第7页应用举例学案1
学案1：第3课 实践是检验真理的唯一标准
实践是检验真理的唯一标准学习目标1.了解文章写作的历史背景，全面理解“实践是检验真理的唯一标准”的深刻内涵及其重大现实意义。
2.了解时政评论类文体特点,学习本文事理论证和破立结合的论证方法。
3.梳理本文小标题之间的内在联系，体会文章的严谨准确的语言特色。
学习重难点梳理本文小标题之间的内在联系，学习本文的论证方法和论证语言。
学习过程一、知人论世1.了解作者—《光明日报》特约评论员胡福明,男,1935年7月生, 江苏无锡人。
1955年9月就读于北京大学新闻专业,翌年进入中国人民大学哲学研究班学习,1962年毕业后,到南京大学政治系(后更名为哲学系)任教,是1978年5月11日《光明日报》特约评论员文章《实践是检验真理的唯一标准》的主要作者。
2.了解“特约评论员文章”特约评论员文章是报刊约请有关权威人士就某一重大理论或现实问题发表看法的评论,是评论员文章的特殊形式。
论及的内容大都是事关全局和举足轻重的大问题,具有极强的专题性、理论性和政论性,往往在社会上产生较大的反响。
它一般要求多侧面、多角度地展开论述,强调理论的系统性和严密性。
3.写作背景1976年10月,中共中央政治局一举粉碎“四人帮”,结束了延续10年之久的“文化大革命”。
举国欢腾,人心思变,百业待举。
党面临着思想、政治、组织等各个领域全面拨乱反正的任务。
但是,这一进程受到“两个凡是”错误方针的严重阻碍,党和国家的工作在前进中出现徘徊局面。
针对这种状况,邓小平多次旗帜鲜明地提出,“两个凡是”不符合马克思主义,我们要完整准确地理解毛泽东思想。
与此同时,其他老一辈无产阶级革命家和不少老同志也从不同角度提出,要恢复和发扬党的实事求是的优良作风,正确认识与把握理论和实践的关系,把实践作为检验真理的标准。
1977年秋季,南京大学哲学系副主任胡福明完成了两篇稿子,其中一篇是《实践是检验真理的标准》。
经过中央党校和《光明日报》多次修改后,1978年5月11日,《光明日报》头版刊登题为《实践是检验真理的唯一标准》的特约评论员文章,由此引发了一场关于真理标准问题的大讨论,成为党和国家实现历史性伟大转折的思想先导。
学案1：6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例【导学聚焦】【问题导学】预习教材，思考以下问题： 如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？【新知初探】三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a ，h b ，h c 分别表示边a ，b ，c 上的高)． (2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B . (3)S ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 为△ABC 内切圆的半径)． ■名师点拨三角形的面积公式S ＝12ab sin C 与原来的面积公式S ＝12a ·h (h 为a 边上的高)的关系为h ＝b sin C ，实质上b sin C 就是△ABC 中a 边上的高．【自我检测】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( )(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( )(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( )在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( )A.12B.32C. 3 D ．23 已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________．【探究互动】探究点一 与三角形面积有关的计算问题【例1】(1)(2019·湖南娄底重点中学期末)在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( )A ．9B ．18C ．9 3D ．183(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π3，且S △ABC ＝3，则a ＝________，b ＝________．【规律方法】三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般用公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．【跟踪训练】1．(2019·黑龙江大庆中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则△ABC 的面积等于( )A ．12B ．212C ．28D ．632．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A． 3 B．53C．6 3 D．733．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为________．探究点二三角形中的线段长度和角度的计算【例2】已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．【规律方法】三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．【跟踪训练】已知四边形ABCD满足∠BAD＝90°，∠BCD＝150°，∠DAC＝60°，AC＝2，AD＝3＋1.求CD的长和△ABC的面积．探究点三三角形中的综合问题【例3】(2019·郑州一中期末检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b cos A＝(2c＋a)cos(π－B)．(1)求角B的大小；(2)若b＝4，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．【互动探究】[变条件、变问法]在本例(2)中，去掉条件“△ABC 的面积为3”，求(1)△ABC 周长的取值范围；(2)△ABC 面积的最大值．【规律方法】解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．【跟踪训练】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．【达标反馈】1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A ．3 B ．3 C ．7 D ．7 2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .b ＝2，∠B ＝π6，∠C ＝π4，则△ABC的面积为()A．2＋2 3 B．3＋1C．23－2 D．3－13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝3，b＝1，C＝120°.(1)求B的大小；(2)求△ABC的面积S.【参考答案】【自我检测】答案：(1)√ (2)× (3)×解析：选B.S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×1×2×32＝32. 解析：选D.由S △ABC ＝12bc sin A ＝32， 得3sin A ＝32，sin A ＝32， 由0°<A <180°，知A ＝60°或A ＝120°.解析：由BC sin A ＝AB sin C，知sin C ＝1，则C ＝90°， 所以B ＝60°，从而S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32. 答案：32【探究互动】探究点一 与三角形面积有关的计算问题【例1】【解析】 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A， 所以AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin 120°sin 30°＝6 3. 又因为C ＝180°－120°－30°＝30°，所以S △ABC ＝12×63×6×12＝9 3. (2)由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4，又△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. 【答案】 (1)C (2)2 2【跟踪训练】解析：选D.在△ABC 中，由余弦定理可得64＝49＋9－2×7×3cos C ，所以cos C ＝－17，所以sin C ＝437， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝63，故选D.2．解析：选B.连接BD ，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，所以∠ABD ＝90°.在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD ＝23，所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×2×2×sin 120°＝5 3.3．解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝12c sin 60°＝3，得c ＝4，因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8cos 60°＝13，所以a ＝13. 答案：13探究点二 三角形中的线段长度和角度的计算【例2】【解】 (1)连接BD ，则由题设及余弦定理得，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 【跟踪训练】解：在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠CAD ＝6， 所以CD ＝ 6.在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝AC sin ∠ADC ， 则sin ∠ADC ＝22，又0°<∠ADC <120°， 所以∠ADC ＝45°，从而有∠ACD ＝75°，由∠BCD ＝150°，得∠ACB ＝75°，又∠BAC ＝30°，所以△ABC 为等腰三角形，即AB ＝AC ＝2，故S △ABC ＝1.探究点三 三角形中的综合问题【例3】【解】 (1)因为b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )，所以b cos A ＝(2c ＋a )(－cos B )．由正弦定理可得，sin B cos A ＝(－2sin C －sin A )cos B ， 即sin(A ＋B )＝－2sin C cos B ＝sin C .又角C 为△ABC 的内角，所以sin C >0，所以cos B ＝－12.又B ∈(0，π)，所以B ＝2π3. (2)由S △ABC ＝12ac sin B ＝3，得ac ＝4. 又b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝16.所以a ＋c ＝25，所以△ABC 的周长为4＋2 5.【互动探究】解：(1)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝a 2＋c 2＋ac ，又b ＝4，所以16＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22. 