人教版八年级上册数学 期末试卷(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学期末试卷（Word版含解析）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；
（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．
【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．
【解析】
【分析】
（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN
=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到
MN=BM+NC．
（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∵BD CD
MBD ECD BM CE
，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，
在△DMN与△DEN中，
∵MD DE
MDN EDN DN DN
，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．
（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．
理由：在CA 上截取CE=BM ．
∵△ABC 是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD ，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠DCE=90°，
在△BMD 和△CED 中
∵BM CE
MBD ECD BD CD ，
∴△BMD ≌△CED （SAS ），
∴DM= DE ，∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE ）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM ）=∠BDC-
∠MDN=120°-60°=60°，
即：∠MDN =∠NDE=60°，
在△MDN 和△EDN 中
∵ND ND
EDN MDN ND ND ，
∴△MDN ≌△EDN （SAS ），
∴MN =NE=NC ﹣CE=NC ﹣BM ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．如图1所示，已知点D 在AC 上，ADE ∆和ABC ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.
（1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形；
（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，如图2所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；
（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.
【解析】
【分析】
()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==，
90ADE EBC EDC ∠∠∠===，推出BM DM =，BM CM =，DM CM =，推出BCM MBC ∠∠=，ACM MDC ∠∠=，求出
22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可．
()2延长ED 交AC 于F ，求出12
DM FC =，//DM FC ，DEM NCM ∠=，根据ASA 推出EDM ≌CNM ，推出DM BM =即可．
()3过点C 作//CF ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，推出MDE ≌MFC ，求出DM FM =，DE FC =，作AN EC ⊥于点N ，证BCF ≌BAD ，推出
BF BD =，DBA CBF ∠∠=，求出90DBF ∠=，即可得出答案．
【详解】
()1证明：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，
45ACB BAC ∠∠∴==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===
点M 为EC 的中点，
12BM EC ∴=，12
DM EC =， BM DM ∴=，BM CM =，DM CM =，
BCM MBC ∠∠∴=，DCM MDC ∠∠=，
2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=，
同理2DME ACM ∠∠=，
22224590BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠∴=+==⨯= BMD ∴是等腰直角三角形．
()2解：如图2，BDM是等腰直角三角形，
理由是：延长ED交AC 于F，
ADE和ABC
△是等腰直角三角形，
45
BAC EAD
∠∠
∴==，
AD ED
⊥，
ED DF
∴=，
M为EC中点，
EM MC
∴=，
1
2
DM FC
∴=，//
DM FC，
45
BDN BND BAC
∠∠∠
∴===，
ED AB
⊥，BC AB
⊥，
//
ED BC
∴，
DEM NCM
∠
∴=，
在EDM和CNM中
DEM NCM
EM CM
EMD CMN
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
EDM
∴≌()
CNM ASA，
DM MN
∴=，
BM DN
∴⊥，
BMD
∴是等腰直角三角形．
()3BDM是等腰直角三角形，
理由是：过点C作//
CF ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得MDE≌MFC，
DM FM
∴=，DE FC
=，
AD ED FC
∴==，
作AN EC ⊥于点N ，
由已知90ADE ∠=，90ABC ∠=，
可证得DEN DAN ∠∠=，NAB BCM ∠∠=，
//CF ED ， DEN FCM ∠∠∴=，
BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD ∠∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=+=， BCF ∴≌BAD ，
BF BD ∴=，DBA CBF ∠∠=，
90DBF DBA ABF CBF ABF ABC ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==，
DBF ∴是等腰直角三角形，
点M 是DF 的中点，
则BMD 是等腰直角三角形，
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．
3．（1）已知△ABC 是等腰三角形，其底边是BC,点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A 等于60°（如图①）.求证：EB=AD ；
（2）若将（1）中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）作DF∥BC 交AC 于F ，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC 是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF 是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF ，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD ，由AAS 证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论；
（2）作DF∥BC 交AC 的延长线于F ，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论.
试题解析：（1）证明：如图，作DF ∥BC 交AC 于F ，
则△ADF 为等边三角形
∴AD=DF ，又∵ ∠DEC=∠DCB ，
∠DEC+∠EDB=60°，
∠DCB+∠DCF=60° ，
∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD ，
在△DEB和△CDF中，
120
EBD DFC
EDB DCF
DE CD
，
，
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△DEB≌△CDF，
∴BD=DF，
∴BE=AD .
