运筹学教学案例集

市场状况
概率
总收入
高利润
20％
$3,000,000
中等利润
40％
$500,000
低利润
40％
$0
表 2.2 给出了在三维技术样品运作取得成功并且在接受了 N 公司投资的情况 下嘉美斯估计的年收入情况。这是在 B 公司收到 N 公司$1,000,000 的投资之后 B 公司所可能的收入估计值。
表 2.2 当 B 公司获得 N 公司的资助并且三维技术软件获得成功时，B 公司的估计收入
OR 案例
运筹学案例
孔 造 杰 编纂
2004 年 12 月
０
OR 案例
案例一：贝尔的夏季工作问题
1. 贝尔的问题 贝尔在麻省理工学院斯隆管理学院已经呆了三周，除了准备他的功课外，他
开始认真考虑明年夏季打工的事，在以后的几周内，他必须就此事做出决定。 八月底，贝尔飞往波士顿，在飞机上他坐在一位名叫瓦莎的旁边，就和她攀
市场状况
概率
总收入
高利润
25％
尽管施考特开发的更高级的三维图像处理软件没有经过大量的测试，但他保 证这个软件在诊断脑外伤和脑部肿瘤方面，比其他方法要准确的多。当今世界， 科学家们都在研究他们自己的图像软件，施考特的新版三维图像处理软件与众不 同，在 MRI 图像处理方面远远优于其他现有的软件。
在嘉美斯的倡议下，三个人建立了 B 公司，旨在为医院和医生生产和开发商 业软件包。不久，他们就收到 N 公司（一个大的图像软件公司）的一个购买意 图——N 公司出价$150,000 要购买他们当前版本的软件和其在世界范围内的开 发和销售权。其他两位合伙人委托嘉美斯决定是否接受 N 公司的要求。如果他 们拒绝这个要求，在以后的六个月中，他们将继续进行软件的开发计划。这项计 划大概要花费$200,000。嘉美斯想使用合伙人的私人储蓄来解决这个问题。
数据 约翰提供工作的价值 瓦莎提供工作的价值 瓦莎提供工作的概率 参加学校活动的成本
表 1-2 贝尔夏季工作问题的电子表格说明 贝尔决策问题的电子表格说明
$12,000
$14,000
0.6
$0 参加学校活动可能获得工作薪水的分布
周工资
总的薪水收入
接受此种工资的学生
以 12 周计算
比例
$1,800
$21,600
如果上面的最优决策是实际问题中的最优决策，那么，在求解过程中对重要 参数的假定未做出评估的情况下，实际使用这样的策略显然是幼稚的。为此，考 虑下面的相关数据问题，对上述最优决策作出敏感性分析。
问题 1：瓦莎公司提供给贝尔工作的可能性。（参考表 1-3） 主观的认为瓦莎公司提供给贝尔工作的可能性是 0.6，那么此概率的变化将使 最优策略发生什么样的变化，或者说此概率有多大的变化范围不至于影响到当前 的最优决策。对此进行检验是十分明知的选择。 问题 2：贝尔参加学校活动以获得一份工作，所花费的时间和劳动的价值。 显然，总假设贝尔参加学校的活动以获得一份工作，所花费的时间和劳动的 价值是零。检验一下这项价值达到什么数，不至于影响最优策略的变化，是比较 明智的选择。（参考表 1-4） 问题 3：在学校活动中，贝尔可能得到的各种工作薪水的分布。（参考表 1-5） 我们已经假设贝尔可能得到的各种工作薪水的分布如表 1-1，检验一下这些假 定的工资水平的变化对最优策略有什么影响，是较好的做法。
B 公司面临的问题是接受 N 公司的提议还是不接受而继续研究和开发他们的 软件包；如果在三维技术的样品运作获得成功的话，他们将考虑申请 SBIR 的资 助，还是接受 N 公司的要求；如果他们没有成功，则他们要决定是继续投资三 维技术，申请 SBIR 的资助，还是完全放弃这个项目。在此过程中，嘉美斯在想 是否 N 公司提出未来利润的 80％份额对于他们$1,000,000 的投入来说太高了。 显然，嘉美斯必须面对这些决策问题。
图11案例1参考决策树瓦莎不邀请瓦莎邀请接受瓦莎邀请拒绝邀请拒绝约翰邀请接受约翰邀请案例表14当贝尔参加学校活动的时间成本是2578贝尔夏季工作问题的电子表格的结果贝尔决策问题的电子表格说明数据约翰提供工作的价值12000瓦莎提供工作的价值14000瓦莎提供工作的概率060参加学校活动的成本2578参加学校活动可能获得工作薪水的分布周工资总的薪水收入接受此种工资的学生以12周计算比例18002160051400168002510001200040500600025005节点的emv节点emv案例表15当贝尔参加学校活动的薪水高于2149贝尔夏季工作问题的电子表格的结果贝尔决策问题的电子表格说明数据约翰提供工作的机会12000约翰提供工作的价值14000约翰提供工作的概率06参加学校活动的成本0参加学校活动可能获得工作薪水的分布周工资总的薪水收入接受此种工资的学生以22周计算比例18002401951400192192510001441940500841925024195节点的emv节点emv案例案例二