所以34(a ＋c )2≤16，所以(a ＋c )2≤643. 即4<a ＋c ≤833.所以8<a ＋b ＋c ≤4＋833. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝a 2＋c 2＋ac ，又b ＝4，所以16＝a 2＋c 2＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ，即ac ≤163. 所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×163×32＝433. 即△ABC 面积的最大值为433. 【跟踪训练】解：(1)证明：由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a 及正弦定理， 得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， 即sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.由于0<B <3π4，0<C <3π4，从而B －C ＝π2. (2)因为B ＋C ＝π－A ＝3π4，B －C ＝π2， 所以B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12. 【达标反馈】1．解析：选A.因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ， 所以12×2·AC sin 60°＝32.所以AC ＝1. 又BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝4＋1－2×2cos 60°＝3.所以BC ＝ 3.2．解析：选B.由正弦定理，得c sin π4＝2sin π6，解得c ＝2 2.又∠A ＝π－π6－π4＝7π12，则△ABC 的面积S ＝12bc sin 7π12＝3＋1. 3．解：(1)由正弦定理b sin B ＝c sin C， 得sin B ＝b sin C c ＝12， 因为在△ABC 中，b <c 且C ＝120°，所以B ＝30°.(2)因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－120°－30°＝30°，所以S ＝12bc sin A ＝34.。
1.2应用举例
课题：应用举例课型：新授编号：03 时间：2011-9-8【学习目标】1.掌握用正弦定理、余弦定理解任意三角形的方法；2.会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题。
【学习重难点】重点是培养应用意识和实践能力，难点是实际问题数学化，利用解三角形解决相关实际问题。
课前自主预习【知识梳理】1.基本概念（1）在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，视线在水平线的角称为。
（2）把指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角叫方位角。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角，如北偏东600 。
2.距离问题（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题。
这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题，用就可解决问题。
（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题。
首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题。
3.高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物到一个的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。
3.角度问题测量角度就是在三角形内利用和求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角。
【基础自测】1.如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适合用数据（）A.ba,,α B.a,,βα C.γ,,ba D.ba,,β2.若P在Q的北偏东440，则Q在P的（）A.东偏北460B.东偏北440C.南偏西440D.西偏南4403.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东200 ，灯塔B在观测站C的南偏东400，则两塔的距离为。
4.在某次测量中，在A处测得同一平面上得B点仰角是600，C点的仰角为700，则B A C∠等于。
新人教A版必修5高中数学学案教案：《1.2 应用举例(二)》
数学必修五《1.2 应用举例（二）》教案教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法 师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m ) ③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C , BC =sin sin AB A C=5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？ 答案：20+2033(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.。
2022版新教材高考物理一轮复习第7章静电场及其应用第1讲库仑定律电场强度学案鲁科版
第1讲库仑定律电场强度课标要求考情分析3.1.1通过实验，了解静电现象。
能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象。
3.1.2 知道点电荷模型。
知道两个点电荷间相互作用的规律。
体会探究库仑定律过程中的科学思想和方法。
3.1.3 知道电场是一种物质。
了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法。
会用电场线描述电场。
3.1.4 了解生产生活中关于静电的利用与防护。
3.1.5 知道静电场中的电荷具有电势能。
了解电势能、电势和电势差的含义。
知道匀强电场中电势差与电场强度的关系。
能分析带电粒子在电场中的运动情况，能解释相关的物理现象。
3.1.6 观察常见的电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象。
能举例说明电容器的应用。
1．新高考例证2020年某某高考卷第10题，考查同种电荷电场线的分布情况，比较圆周上各点电势高低及引入带负电的试探电荷后比较电势能的大小。
2．新高考预测(1)以选择题的形式考查电场力的性质、电场能的性质及电容器的基本特点和规律。
(2)在计算题中把电场力的性质和能的性质与牛顿运动定律、功能关系结合起来，以带电粒子在电场中运动为模型进行综合考查。
知识体系一、电荷及电荷守恒定律1．元电荷、点电荷(1)元电荷：e×10－19 C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍。
(2)点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。
点电荷是一种理想化模型。
2．电荷守恒定律(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移的过程中，电荷的总量保持不变。
(2)三种起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。
(3)带电实质：电子的转移。
思考辨析1．近代物理实验发现，在一定条件下，带电粒子可以产生和湮灭，故在一定条件下，电荷守恒定律不成立。
高中数学新人教A版必修5学案 1.2 应用举例(第3课时)
1.2 应用举例(第3课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综合训练强化相应的能力.3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神. 合作学习一、设计问题,创设情境提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问题.二、信息交流,揭示规律在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决,大家身边有什么例子吗?三、运用规律,解决问题【例1】如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile)问题1:要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东75°的方向”这指的是什么?【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船?问题2:你能否根据题意画出方位图?问题3:以上是用正弦定理、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢?四、变式训练,深化提高【例3】如图,海中小岛A周围38海里内有暗礁,船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里到C处,在C处测得小岛A在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?练习:如图,有两条相交成60°角的直线XX',YY',交点是O,甲、乙分别在OX,OY上,起初甲在离O点3千米的A点,乙在离O点1千米的B点,后来两人同时以每小时4千米的速度,甲沿XX'方向,乙沿Y'Y方向步行.(1)起初,两人的距离是多少?(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离;(3)什么时候两人的距离最短?五、限时训练1.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为( )A.南偏西B.北偏西C.北偏东D.南偏东2.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ=.3.一辆汽车从A点出发,沿一条笔直的海岸公路以100km/h向东匀速行驶,汽车开动时,在点A的南偏东方向距点A 500km的B处的海上有一快艇,此时,快艇所在B处距海岸300km.现快艇上有一快递要送给汽车的司机,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角,并求出快艇的最小速度.六、反思小结,观点提炼解三角形应用题的一般步骤:参考答案三、运用规律,解决问题【例1】解:在△ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理,AC=≈113.15(n mile),根据正弦定理,,sin∠CAB=≈0.3255,所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15n mile.