(2).EB=AD
成立；
理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图所示：
同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD.
点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
4．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．
（1）求证：BG＝CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用ASA判定△BGD≅CFD，从而得出BG=CF；
（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．
【详解】
解：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG＝∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD
又∵∠BDG＝∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵
DBG DCF BD CD
BDG CDF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD＝FD，BG＝CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
5．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置
关系为___________，数量关系为___________
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．
【答案】（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定
△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．
【详解】
（1）：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．
理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又 BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．
故答案为垂直，相等；
②都成立，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△DAB与△EAC中，
AD AE
BAD CAE
AB AC
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△DAB≌△EAC，
∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，
∴∠ACB＋∠ACE＝90°，即CE⊥BD；
（2）当∠ACB＝45°时，CE⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，
∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC＝45°，
∴AC＝AG，
在△GAD与△CAE中，
AC AG
DAG EAC
AD AE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△GAD≌△CAE，
∴∠ACE＝∠AGC＝45°，
∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，即CE⊥B C．
6．如图①，在ABC中，90
BAC
∠=︒，AB AC
=，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD AE
⊥于D，CE AE
⊥于E.
（1）求证：BD DE CE
=+.
（2）若将直线AE绕点A旋转到图②的位置时（BD CE
<），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明.
【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，所以BD=DE+CE ；
（2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为
AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ．
【详解】
解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE ，
∵AB=AC ，
在△ABD 和△CAE 中，
BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∵AE=AD+DE ，
∴BD=DE+CE ；
（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下：
∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，
∴∠ABD=∠CAE ，
∵AB=AC ，
在△ABD 和△CAE 中，
BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∴AD+AE=BD+CE ，
∵DE=BD+CE ，
∴BD=DE-CE ．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
7．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．
∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠BAO＝70°，
即∠BEC ＝70°．
（3）解：如图2中，
∵∠CAB ＝∠EAD ＝120°，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴∠BAD ＝∠ACE ，BD ＝EC ＝4，
同理可证∠BEC ＝∠BAC ＝120°，
∴∠FEC ＝60°，
∵CF ⊥EF ，
∴∠F ＝90°，
∴∠FCE ＝30°，
∴EF ＝
12
EC ＝2. 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．综合与实践：
我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.
（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.
如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.
（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.
【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出
∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出
BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出
△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．
（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.
【详解】
（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，
则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.
在BDC ∆和111B D C ∆中，
1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，
∴111BDC B D C ∆∆≌，
∴11BD B D =.
在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，
11AB A B =，11BD B D =，
∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌，
∴1A A ∠=∠.
在ABC ∆和111A B C ∆中，
1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，
∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.
（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，
∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒.
∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；
∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；
如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，
与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =，
再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠，
再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；
∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；
故答案为：钝角三角形或直角三角形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.
9．如图，A （0，4）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．
（1）若AB ∥x 轴，如图1，求t 的值；
（2）设点A 关于x 轴的对称点为A ′，连接A ′B ，在点P 运动的过程中，∠OA ′B 的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA ′B 的度数，若改变，请说明理由．
（3）如图2，当t ＝3时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．
【答案】（1）4；（2）∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45︒，理由见解析；（3）点M 的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP 为等腰直角三角形，从而求得答案；
（2）根据对称的性质得：PA ＝PA '＝PB ，由∠PAB +∠PBA ＝90°，结合三角形内角和定理即
可求得∠OA 'B ＝45°；
（3）分类讨论：分别讨论当△ABP ≌△MBP 、△ABP ≌△MPB 、△ABP ≌△MPB 时，点M 的坐标的情况；过点M 作x 轴的垂线、过点B 作y 轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可.