产和销售一种在医疗诊断方面非常有用的产品。施考特和嘉美斯都是从麻省理工 学院毕业的研究生。米海是神经病学方面的教授。作为施考特研究生学习的一部 分，他开发了一种新技术和一个软件包——使用个人计算机就可以处理 MRI（磁 共振现象）脑部扫描图像。这个软件应用计算机图像处理技术，构造人脑部的三 维图像，用来准确定位脑部的肿瘤，估计其形状，甚至可以定位肿瘤影响的中心 位置。施考特的工作是在嘉美斯开发的二维技术的基础上进行扩展，在医疗领域 应用广泛。主要分析脑外伤的影响，而这种影响病人很难用语言来表达。在过去 的几年中，对脑外伤和脑部肿瘤的诊断上都相当准确。
贝尔决策问题的电子表格说明
数据
约翰提供工作的机会 约翰提供工作的价值 约翰提供工作的概率
$12,000 $14,000
0.6
参加学校活动的成本
$0 参加学校活动可能获得工作薪水的分布
周工资
总的薪水收入
接受此种工资的学生
以 22 周计算
比例
$1,800
$24,019
5%
$1,400
$19,219
25%
如果 B 公司在三维技术方面样品运作成功，则他们将面临两个不同的发展战 略：一个是六个月后从 NIH（国家健康机构）申请 SBIR（小企业技术创新研究 会）的资助，用这些钱来进一步开拓市场。另一个战略是，从风险投资公司获得 项目开发资金。事实上，米海已经和 N 公司就此问题交涉过几次。N 公司建议 说，如果 B 公司在三维技术的样品运作方面获得成功的话，N 公司愿意投入 $1,000,000 的资助，以开拓软件包市场，但条件是当该产品完全获得成功后，N 公司要分得利润的 80％（因为 NIH 规定不允许某公司接受 NIH 的资助，也不允 许从风险公司获得资金，因此，B 公司将不能从这两种渠道获得资金）。
$1,000
$14,419
40%
$500
$8,419
25%
$0
$2，419
5%
节点
节点的 EMV EMV
A
$14,000
B
$14,000
C
$14,000
D
$13,999
E
$13,999
５
OR 案例
案例二：B 公司的发展战略问题
1. B 公司的问题 一九九八年，B 公司由嘉美斯、施考特和米海共同发起成立。旨在研究、生
市场状况
概率
总收入
高利润
20％
$10,000,000
中等利润
40％
$3，000,000
低利润
40％
$0
表 2.3 给出了在样品运作没有成功并且在他们将用二维技术得到 SBIR 的资 助条件下的可能收入及其概率的估计，嘉美斯只给出了两种可能的情况：高利润 和低利润。注意到，估计的收入相当低。
表 2.3 当 B 公司获得 SBIR 资助并且三维技术软件没有获得成功时，B 公司的估计收入
谈起来，而瓦莎是一家投资银行的副总裁，快下飞机的时候，瓦莎坦率的告诉贝 尔她愿意和他进一步商量他明年夏天打工的事情，贝尔可以在十一月中旬与她联 系，那时瓦莎会给他一个明确的说法，贝尔认为他的工作经验和外表给她留下了 不错的印象。
八月份，当他离开他打工的那家公司，去读 MBA 的时候，他的老板约翰先 生，把他叫到一旁，向他许诺明年夏天给他提供打工的机会，十二周的夏季薪水 是$12，000，然而，贝尔考虑到，到十月底也许会有更好的工作去做。因此，贝 尔决定，在瓦莎的工作邀请之前，就是否接收约翰的工作邀请要做出决定，而且， 瓦莎说过，直到十一月中旬才会和他谈夏季工作的细节问题。如果贝尔拒绝约翰 的邀请，他只有接受瓦莎潜在的工作邀请，或者利用明年的一二月份，参加学校 组织的夏季招工活动，去找一份工作。 2. 贝尔的决策标准
贝尔决策问题的电子表格说明
数据
约翰提供工作的价值
$12,000
瓦莎提供工作的价值 瓦莎提供工作的概率 参加学校活动的成本
$14,000 0.18 $0
参加学校活动可能获得工作薪水的分布
周工资
总的薪水收入
接受此种工资的学生
以 12 周计算
比例
$1,800
$21,600
5%
$1,400
$16,800
25%
显然我们简单的设想一下，贝尔觉得所有的工作机会，在学习、团队合作和 获得工作经验方面都将提供相似的内容，因此，我们认为，贝尔唯一的决策标准 就是薪水，贝尔明显喜欢薪水较高的那个工作。 3. 概率数据分析