问题1:这是方位角,这实际上就是解三角形,由方位角的概念可知,首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC,即可用余弦定理算出AC边,再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB,就可以知道AC的方向和路程.【例2】解:如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理,可得(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,化简得32x2-30x-27=0,即x=或x=-(舍去).所以BC=10x=15,AB=14x=21.又因为sin∠BAC=,所以∠BAC=38°13',或∠BAC=141°47'(钝角不合题意,舍去).所以38°13'+45°=83°13'.答:巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.问题2:在解三角形中有很多问题都要画出平面示意图,图画的好坏有时也会影响到解题,这是建立数学模型的一个重要方面.问题3:同例2中解得BC=15,AB=21,在△ABC中,由余弦定理,得cos∠CAB=≈0.7857,所以∠CAB≈38°13',38°13'+45°=83°13'.所以巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.四、变式训练,深化提高【例3】解:在△ABC中,BC=30,B=30°,∠ACB=180°-45°=135°,则A=15°.由正弦定理知,即.所以AC==60cos15°=15+15.所以A到BC所在直线的距离为AC·sin45°=(15+15)×=15(+1)≈40.98>38(海里).答:不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险.练习:解:(1)因为甲、乙两人起初的位置是A,B,则AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=32+12-2×3×1×=7,所以起初,两人的距离是千米.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P,Q,则AP=4t,BQ=4t,当0≤t≤时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;当t>时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7,所以,PQ=48t2-24t+7.(3)PQ2=48t2-24t+7=48+4,所以当t=时,即在第15分钟末,PQ最短.答:在第15分钟末,两人的距离最短.五、限时训练1.D2.解析:如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,即得BC=20(海里).由正弦定理,,所以sin∠ACB=sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,则cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.3.分析:设快艇在B处以v km/h的速度出发,在△ABC中,由正弦定理求解.解:如图,设快艇在B处以v km/h的速度出发,沿BC方向航行t小时与汽车相遇(在C点). 在△ABC中,AB=500km,BQ=300km,AC=100t,BC=vt.则sin∠BAC=.在△ABC中,由正弦定理得,即,则v=≥60,当且仅当∠ABC=90°时等号成立.故快艇最小速度为60km/h且行驶方向与AB成直角.六、反思小结,观点提炼①根据题意作出示意图;②明确所涉及的三角形,搞清已知和未知;③选用合适的定理进行求解;④给出答案.。
2020-2021学年苏教版必修五 余弦定理应用举例 学案
2020-2021学年苏教版必修五 余弦定理应用举例 学案1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）； 2．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等； 3．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 典例分析例1．(1)某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于 （ ）（A ）3 （B ）32 （C ）3或 32 （D ）3 解：C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）A 403203,3m m B 103,203m m C 10(32),203m m - D 153203,23m m 解：A（3）一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（ ） A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m 解： B（4）已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为25 nmi/h ，B 的速度是A 的35，过三小时后，A 、B 的距离是 ． 解：90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h 的速度由B 到C 航行， 航向为方位角0140NBC ∠=，A 处有灯塔，其方位角0110NBA ∠=，在C 处观测灯塔A 的 方位角035MCA ∠=，由B 到C 需航行半小时， 则C 到灯塔A 的距离是解：10(62)-km 提示：由题意知 075BCA ∠=，利用余弦定理或解直角三角形可得。
1.2 应用举例-王后雄学案
张喜林制1.2 应用举例教材知识检索考点知识清单1．解三角形应用问题的基本思路： 实际问题 → →实际问题． 2．解三角形应用问题的一般步骤：(1)准确理解题意，分清已知与所求； (2)根据题意画出示意图；(3)建立数学模型，合理运用 求解，并作答.要点核心解读1．正弦定理、余弦定理的应用问题中的名词、术语(1)仰角与俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图1-2 -1①所示，角α为仰角，角β为俯角． (2)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角，如东c45南（或东南方向），是指由正东方向向南偏,45o 如图1-2 -1②中.45o=α(3)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如图1-2 -1③中的角.α(4)坡角：坡面与水平面的夹角，如图1-2 -1④中的角.α (5)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即==lhi i (tan α为坡比，α为坡角），如图1-2 -1④，正确认识上述有关角的概念有助于正确地理解实际问题，是解斜三角形实际应用问题时不可缺少的知识．2．正弦定理、余弦定理应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的量．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的量．(3)实际问题抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由已知条件解三角形时，需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解． 3．建模思想解斜三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形边、角的大小，从而得出实际问题的解，这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：4．正弦定理、余弦定理应用问题的解题步骤(1)准确理解题意，分清已知与所求。
陕西省柞水中学高中数学必修四(北师大版)第二章学案 向量应用举例(一)
【导学案】平面向量的应用举例（一） 班级 姓名 组号 编写人：党显武 审核人：王松涛【学习目标】1、 了解直线的方向向量与法向量的概念，会求直线的方向向量与法向量；2、 会运用平面向量的方法解决解析几何中的点到直线的距离问题公式的推导，直线平行与垂直问题，直线的夹角问题；3、 体会运用向量解决解析几何问题的方法思路。
【重点难点】重点：向量法解决解析几何问题难点：解析几何问题向向量的转化【知识链接】 【学习过程】一、预习自学（一）直线的方向向量与法向量得定义： 1、定义：若一个非零向量所在的直线与直线l 平行或共线，则把这个非零向量m 叫直线l 的一个方向向量；与直线l 的方向向量m 垂直的非零向量n 叫直线l 的一个法向量。
2、通常直线22;0(0)l Ax By C A B ++=+≠的一个方向向量记作(,)m B A =-.若斜率k 存在，也可记为m =（1，k ）一个法向量(,)n A B =,也可记为1(1,)n k=-(二)认真阅读课本P101—102页内容，归纳总结向量法推导点到直线的距离公式的过程步骤. 第一步、确定两个向量：1、直线22;0(0)l Ax By C A B ++=+≠的一个法向量为(,)n A B =2、在直线上任选一点(,)P x y ，则向量MP =第二步、确定夹角：过点M 作MD ⊥l 于D,则在Rt MPD ∆中， cos PMD ∠=cos ,MP n =第三步、解三角形：在cos Rt MPD d MP PMD ∆=•∠中，=二、合作探究问题一：用向量法求点P （1，2）到直线:210l x y ++=的距离。
问题二： 已知点(1,2),(3,4),(2,5)A B C --,求经过点A 且垂直于直线BC 的直线l 的方程. 问题三：已知两条直线12:(23)10,:(25)(6)70,l mx m y l m x m y ---=+++-=分别求实数m 的值，使得两直线（1） 平行； （2）垂直三、达标检测1、直线:34120l x y -+=的一个方向向量是， ；一个法向量是 .2、12:20,:20tan .l x y l x y θθ+-=-=的夹角为，试求3、向量(5,1):310m l x my m =-+-==是直线的法向量，则实数。
正弦定理、余弦定理应用举例(导)学案 (1)