【详解】
（1）∵AB ∥x 轴，△APB 为等腰直角三角形，
∴∠PAB ＝∠PBA ＝∠APO ＝45°，
∴△AOP 为等腰直角三角形，
∴OA ＝OP ＝4．
∴t ＝4÷1＝4（秒），
故t 的值为4．
（2）如图2，∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45°，
∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，
∴PA ＝PA '，
又AP ＝PB ，
∴PA ＝PA '＝PB ，
∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，
又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，
∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '
＝180()PAB PBA ∠∠︒-+
180=︒-90°
=90°，
∴∠AA 'B ＝45°，
即∠OA 'B ＝45°；
（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，
①如图3，若△ABP ≌△MBP ，
则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，
∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，
∴△AOP ≌△MDP （AAS ），
∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，
∴M 的坐标为：（6，-4）．
②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，
过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，
∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，
∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =
∵139023∠+∠=︒=∠+∠，
∴12∠=∠
∴Rt AOP Rt PGB ≅
∴34BG OP PG AO ====，
∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴
∴四边形BGOF 为矩形，
∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=
347BF OG OP PG ==+=+=
在Rt ABF 和Rt PME 中
∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，
∴∠BAF ＝∠MPE
∵AB PM =
∴Rt ABF Rt PME ≅
∴71ME BF PE AF ====，
∴M 的坐标为：（4，7），
③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，
过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点
F ，
∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，
∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =
∵139023∠+∠=︒=∠+∠，
∴12∠=∠
∴Rt AOP Rt PEB ≅
∴34BE OP PE AO ====，
∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴
∴四边形BEOF 为矩形，
∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=
347BF OE OP PE ==+=+=
在Rt ABF 和Rt PMD 中
∵BF ⊥y 轴
∴42∠=∠
∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+
∴ABF PMD ∠∠=
∵AB PM =
∴Rt ABF Rt PMD ≅
∴17MD AF PD BF ====，
∴M 的坐标为：（10，﹣1）．
综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．
10．已知：在ABC ∆中，,90AB AC BAC =∠=︒，PQ 为过点A 的一条直线，分别过
B C
、两点作,
BM PQ CN PQ
⊥⊥，垂足分别为M N
、.
（1）如图①所示，当PQ与BC边有交点时，求证：MN CN BM
=-；
（2）如图②所示，当PQ与BC边不相交时，请写出线段BM CN
、和MN之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）MN BM CN
=+（或BM MN CN
=-或
CN MN BM
=-），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件先证AMB CNA
≌
∆∆，得到,
AM CN BM AN
==，即可证得
MN CN BM
=-；（2）由（1）知AMB CNA
≌
∆∆，得到,
AM CN BM AN
==，即可确定MN BM CN
=+.
【详解】
证明：∵,
BM PQ CN PQ
⊥⊥，
∴∠AMB=∠CAN=90︒,
∵∠BAC=90︒，
∴∠CAN+∠ACN=90︒，
∠CAN+∠BAM=90︒（或CAN ACN CAN BAM
∠+∠=∠+∠）
∴BAM ACN
∠=∠，
在AMB
∆和CNA
∆中，
∵
AMB CNA
BAM ACN
AB CA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
AMB CNA AAS
≌
∆∆，
∴,
AM CN BM AN
==，
∵MN AM AN
=-，
∴MN CN BM
=-.
（2）MN BM CN
=+（或BM MN CN
=-或CN MN BM
=-）.
理由：∵,
BM PQ CN PQ
⊥⊥，
∴∠AMB=∠CAN=90︒,
∵∠BAC=90︒，
∴∠CAN+∠ACN=90︒，
∠CAN+∠BAM=90︒（或CAN ACN CAN BAM
∠+∠=∠+∠）,
∴BAM ACN
∠=∠，
在AMB
∆和CNA
∆中，
∵
AMB CNA
BAM ACN
AB CA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
AMB CNA AAS
≌
∆∆，
∴,
AM CN BM AN
==，
∴MN AN AM BM CN
=+=+.
【点睛】
此题考察三角形全等的应用，正确确定全等三角形是解题关键，由此得到对应相等的线段，确定它们之间的和差关系得到BM CN
、和MN之间的关系式.