3.1 学校的工作机会 贝尔的夏季打工问题面临着许多不确定因素，首先是瓦莎提供工作只是一种 可能，其次学校组织的夏季招工活动，收入也高低不同，甚至未必能够找到工作。 贝尔已经去过学校的就业中心，收集了先前一些 MBA 学生夏季打工薪水数 据，这些数据经整理列在表 1-1 中。此表中给出了五种薪水水平（根据周工资） 和相关的占有比例，其中有 5%的学生没有工资收入，既没有能够安排合适的打 工的机会。
表 1-1 斯隆管理学院 MBA 学员所有夏季打工的薪水水平统计
每周薪水
夏季薪水总和
接受此薪水水平的学生比例
$1,800
$21,600
5%
$1,400
$16,800
25%
$1,000
$12,000
40%
$500
$6,000
25%
$0
$0
5%
3.2 瓦莎公司的工作机会 贝尔根据一些学生在瓦莎公司销售和贸易部门打工的薪水来看，他估计就明 年夏季工作在瓦莎公司打工可能会付给他每十二周 $14,000。 最后，估计一下瓦莎的公司提供给贝尔工作机会的可能性。初步设想把这这 种可能性看成 0.5，即瓦莎的公司有 50%的可能性提供给贝尔工作。再进一步设
总的薪水收入
接受此种工资的学生
以 12 周计算
比例
$1,800
$21,600
5%
$1,400
$16,800
25%
$1,000
$12,000
40%
$500
$6,000
25%
$0
$0
5%
节点
节点的 EMV EMV
A
$12,001
B
$12,001
C
$14,000
D
$9,002
E
$9,002
４
OR 案例
表 1-5 当贝尔参加学校活动的薪水高于$2,149 时 贝尔夏季工作问题的电子表格的结果
１
OR 案例
想一下，瓦莎对贝尔的印象很好，那个副总裁也想雇用他。然而，在贝尔的同学 中，像贝尔这样天赋很好的非常多。贝尔廷说，这个投资银行的工作竞争异常激 烈。经过权衡之后，我们认为贝尔得到这份工作的可能性是 0.6。因此，贝尔不 能得到这份工作的可能性是 0.4。 4. 应用决策树方法就贝尔的夏季打工问题做出决策。（参考表 1-2） 5. 最优决策的敏感性分析
$1,000
$12,000
40%
$500
$6,000
25%
$0
$0
5%
节点的 EMV
节点
EMV
A
$12,016
B
$12,016
C
$14,000
D
$11,580
E
$11,580
案例 1 的参考决策树形式如图 1.1 所示：
接受约翰邀请
接受瓦莎邀请
A
C
拒绝约翰邀请 瓦莎邀请 拒绝邀请
B
E
瓦莎不邀请
D
图 1.1 案例 1 参考决策树
嘉美斯知道关于 SBIR 的资助有很多不确定的因素。同时，他也明白 B 公司 在怎样才能获得市场成功问题上也存在诸多不确定性因素。然而，他意识到如果 他们接受了 N 公司的要求，那么各种不确定性因素比他们自己开拓市场多的多。
如果 B 公司在三维技术的样品方面运作不成功的话，嘉美斯考虑他们仍可以 用二维技术去申请 SBIR 的资助，这样的话，获得 SBIR 的资助的可能性就比较 小了。同时，在申请资助之前，他们必须在二维软件的医用测试中做的比较好。 嘉美斯估计这项花费大约为$100,000 左右。
６
OR 案例
2. 年收入及其概率的估计 假定在医用成像技术的市场中竞争激烈，在以后的三年中，很多不确定的因
素都对 B 公司的潜在年收入有影响。嘉美斯试着估计公司在不同情况下的收入， 表 2.1 给出了嘉美斯估计的三种情况下（高利润、中等利润、低利润）的年收入 以及三种情况出现的概率估计。
表 2.1 当 B 公司获得 SBIR 资助并且三维技术软件获得成功时，B 公司的估计收入
5%
$1,400
Байду номын сангаас
$16,800
25%
$1,000
$12,000
40%
$500
$6,000
25%
$0
$0
5%
节点的 EMV
决策树节点
EMV
A
$13,032
B
$13,032
C
$14,000
D
$11,580
E
$11,580
２
OR 案例
表 1.3 当瓦莎公司给贝尔提供工作的概率是 0.18 时，贝尔夏季工作问题的电子表格的结果
３
OR 案例
表 1-4 当贝尔参加学校活动的时间成本是$2,578 时 贝尔夏季工作问题的电子表格的结果
贝尔决策问题的电子表格说明
数据
约翰提供工作的价值 瓦莎提供工作的价值 瓦莎提供工作的概率
$12,000 $14,000
0.60
参加学校活动的成本
$2，578 参加学校活动可能获得工作薪水的分布
周工资