第2课时 正弦定理的应用学习目标 1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.2.理解三角形面积公式及解斜三角形.3.能用正弦定理解决简单的实际问题．知识点一 正弦定理的变形公式设△ABC 的外接圆的半径为R ，有a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R .(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C； (3)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ； (4)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 知识点二 边角互化思考 在△ABC 中，已知a cos B ＝b cos A ．你能把其中的边a ，b 化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?答案 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B ＝2R sin B cos A (R 为△ABC 外接圆半径)，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos B －cos A sin B ＝0.梳理 一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化．知识点三 三角形面积公式思考 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝30°.BC 边上的高AD 是多少？△ABC 的面积是多少？答案 AD ＝b sin C ＝2·sin 30°＝1. S △ABC ＝12a ·AD ＝12ab sin C ＝12×1×1＝12.梳理 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sinA ＝12ca sin B .知识点四 仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．1．仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角．(×)2．在△ABC 中，若b 2＝2a cos B ，则sin 2B ＝2sin A cos B ．(×) 3．平行四边形ABCD 的面积等于AB ·AD sin A ．(√)类型一 边角互化例1 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 考点 判断三角形的形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状 解 方法一 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，B ＋C ＝90°， ∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B ) ＝2sin 2B ＝sin A ＝1， ∴sin B ＝22.∵0°<B <90°，∴B ＝45°，C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.又－90°<B －C <90°，∴B －C ＝0，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．反思与感悟 利用正弦定理判定三角形的形状，主要有两条途径(1)化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．转化公式为a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．(2)化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．转化公式为sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆半径)．跟踪训练1 若将题设中的“sin A ＝2sin B cos C ”改为“b sin B ＝c sin C ”，其余不变，试解答本题．考点 判断三角形的形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状解 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)，从而得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵b sin B ＝c sin C ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴b ·b 2R ＝c ·c2R ，⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，∴b 2＝c 2，a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝c ，A ＝90°.∴△ABC 为等腰直角三角形． 类型二 三角形面积公式及其应用 命题角度1 已知边角求面积例2 在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积 解 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32， 又AB ·sin B <AC <AB ，故该三角形有两解： C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.反思与感悟 对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半．一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，但也要结合具体条件，如已知AB ，AC ，就以选S ＝12AB ·AC sin A 为宜．跟踪训练2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55， (1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积． 考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积 解 (1)∵cos C ＝55，∴C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin C ＝255，tan C ＝2.又∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－3＋21－3×2＝1，且0<B <π，∴B ＝π4.(2)由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b ＝c sin Bsin C ＝4×22255＝10，由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C 得sin A ＝31010， ∴△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝6.命题角度2 已知面积求边角例3 在△ABC 中，角A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则sin B ∶sin C ＝ . 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 1∶4解析 因为S △ABC ＝12bc sin A ，所以c ＝2S △ABC b sin A ＝231×32＝4，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得sin B ∶sin C ＝b ∶c ＝1∶4.反思与感悟 条件中涉及面积，要根据解题目标和其它条件()如已知条件中角的大小选取对解题有利的面积公式．跟踪训练3 在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，b ＝3，S △ABC ＝32，则C ＝ . 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 90°解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝32，∴c ＝2，∵B ＝60°，b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. ∴sin C ＝1，∴C ＝90°.类型三 用正弦定理解决简单实际问题例4 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 为 m.考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 5(3＋1)解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x ) m ．∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1) m.∴A 点离地面的高AB 等于5(3＋1) m. 方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CDsin ∠CAD·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2. ∴AB ＝AC sin 45°＝5(3＋1) m.反思与感悟 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练4 为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度解 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝asin (β＋γ)，∴BC ＝a sin γsin (β＋γ)，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝a sin γ·tan αsin (β＋γ).1．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 m.考点 解三角形求距离题点 测量可到达点与不可到达点间的距离 答案 50 2解析 ∠B ＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC 中，由AB sin 45°＝50sin 30°，得AB ＝100×22＝50 2.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ． 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 203米，4033米解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203(米)，乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033(米)． 3．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则A B ．(填>，＝，<) 考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状 答案 ＝解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得， 2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， 又∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .4．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A ＝ . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 π3解析 在△ABC 中，利用正弦定理，得 2sin A sin B ＝3sin B ，∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin B ≠0， ∴sin A ＝32.又∵A 为锐角，∴A ＝π3. 5．在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为 ． 