝﹣，＝，
A 40∴（﹣，）．
D 02（，），
∴直线AD 的解析式为y x 2＝+．
设()2,34P t t t --+4t 0（﹣＜＜），则1
,22G t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
∴2217342224PG t t t t t =--+--=--+， ∴2
217812241484244APD D A S S PG x x t t t ⎛⎫==⨯⋅-=--+=-++ ⎪⎝⎭． 404t 0﹣＜，﹣＜＜， ∴当74t =-时，S 有最大值814
． （3）过点P 作PH y ⊥轴，设()2,34P t t t --+，则PH x ＝，22
34232HD x x x x =--+-=--+，
PDF ADO 90DAO ADO 90∠∠∠∠+︒+︒＝，＝，
PDF DAO ∠∠∴＝，
PDH DAO ∽，∴
PH
DO 21
DH AO 42∴===，
即2||1
232x x x =--+
2322||x x x --+=，
当点P 在y 轴右侧时，x 0＞，
2322x x x --+=，或()2322x x x ---+=，
12533533
x x -+--==（舍去）或1x 2＝﹣（舍去），2x 1＝
当点P 在y 轴左侧时，x ＜0，
2322x x x --+=-，或()2322x x x ---+=-，
12x 2x 1＝﹣，＝（舍去），或1533x -+=，2533
x --=
综上所述，存在点F ，使PDF ∠与ADO ∠互余点P 的横坐标为2﹣或1或5332-+或5332
--． 【点睛】 本题是二次函数，熟练掌握相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及二次函数图象的性质等是解题的关键．
24、（1）①证明见解析；②10；（2）线段EF 的长度不变，它的长度为2
. ．
【解析】 试题分析：（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP ∽△PDA ；根据△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x ，则CO=8﹣x ，由勾股定理得列方程，求出x ，最后根据CD=AB=2OP 即可求出边CD 的长；
（2）作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，求出MP=MQ ，BN=QM ，得出MP=MQ ，根据ME ⊥PQ ，得出EQ=PQ ，根据∠QMF=∠BNF ，证出△MFQ ≌△NFB ，得出QF=QB ，再求出EF=PB ，由（1）中的结论求出PB 的长，最后代入EF=PB 即可得出线段EF 的长度不变．
试题解析：（1）如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C ，∴△OCP ∽△PDA ；∵△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，∴=，∴CP=AD=4，设OP=x ，则CO=8﹣x ，在Rt △PCO 中，∠C=90°，由勾股定理得 ：
，解得：x=5，
∴CD=AB=AP=2OP=10，∴边CD 的长为10； （2）作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图2，∵AP=AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB=∠ABP=∠MQP ，∴MP=MQ ，∵BN=PM ，∴BN=QM ．∵MP=MQ ，ME ⊥PQ ，∴EQ=PQ ．∵MQ ∥AN ，∴∠QMF=∠BNF ，在△MFQ 和△NFB 中，
∵∠QFM=∠NFB ，∠QMF=∠BNF ，MQ=BN ，∴△MFQ ≌△NFB （AAS ），∴QF=QB ，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB ，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB==，∴EF=PB=，∴在（1）的条件下，当点
M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为．考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；相似形综合题．。