二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
11．在梯形ABCD中，//
AD BC，90
B
∠=︒，45
C
∠=︒，8
AB=，14
BC=，点E、F分别在边AB、CD上，//
EF AD，点P与AD在直线EF的两侧，90
EPF
∠=︒，PE PF
=，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE x
=，MN y
=．
（1）求边AD的长；
（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．
【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜
10
3
)；（2）
176
9
或32
【解析】
【分析】
（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；
（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；
（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．
【详解】
（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H
∵∠C=45°，DH ⊥BC
∴△DHC 是等腰直角三角形
∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°
∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8
∴HC=8
∴BH=BC －HC=6
∴AD=6
（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G
∵EF ∥AD,∴EF ∥BC
∴∠EFP=∠C=45°
∵EP ⊥PF
∴△EPF 是等腰直角三角形
同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形
∵AE=x
∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x
∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162
x + 同理，PR=
12y
∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR
∴8－x=
()11622
x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103
当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值
则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1
∴1≤x ＜103
（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=
83=AE ∴188176662339
ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：
与（2）相同，可得y=3x －10
则当y=2时，x=4，即AE=4
∴()16644322
ABCD S =
⨯++⨯=梯形 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．
12．如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90º，D 、E 分别在 BC 、AC 边上，连接 AD 、BE 相
交于点 F，且∠CAD＝1
2
∠ABE．
(1)求证：BF＝AC；
(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；
(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.
【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.
【解析】
【分析】
（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；
(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：
∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；
(3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解.
【详解】
（1）设∠CAD=x，
∵∠CAD＝1
2
∠ABE，∠BAC＝90º，
∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，
∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，
∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，
∴∠BAF =∠AFB，
∴BF＝AB；
∵AB＝AC，
∴BF＝AC；
（2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90º，∴∠AEB=90°-2x，
∵EF＝EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，
∴∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，
∵BF＝AB,
∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x，∴∠EFD=∠BFA=90°-x，
∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°；
（3）由（2）可知：EF ＝EC ，
∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，
∴AB=BF=AC=3+x ，
∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，
∵∠BAC ＝90º，
∴222AB AE BE +=，
∴222(3)3(32)x x ++=+，
解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去）
∴BF=3+x=3+1=4.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.
13．在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，DE =DA (如图1)．
(1)求证：∠BAD =∠EDC ；
(2)若点E 关于直线BC 的对称点为M (如图2)，连接DM ，AM ．求证：DA =AM ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC =∠ACB =60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.
（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA ，然后结合（1）可得∠MDC =∠BAD ，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.
【详解】
解：(1)如图1，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠ACB =60°，
∴∠BAD =60°﹣∠DAE ，∠EDC =60°﹣∠E ，
又∵DE =DA ，
∴∠E =∠DAE ，
∴∠BAD =∠EDC ．
(2)由轴对称可得，DM =DE ，∠EDC =∠MDC ，
∴DM =DA ，
由(1)可得，∠BAD =∠EDC ，
∴∠MDC =∠BAD ，
∵△ABD 中，∠BAD +∠ADB =180°﹣∠B =120°，
∴∠MDC +∠ADB =120°，
∴∠ADM =60°，
∴△ADM 是等边三角形，
∴AD =AM ．
【点睛】
本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.
14．如图，在等边ABC ∆中，点D ，E 分别是AC ，AB 上的动点，且AE CD =，BD 交CE 于点P ．
（1）如图1，求证120BPC ︒∠=；
（2）点M 是边BC 的中点，连接PA ，PM ．
①如图2，若点A ，P ，M 三点共线，则AP 与PM 的数量关系是 ； ②若点A ，P ，M 三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明过程见详解；（2）①2AP PM =；②结论成立，证明见详解
【解析】
【分析】
（1）先证明()AEC CDB SAS ≌，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；
（2）①2AP PM =；由等边三角形的性质和已知条件得出AM ⊥BC ，∠CAP ＝30°，可得PB ＝PC ，由∠BPC ＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB ＝30°，进而可得AP ＝PC ，由30°角的直角三角形的性质可得PC ＝2PM ，于是可得结论；
②延长BP 至D ，使PD ＝PC ，连接AD 、CD ，根据SAS 可证△ACD ≌△BCP ，得出AD ＝BP ，∠ADC ＝∠BPC ＝120°，然后延长PM 至N ，使MN ＝MP ，连接CN ，易证△CMN ≌△BMP （SAS ），可得CN ＝BP ＝AD ，∠NCM ＝∠PBM ，最后再根据SAS 证明△ADP ≌△NCP ，即可
【详解】
（1）证明：因为△ABC为等边三角形，所以60
A ACB
∠=∠=︒
∵
AC BC
A ACB
AE CD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴()
AEC CDB SAS
≌，∴AEC CDB
∠=∠，
在四边形AEPD中，∵360
AEC EPD PDA A
∠+∠+∠+∠=︒，
∴18060360
AEC EPD CDB
∠+∠+︒-∠+︒=︒，
∴120
EPD
∠=︒，∴120
BPC
∠=︒；
（2）①如图2，∵△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠CAP＝
1
2
∠BAC＝30°，∴PB＝PC，
∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，
∴PC＝2PM，∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，
∴AP＝PC，∴AP＝2PM；
故答案为：2
AP PM
=；
②AP＝2PM成立，理由如下：
延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，如图4所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，∴△PCD是等边三角形，
∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，
∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD，
∴∠BCP＝∠ACD，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，
∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°，
延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，
∵点M是边BC的中点，∴CM＝BM，
∴△CMN≌△BMP（SAS），
∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，
∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，
∴∠NCP＝60°＝∠ADP，
在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC，
∴△ADP≌△NCP（SAS），
∴AP＝PN＝2CM；
【点睛】
本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
15．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．
【答案】（1）∠A＝36°；（2）如图所示：见解析；（3）如图所示：见解析；∠C为20°或40°的角．
【解析】
【分析】
（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分
为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；
（3）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；
【详解】
（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝180?-x
2
，
可得2x＝180?-x
2
，
解得：x＝36°，
则∠A＝36°；
（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线，如图1；
由45°自然想到等腰直角三角形，有两种情况，
①如图2，过底角一顶点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；
②如图3，以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；
（3）如图4所示：
①当AD＝AE时，
∵2x+x＝30°+30°，
∴x＝20°；
②当AD＝DE时，
∵30°+30°+2x+x＝180°，
∴x＝40°；
综上所述，∠C为20°或40°的角．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD 为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线
．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有
∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．
∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM
1
2
∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．
（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角
形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD
＝∠BCE ．
在△ADC 和△BEC 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）； （3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．
∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即11603022
BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°． ②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ． 在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°．
由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
③当点D 在线段MA 的延长线上时．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ．
由（1）
得：∠CAM ＝30°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝150°，∴∠CBO ＝30°，∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
综上所述：当动点D 在直线AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为
()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且
10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,
.
（1）点A 的坐标为___________；
（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；
（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案） 【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7
,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（3）425
【解析】 【分析】
（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAG
OPG ，利用点A ，A '关于直线
OE 对称点，根据对称性，可证
'
OPG EAO ，可得'
8OP OA ，82AP
，
设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：2222
2BP BE EP AP AE
解之即可． 【详解】
AB=，解：（1）∵点B坐标为6,0，点A是y轴正半轴上一点，且10∴ABO是直角三角形，根据勾股定理有：
2222
AO AB BO，
1068
∴点A的坐标为()
0,8；
（2）∵ABP
△是等腰三角形，
当BP AB时，如图一所示：
OP BP BO，
∴1064
∴P点的坐标是()4,0；
=时，如图二所示：
当AP AB
OP BO
∴6
∴P点的坐标是()6,0；
=时，如图三所示：
当AP BP
设OP x =，则有6AP x
∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：2
2
2
86
x x
解之得：73
x =
∴P 点的坐标是
7
,03
； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在； 当ABP △是锐角三角形时，如图四示：
连接'OA ，
∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，
∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA
OGP
∴
EAG
OPG ，
∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'
8OA OA ，'EA
EA
∴'
FAO FAO
，'
FAE FAE
∴
'
EAG
EAO
则有：'OPG EAO
∴'
AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ，
∴2222
8882AP
AO OP ，
设BE x =，则有6AE x ，
根据勾股定理，有：
22
222BP BE EP AP AE 即：2
2
2
2
68
82
10
x x
解之得：42
5
BE x
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．
18．已知△ABC ．
（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接
OD OE 、求证：OD OE =；
（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是
2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.
【解析】 【分析】
（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ∆≅∆,于是可得到OE=OD ；
（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，
OEH ODG ∆≅∆，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明
EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ∆≅∆,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系.。