考点 解三角形求面积题点 先用正弦定理求边或角再求面积 答案 9 3解析 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin 120°sin 30°＝6 3.又∵C ＝180°－120°－30°＝30°，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×63×6×12＝9 3.1．用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注意诸如“仰角”、“俯角”之类术语的准确理解．然后分析解三角形已有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达到目标．2．当条件等式中边的次数、角的正弦次数相同时，或已知三角形外接圆半径时，可以用正弦定理进行边角互化．3．三角形面积公式要根据条件灵活选择．一、填空题1．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝12，则△ABC 外接圆的半径为 ．考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 答案3解析 ∵cos A ＝12，A ∈()0，π，∴sin A ＝32，由a sin A＝2R ，得R ＝ 3. 2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，则2sin A －sin Bsin C 的值为 ．考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 －15解析 由条件得a c ＝sin A sin C ＝15，∴sin A ＝15sin C .同理可得sin B ＝35sin C .∴2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C ＝－15.3.埃及有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶端已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为 米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819)(精确到1米)考点 正弦定理的简单实际应用 题点 求高度问题答案 78解析 先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，AC ＝AB sin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°≈78(米)． 4．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝ .考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，∵12ab sin C ＝43，a ＝32，∴b ＝2 3.5．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 的形状是 ．考点 判断三角形形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形形状 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A ，∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵A ，B ∈(0°，180°)， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6.如图，小山的电视发射塔AB 高为50米，在山下地面C 点，测得塔底B 的仰角为40°，测得塔顶A 的仰角为70°，则小山BD 的高约为 米．(sin 20°≈0.342，sin 40°≈0.643，精确到0.01米)考点 解三角形求高度题点 由仰角问题求高度答案 21.99解析 在△ACD 中，∠CAD ＝20°，在△ACB 中，∠ACB ＝30°，由正弦定理，得BC ＝50sin 20°sin 30°＝50×0.3420.5＝34.20. 在△BCD 中，BD ＝BC sin 40°≈21.99(米)．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2c b，则角A 的大小为 ． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形答案 π3解析 由1＋tan A tan B ＝2c b及正弦定理，得 1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin C sin B， 即sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C sin B， 又∵sin(A ＋B )＝sin C >0，sin B >0，∴cos A ＝12. 又∵0<A <π，∴A ＝π3. 8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝ .考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形答案 2解析 由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .所以sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin B sin A ＝ 2. 9．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为 ．(用B 表示) 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形答案 6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 解析 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B ＝332， 化简得AC ＝23sin B ，AB sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝332， 化简得AB ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ，所以三角形的周长为BC ＋AC ＋AB ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3. 10．已知圆的半径为4.a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为 ．考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积答案 2解析 由正弦定理得，c ＝2R sin C ＝8sin C ，∴sin C ＝c 8. ∴三角形面积＝12ab sin C ＝12ab ·c 8＝116abc ＝116×162＝ 2.二、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形证明 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，A ＋B ＋C ＝π， 所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立．12．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C 求：(1)B 的范围；(2)a b的范围． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形解 (1)在锐角三角形ABC 中，0°<A <90°，0°<B <90°，0°<C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0°<B <90°，0°<2B <90°，0°<180°－3B <90°，得30°<B <45°.(2)由正弦定理知a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故所求a b的范围是(2，3)． 13.我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000米，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)考点 运用正弦定理求距离题点 在不同三角形中给出角度求距离解 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD . 又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理有 AB ＝AD 2＋BD 2＝ 23＋12CD ＝426CD ＝1 00042. 所以炮兵阵地到目标的距离为1 00042米．三、探究与拓展14．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形解 由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A. 即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，且A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，且C ＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 15．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理求面积解 因为tan B ＝12>0，所以B 为锐角． 所以sin B ＝55，cos B ＝255. 因为tan C ＝－2，所以C 为钝角．所以sin C ＝255，cos C ＝－55. 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝55×⎝⎛⎭⎫－55＋255×255＝35. 因为S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ＝2R 2×35×55×255＝1. 所以R 2＝2512，R ＝536. 所以πR 2＝2512π，即外接圆的面积为2512π. 所以a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.。
《应用实例》导学案
《应用实例》导学案
一、课程背景
本次导学案旨在通过实际案例的分析和讨论，帮助学生深入理解课程内容，并提高他们的问题解决能力和实践操作能力。
本导学案将以现实中的应用实例为基础，引导学生在课堂上展开讨论，探讨解决问题的思路和方法。
二、学习目标
1. 了解实际应用案例，理解相关知识在实践中的重要性；
2. 提升问题解决能力，培养实践操作技能；
3. 培养分析、判断和决策能力，加强团队合作意识。
三、学习过程
1. 导入：老师通过介绍一个真实的应用案例，引发学生兴趣，激发他们的思考和探索欲望。
2. 分析：学生根据案例内容，结合课程知识进行深入分析，探讨其中的问题和挑战。
3. 讨论：学生分组进行讨论，交流各自的看法和解决方案，并在小组内共同制定应对策略。
4. 展示：各小组代表展示他们的解决方案，其他组提出建议和意见，进行互动讨论。
