小学教育奥数数进制

数的进制
相关看法
同学在行整数四算，用的都是十制即“ 10 一”，于其他制感
到陌生。

上，你只要留一下，在我平常生活中，不使用十制使用其他多
制呢！你信不信我一些例子。

两只袜子一双，两只水桶一，里使用的是二制；十二支笔一打，十二个
月算一年，里使用的是十二制；六十秒是一分，六十分是一，里使用的是六十制；
二十四一天，里使用的是二十四制；100 平方分米等于一平方米，100 平方厘米等于一平方分米，里使用的是一百制；1000 米等于一千米，1000 克等于 1 千克，里使
用的是一千制；⋯⋯。

怎么上可以更多的的例子。

随着科学技的展，数字子算机的使用日益宽泛，每位同学可能都使用子
算器吧可是你要知道，算器内部行的算就使用的是二制数。

我常和算器打
交道，懂一些二制数方面的知。

1、什么叫二制
所二制，就是只用0 与 1 两个数字，在数与算必是“ 二一”。

即每两
个相同的位成一个和它相的高的位（所以任意一个二制数只要用“0”与“ 1”表示就了）。

比方： 2 在二制中是10； 3 写成二制是11； 4 写成二制数即是100，那么 5 呢是101。

同学依照“逢二一”
的照表：
表 1
（或“ 二一”）的法，很简单获取以下两种制的数字
十制二制十制二制
1191001
210101010
311111011
4100121100
5101131101
6110141110
7111151111
810001610000
2、二制的缺点
二制的最大点是：每个数的各个数位上只有两种状—— 0 或 1。

，我便可以通的方法，比方
白与黑、虚与、与正、点与划、小与大、暗与亮（在算机中
主要用的高与低）等等手段加以表示。

下表中列出了在二制中 13 的几种不相同表示方法。

表 2
0 与 1白与黑虚与与正点与划小与大１１０１
●●○●
－－⋯－
＋＋－＋――·－
○ ○ о ○
自然，二制也有不足，正如大家看到的那，同一个数和在二制中要比在十制中位数多得多。

二进制转十进制
了表达的方便，我定：用（）2表示括号内写的数是二制数，如（1011）2；用（） 10 表示括号中写的数是十制数，如（37）10。

步：
（1）将二制数的各数位上数字改写成相的十制数；
（2）将各数位上的十制数求和，所得果就是相的十制数。

例 1 将
（ 10110）2改成十制数
在表 1 中可以看到：二制数 10 表示十制数 2；二制数 100，表示十制数 4；二制数 1000，表示十制数 8；二制数 10000 表示十制数 16；⋯；可以看出律；二制数 100000 表示十制数 32，⋯。

那么我写下一个二制数 10110，表示它含有一个 16，一个 4 与一个 2，也就是
（10110）2＝ 1× 16＋ 0× 8＋ 1× 4＋ 1× 2＋ 0× 1=（ 22）10
例 2将（101101）2改成十制数。

（101101）2=1× 32+0× 16+1× 8+1×4+0× 2+1× 1=（45）10
十进制转二进制
将十制数写成二制数的常用方法——除二倒取余法。

比方要将（ 71）10写成二制数，参右式。

我将71 除以 2 71⋯⋯ 1 2，余数 1 相写在右（若是除尽，余数写0）；再将商 35 2 35⋯⋯ 1除以 2，余数 1 相写在右；再将步的商17 除以 2，重复上 2 17⋯⋯ 1述程，直到商等于 1 止。

而且最后一步的商“1”也写到右 2 8⋯⋯ 0余数那一列的最下面。

最后将列余数由下到上写成一行数，24⋯⋯ 0
行数即是（ 71）10的二制数表示法。

即22⋯⋯ 0（ 71）10＝（ 1000111）21⋯⋯ 1
例 2：把十制数 38 改写成二制数。

解析与解答：把十制数改写成二制数，可以依照二制 2 38⋯⋯ 0
数“ 二一”的原，用 2 去除个十制数，直到商零
2 19⋯⋯ 1止，把每次所得的余数按相反的序写出来，就是所化成的二
29⋯⋯ 1
制数，种方法叫做“除以二倒取余数”。