5. 总结：老师对各组的表现进行总结评价，强调实践操作的重要性，鼓励学生持续努力提高。
四、案例分析
以某公司的产品推广活动为例，学生需要分析该公司在推广过程中遇到的问题和挑战，如推广效果不佳、市场竞争激烈等。
学生可以结合市场营销、消费者行为等相关知识，提出解决方案，如制定创新的推广策略、加强产品品牌宣传等。
五、讨论问题
1. 这家公司在产品推广过程中有哪些不足之处？
2. 学生认为如何提高推广效果？
3. 针对市场竞争激烈的情况，该公司应该如何应对？
六、总结
通过本次导学案的学习，学生不仅可以提升解决问题的能力，还可以培养团队合作意识和实践操作技能。
希望学生能够在实践中不断成长，为未来的发展打下坚实基础。
高中数学应用举例教案
高中数学应用举例教案
主题：数学应用举例
时间：2课时
目标：学生能够运用所学数学知识解决实际问题。
教学内容：数学应用举例
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师简单介绍今天的教学内容，让学生明白数学不仅仅是理论，更是应用于解决实际问题的工具。
二、观察问题（10分钟）
1. 教师出示一个实际生活中的问题，例如：小明有一块长方形的花园，宽为10米，长为15米，求花园的面积和周长。
2. 让学生自由讨论解决这个问题的方法，并让其发现相关数学知识点。
三、理解概念（15分钟）
1. 教师引导学生总结出求长方形面积和周长的公式。
2. 教师讲解如何利用公式求解上面提到的问题，让学生理解所学数学知识在实际问题中的应用。
四、练习运用（20分钟）
1. 学生自行计算几个类似问题，如正方形、三角形等的面积和周长。
2. 学生结合实际情境，设计一个自己的问题，并用所学知识解决。
五、总结（5分钟）
教师带领学生总结今天的学习内容，强调数学在实际生活中的重要性。
六、作业布置（5分钟）
布置作业：综合练习册中的相关题目，巩固所学知识。
七、课堂反馈（5分钟）
学生互相讨论、巩固今天的学习内容，教师可以随机点名学生回答问题。
高中数学2.5平面向量应用举例(教、学案)
2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：1.2 应用举例(一) Word版含答案
1．2 应用举例(一)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培育同学提出问题、正确分析问题、独立解决问题的力量，并激发同学的探究精神．[学问链接]在本章“解三角形” 引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不行及的月亮离我们地球到底有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么奇特的方法探究到这个奇特的呢？ [预习导引]1．基线的定义：在测量上，我们依据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)要点一 测量可到达点与不行到达点间的距离例1 如下图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是a ，∠BAC ＝α，∠ACB ＝β.求A 、B 两点间的距离．解 在△ABC 中，依据正弦定理，得AB sin C ＝ACsin B ，AB ＝AC sin C sin B ＝a sin βsin (π－α－β)＝a sin βsin (α＋β).答 A 、B 两点间的距离为a sin βsin (α＋β).规律方法 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解． 跟踪演练1 如图，在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米． 答案6解析 由题意知C ＝180°－A －B ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222·32＝ 6.要点二 测量两个不行到达点间的距离相距为3a 2的军例2 在某次军事演习中，红方为了精确 分析战场形势，在两个事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．解 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°， 又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°. ∴AD ＝CD ＝AC ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， ∴BC sin 30°＝CD sin 45°，∴BC ＝64a . 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝38a 2. ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为64a . 规律方法 测量两个不行到达的点之间的距离问题．首先把求不行到达的两点A ，B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．跟踪演练2 如下图，A 、B 两点都在河的对岸(不行到达)，若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠CDB ＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A 、B 两点间的距离是多少？解 应用正弦定理得AC ＝40sin (45°＋60°)sin[180°－(30°＋45°＋60°)]＝40sin 105°sin 45°＝40sin 75sin 45°＝20(1＋3)，BC ＝40sin 45°sin[180°－(60°＋30°＋45°)]＝40sin 45°sin 45°＝40.在△ABC 中，由余弦定理得 AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos ∠BCA ＝20 6 m.∴A 、B 两点间的距离为206米．1．如图，在河岸AC 上测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( ) A ．a ，c ，α B ．b ，c ，α C ．c ，a ，β D ．b ，α，γ答案 D解析 由α、γ可求出β，由α、β、b ，可利用正弦定理求出BC .故选 D.2．某人向东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离动身点恰好13千米，那么x 的值是________． 答案 4解析 由余弦定理：得x 2＋9－3x ＝13，整理得：x 2－3x －4＝0，解得x ＝4(x ＝－1舍去)．3．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，求A 、B 两点的距离． 解 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．答 A 、B 两点间的距离为50 2 m.1.解三角形应用题常见的两种状况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．2．正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：依据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、基础达标1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( ) A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析 由题意知，在△ABC 中AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，则C ＝180°－A －B ＝45°. 由正弦定理，得BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°sin 45°＝56(n mile)．2．甲骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的大路行驶，在点A 处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．6 km B ．3 3 km C. 3 2 km D ．3 km答案 C解析 由题意知，AB ＝24×14＝6 km ，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB＝6sin 30°sin 45°＝3 2.3．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______m. 答案 60解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120(m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度． 由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，∴120sin 90°＝CD sin 30°，∴CD ＝60(m)． ∴河的宽度为60 m.4．如图，一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行平安区域，这艘船可以连续沿正北方向航行吗？ 解 在△ABS 中，AB ＝32.2×0.5＝16.1 (n mile)，∠ABS ＝115° ， 依据正弦定理，AS sin ∠ABS ＝AB sin (65°－20°)，AS ＝AB ×sin ∠ABS sin (65°－20°)＝AB ×sin ∠ABS ×2＝16.1×sin 115°×2，S 到直线AB 的距离是d ＝AS ×sin 20°＝16.1×sin 115°×2×sin 20°≈7.06(n mile)．由于7.06＞6.5，所以这艘船可以连续沿正北方向航行．5．要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离． 解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km. 二、力量提升6．一架飞机从A 地飞到B 地，两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向连续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700 km 远了多少？解 在△ABC 中，AB ＝700 km ，∠ACB ＝180°－21°－35°＝124°， 依据正弦定理，700sin 124°＝AC sin 35°＝BCsin 21°，AC ＝700·sin 35°sin 124°，BC ＝700·sin 21°sin 124°，AC ＋BC ＝700·sin 35°sin 124°＋700·sin 21°sin 124 °≈786.89(km)，786．89－700＝86.89(km)．答 所以路程比原来远了约86.89 km.7．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观看到点C 处有一辆汽车沿大路向M 站行驶．大路的走向是M 站的北偏东40°.开头时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？解 由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处．在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21， 由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sin 2C ＝1－ cos 2C ＝432312， sin C ＝12331，所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C )＝sin 120°cos C －cos 120°sin C ＝35362.在△MAC 中，由正弦定理，得MC ＝AC sin ∠MAC sin ∠AMC ＝3132×35362＝35.从而有MB ＝ MC －BC ＝15.答 汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站． 三、探究与创新8．如右图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离． 解 依题意得，DC ＝30， ∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°. 在△BDC 中，由正弦定理可得， BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30·sin 30°sin 120°＝10，在△ADC 中，由正弦定理可得， AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC＝30·sin 60°sin 45°＝3 5.在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos 45°＝25，∴AB ＝5.答 这两座建筑物之间的距离为5 km.。
1.2正余弦定理应用举例学案
四平市第一高级中学 2013级高一年级数学学科学案学案类型： 新课 材料序号： 3编稿教师： 刘强 审稿教师： 朱立梅 课题：1.2应用举例一、学习目标：1、加深对正弦定理、余弦定理的理解，提高熟练程度。
2、加深正弦定理、余弦定理在实际中的应用：①测量距离；②测量高度；③测量角度。
二、学习重、难点：教学重点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。
教学难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。
三、知识导学：1、实际问题中常用的角（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线________的角叫做仰角，视线在水平线______的角叫做俯角。
（2）方位角：从正北方向_____转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α。
2、坡角与坡度（1）坡角坡面与水平面的夹角,即图中的角β。
（2）坡度坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值，即坡角的正切值，lh ==βtan 坡度。
四、典型例题：1、测量距离的问题【例1】为了测量河对岸两个建筑物B A 、之间的距离，在河岸边取点D C 、，︒=∠45BCD ,︒=∠75ACB ,︒=∠30ADC ,︒=∠45ADB ,3=CD 千米，已知D C B A 、、、在同一平面内，试求B A 、之间的距离。
水平线 视线 视线 仰角 俯角 铅垂线αB 西 南 东北βh l2、测量高度【例2】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的仰角︒=60α，在 塔底C 处测得A 处的俯角︒=45β。
已知铁塔BC 部分的高为m 30，求出山高CD 。
3、测量角度【例3】一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为︒45、距离为10海里的C 处，并测得渔船以9海里/时的速度沿方位角为︒105的方向航行，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救。
求舰艇赶上遇险渔船所需的最短时间，能否营救成功？4、三角恒等式证明【例4】在△ABC 中，求证：)cos cos cos (2222C ab B ca A bc c b a ++=++。
数学一轮复习第三章三角函数解三角形第7讲解三角形应用举例学案含解析
第7讲解三角形应用举例［考纲解读］1。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．（重点)2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型,将实际问题转化为数学问题．(难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计2021年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主。
1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线错误!上方的角叫仰角,在水平线错误!下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②）．3．方向角相对于某一正方向的水平角．（1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③）．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．1．概念辨析(1）东北方向就是北偏东45°的方向．（)（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（）（3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()（4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是错误!。
（)答案（1）√(2）×（3）√（4）√2．小题热身（1）在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的() A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′答案A解析由方向角的概念知，B在A的北偏西34°27′。
《应用举例(1)》教学案
1 / 2使用教师 加拥军 学科 数学 教学内容28.2.2应用举例（1） 时间 年级 九年级 主备教师 加拥军 备课组长签名＿＿＿三 维 目 标1．知识与能力: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． 2．过程与方法：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感态度与价值观: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 重、难点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．教法与学法指导 一、旧知回顾1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：tan A =的邻边的对边A A ∠∠二、新知学习 1、仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．2、例3 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km 的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6400 km ，π取3.142，结果取整数)？三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点：⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评1.为测量松树AB 的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m ）3．如图，某海岛上的观察所A 发现海上某船只B 并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A 的标高(当水位为0m 时的高度)为43.74m ，当时水位为+2.63m ，求观察所A 到船只B 的水平距离BC(精确到教法与学法指导可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它．斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．3、例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?1m)教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：（1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．（2）．请学生结合图形独立完成。
高中数学新湘教版精品学案《基本不等式实际应用举例》
基本不等式实际应用举例【学习目标】1．知识与技能（1）能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；（2）进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；（3）审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题。
2．过程与方法整堂课要围绕分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行。
3．情感、态度与价值观（1）引发学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德；（2）进一步培养学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性。
【学习重难点】重点：对由基本不等式推导出的命题的理解以及利用此命题求某些函数的最值。
突破重点的关键是对基本不等式的理解。
难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正，二定，三相等”。
【学习过程】自主学习【问题导思】若a＞0，b＞0，则ab、错误!2、错误!的大小关系如何？1．若a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立。
2．若a>0，b>0则ab≤错误!2≤错误!，当且仅当a＝b时等号成立。
3．若a>0，b>0，则错误!≤ 错误!≤ 错误!，当且仅当a＝b时等号成立。
互动探究例1．长为50米的钢丝，截开后分别围成两个正方形，设两个正方形的边长分别为m，m，例2．某商场预计全年分批购入每台价值2 000元的电视机共3 600台，每批都购入台∈N*，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不包括运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用运输和保管总费用43600元。