24⋯⋯ 0
2 2⋯⋯ 0
1⋯⋯ 1即： 38（10） =100110（2）
二进制的四则运算
二制四运算和十制四运算原理相同，所不相同的是十制有十个数，“ 十一”，二制只有两个数0 和 1，“ 二一”。

二制运算口更。

加法
二进制加法，在同一数位上只有四种情况：
0＋ 0＝0， 0＋ 1＝ 1， 1＋ 0＝ 1， 1＋ 1＝ 10。

只要按从低位到高位依次运算，“满二进一”，就能很简单地完成加法运算。

例 1 二进制加法
（1） 10110＋ 1101；
（2） 1110＋ 101011。

解加法算式和十进制加法相同，把右边第一位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满
二向上一位进一。

10110＋ 1101＝ 100011 1110 ＋ 101011＝ 111001
经过计算不难考据，二进制加法也满足“交换律” ，如101＋1101＝1101＋101＝10010。

多个数相加，先把前两个数相加，再把所得结果依次与下一个加数相加。

例 2 二进制加法
（1） 101＋ 1101＋ 1110；
（2） 101＋（ 1101＋ 1110）。

解
（1） 101＋ 1101＋ 1110 （ 2） 101＋（ 1101＋ 1110）
＝ 10010＋ 1110 ＝ 101＋ 11011
＝100000；＝ 100000
从例 2 的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。

减法
二进制减法也和十进制减法近似，先把数位对齐，同一数位不够减时，从高一位借位，
“借一当二”。

例 3 二进制减法
（1） 11010－ 11110；
（2） 10001－ 1011。

解（ 1） 110101－ 11110＝10111；
（2） 10001－ 1011＝ 110。

例 4 二进制加减混杂运算
（1） 110101＋ 1101－ 11111；
（2） 101101－ 11011＋ 11011。

解（ 1） 110101＋ 1101 － 11111
＝1000010－ 11111
＝100011
（2） 101101－ 11011＋ 11011
＝10011＋ 11011
＝101101。

乘法
二进制只有两个数码0 和 1，乘法口诀只有以下几条：
0× 0＝0， 0× 1＝ 0， 1× 0＝ 0， 1× 1＝ 1
概括成口诀：零零得零，一零得零，一一得一。

二进制乘法算式和十进制写法也相同。

例 5 二进制乘法
（1）1001×101；
（2） 11001× 1010。

解
（1） 1011× 101＝ 110111；（ 2） 11001× 1010＝。

例 6 二进制运算
（1）101×1101；
（2） 1101× 101；
（3）（ 101＋ 11）× 1010；
（4） 101× 1010＋ 11× 1010。

解（ 1）（2）
101× 1101＝ 1000001； 1101 × 101＝ 1000001；
（3）
（101＋ 11）× 1010＝ 1010000；
（4）
101× 1010＋ 11× 1010 ＝ 1010000
从例 6 的计算结果可以看出，二进制乘法满足“交换律” ；乘法对加法也满足“分配律” 。

对这一结论，大家还可以进行多次考据。

除法
除法是乘法的逆运算，二进制除法和十进制除法也相同，而且更简单，每一位商数不是0，就是 1。

例7 二进制除法
（ 1）÷ 1001；
（ 2）÷ 111。

解
（1）（2）
÷1001＝ 10010；÷ 111＝ 10101。

例 8 求二进制除法的商数和余数
111010÷ 101
解
111010÷ 101 所得商数是1011 ，余数是11。

在二进制除法中，被除数，除数，商数和余数的关系和十进制除法的关系是相同的。

被除数＝除数×商数＋余数。

如例 8， 111010＝ 101× 1011＋ 11。

二进制小数。