现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？【思路探究】首先建立总费用与每批进货量之间的函数关系，再由基本不等式求总费用的最小值，与所给24000元比较。
规律方法1．本题中的函数模型属于“＝a＋错误!”型。
一般地，＝a＋错误!（≠0，a，b为常数且a＞0，b＞0的最值（或值域）可分以下几种情况：（1）若∈0，＋∞，则由基本不等式，可知当＝错误!时，取得最小值2错误!；若∈－∞，0，则由基本不等式，可知当＝－错误!时，取得最大值－2错误!；若∈－∞，0∪0，＋∞，则函数的值域为－∞，－2错误!∪[2错误!，＋∞；（2）若±错误!不在函数定义域内，则需要根据函数的单调性求最值及值域。
同位角、内错角、同旁内角授课教案学案典案
5.1.3 同位角、内错角、同旁内课题5.1.3同位角、内错角、同旁内角授课人教学目标知识技能能在图形中识别同位角、内错角和同旁内角.数学思考经历在简单的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角的过程,思考数学概念的形成过程.问题解决通过找对,找全同位角、内错角、同旁内角,形成认识事物的科学方法.情感态度通过观察、比较各类角的特点,提高学生的辨别能力和空间想象能力.教学重点同位角、内错角、同旁内角的概念.教学难点复杂图形中两角关系的辨认.授课类型新授课课时教具三线相交模型教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】1.两条直线相交形成几个角?各角之间都有哪些关系?图5-1-492.两条直线都被第三条直线所截你能画出怎样的图形?在你画出的图形中都有哪些角?各角之间都有哪些关系呢?如图5-1-49,直线l1,l2被直线l3所截,形成8个角,这8个角间除了对顶角、邻补角的关系之外还有怎样的位置关系?由两直线相交的位置关系自然过渡到两直线被第三条直线所截所形成的八个角的位置关系.活动二: 实践探究交流新知【探究】同位角、内错角、同旁内角的概念1.先看图5-1-50中的∠1和∠5,这两个角分别在直线AB,CD的同一方(上方),并且都在直线EF的同侧(右侧),具有这种位置关系的一对角叫做同位角.在图中,具有这样类似位置关系的角还有吗?如果你仔细观察,会发现∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8也是同位角.图5-1-50总结:图5-1-51中的∠1与∠2都是同位角.图5-1-51图形特征:在形如字母“F”的图形中有同位角.2.再看图5-1-50中的∠3与∠5,这两个角都在直线AB,CD之间,并且分别在直线EF两侧(∠3在直线EF左侧,∠5在直线EF右侧),具有这种位置关系的一对角叫做内错角.同样,∠4与∠6也具有类似位置特征,因此∠4与∠6也是内错角.总结:图5-1-52中的∠1与∠2都是内错角.图5-1-521.正确识别简单图形中的同位角、内错角、同旁内角.活动二: 实践探究交流新知图形特征:在形如字母“Z”的图形中有内错角.3.在图5-1-50中,∠3和∠6也在直线AB,CD之间,但它们在直线EF的同一旁(左侧),具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.具有类似的位置关系的还有∠4与∠5,因此它们也是同旁内角.总结:图5-1-53中的∠1与∠2都是同旁内角.图5-1-53图形特征:在形如字母“U”的图形中有同旁内角.师生通过上述研究,归纳总结,可以得到这样一个表格:角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”同旁内角在截线同旁夹在两条被截线之间形如字母“U”学生通过这样一个表格,使知识点清晰明朗,能够更好地掌握同位角、内错角和同旁内角的相关知识.2.在较复杂的图形中识别三种角,能正确分离图形.3.逆向思考,寻找被截直线和截线.活动三: 开放训练体现应用【应用举例】例1如图5-1-54,直线DE,BC被直线AB所截,图5-1-54(1)∠1和∠2,∠1和∠3,∠1和∠4各是什么位置关系的角?(2)如果∠1=∠4,那么∠1和∠2相等吗?∠1和∠3互补吗?为什么?解:(1)∠1和∠2是内错角,∠1和∠3是同旁内角,∠1和∠4是同位角.(2)如果∠1=∠4,由对顶角相等,得∠2=∠4,那么∠1=∠2.1.正确识别简单图形中的同位角、内错角、同旁内角.活动 三:开放训练体现 应用 因为∠4和∠3互补,即∠4+∠3=180°,又∠1=∠4,所以∠1+∠3=180°,即∠1和∠3互补.图5-1-55变式如图5-1-55,直线AB ,CD 被直线EF 所截,如果∠1与∠2互补,且∠1=110°,那么∠3,∠4的度数分别是多少?[答案:∠3=70°,∠4=70°] 2.在较复杂的图形中,识别三种角,能正确分离图形.【拓展提升】例2 如图5-1-56,图中共有几对内错角?这几对内错角分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的?图5-1-56解:图中共有4对内错角.直线BC ,BE 被直线DF 截得的两对内错角:∠DFB 和∠CDF ,∠FDB 和∠EFD.直线AC ,AD 被直线BE 截得的两对内错角:∠AFE 和∠CEF ,∠AEF 和∠EFD. 逆向思考,寻找被截直线和截线.活动 四: 课堂 总结 反思【当堂训练】 1.如图5-1-57所示,下列说法不正确的是 (D)图5-1-57A .∠1和∠4是内错角B .∠1和∠3是对顶角C .∠3和∠4是同位角D .∠2和∠4是同旁内角活动四: 课堂总结反思2.在阿拉伯数字“4”中,有2对同位角;有2对内错角;有3对同旁内角.3.如图5-1-58,∠1与∠2是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角?∠1与∠3是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角?图5-1-58课后作业:1.找出图5-1-59中∠DEC的同位角、内错角和同旁内角.图5-1-592.如图5-1-60,∠A与哪个角是内错角?它们是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的?图5-1-60通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.【板书设计】5.1.3同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截{同位角内错角同旁内角“同”指在第一、二两条直线的同侧的角和第三条直线的同侧的角两种情况;“内”指第一、二两条直线之间的角;“错”指第三条直线的两侧的角.提纲挈领,重点突出.活动四: 课堂总结反思图5-1-61同位角:同时具备两个“相同”的角;内错角:在第一、二两条直线之间,第三条直线两侧的角;同旁内角:在第一、二两条直线之间,又在第三条直线同旁的角.【教学反思】①[授课流程反思]由学生已经掌握的两直线相交知识拓展到两直线被第三条直线所截的情形,自然形成知识过渡.②[讲授效果反思]识别三种角的关键在于确定出截线与被截线,通过学生的观察和讨论确定出识别截线的方法(两角的边有无公共部分),然后让学生根据图形理解“同”“错”“内”的意义,这样学生就不会死记硬背概念了.学生会在讨论的过程中掌握三种角的识别方法.③[师生互动反思]④[习题反思]好题题号错题题号回顾反思,找出差距与不足,形成知识及数学体系,更进一步提升教师教学能力.一、自学范围（6页——7页） 二、自学目标：1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念．2、结合图形识别同位角、内错角、同旁内角． 三、自学重、难点在复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角四、自学过程：1、 如图：直线AB 与CD 相交于点O,有怎样的关系？2、若直线AB 、CD 都和EF 相交，（即直线AB 、CD 被EF 所截），共 个角，（即三线 角）不在同一个顶点的角可怎样分类呢？（自学课本6页）3、上图中与，这两个角分别在直线AB 、CD 的 方，并且都在直线EF 的 侧，所以他们是同位角，象这样的角还有4321∠∠∠∠1∠5∠O DC B A43214、上图中与，这两个角都在直线AB 、CD ，并且分别在直线EF ，所以他们是内错角，象这样的角还有5、上图中与，这两个角都在直线AB 、CD ，但它们在直线EF 的 ，所以他们是同旁内角，象这样的角还有 。
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第7页应用举例导学案 【学习目标】 1． 会正确画出各种角度
:仰角，俯角，方位角;
2． 能综合运用正余弦定理解决简单的测量问题．
目标一 会正确画出各种角度：仰角，俯角,方位角 【新知介绍】 方位角-－-指从北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ; 仰角与俯角－--视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时,称为仰角；当视线在水平线之 下时,称为俯角． 坡度--－沿余坡向上的方向与水平方向的夹角．
【达标检测】如右图,点A 的方位角为点B 的方位角为
目标二 能综合运用正余弦定理解决简单的测量问题.
【例题展示】
1.想一想：能到达的两点之间的距离显然能够测量,在这个基础上怎么测出河两岸不能到达的两点A,B 之间的距离?如图，设A 、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
测量者在B 的同侧,在所在的河岸边选定一点C ，测定BC 的距离是55,∠ＡBC ＝4５°,∠AC Ｂ＝６０° .求A 、B 两点间的距离.变式:在上题的基础上如何测出不能到达的河对岸的两点A ，B 之间的距离呢?
在岸边选取相距3km 的C 、D 两点,并测得∠A ＣB =75°，∠ＢCD =45°,∠AD Ｃ＝3０°,∠ADB =45°，Ａ、Ｂ、C 、Ｄ在同一个平面,求两目标A 、B 间的距离．答案()623255
- 2．用同样高度的两个测角仪A Ｂ和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,
如图1－2-5,分别测得气球的仰角是α和β,已知B ，C 间的距离为a ，测角仪的高度
是b ,求气球的高度。
（b a +-)sin(sin sin βαβ
α)
3. 某海上养殖基地A ，接到气象部门预报,位于基地南偏东6０°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心,影响半径为２0海里。
正以每小时102海里的速
度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且3＋1
小时后开始影响基地持续２小时，求台风移动的方向。
答案北偏西45
【达标检测】
1. 从高为h 的气球A 上测量铁桥BC 的长.如果测得桥头B 的俯角是α,桥
头C 的俯角是β,求该桥的长. 答案：11(-tan tan h βα） ２.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号,如图,我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45° ，距离为１0海里的Ｃ处,并测得货船正沿方位角105° 的方向,以１０海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立
即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间。
答案方向角75° ，时间1小时
B A
C a b
E
A D
C B C D。