中职数学课件6.3正弦型函数的图像和性质

就得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像，
这里 A>0, ω>0．
6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图 像可用五点法作出，也可由函数 y=sinx的图像经过平移、伸缩得到．
利用正弦函数的性质及正弦型 函数的图像，可以得到关于正弦型 函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0, ω>0)的 一些结论．
例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图．
（1）y=sinx；（2）
y=sin2x
；（3）
y=sin(2x+
π 4
)
；（4）
y=2sin(2x+
π 4
)
．
解
（2）因为T=2ωπ=
2π 2
=π，所以函数y=sin2x的周期为π．作函数y=sin2x在
[0,π]上的简图．
描点作图，得到函数y=sin2x，x∈[0,π]的简图．
（2） y=sin
x+
π 3
；
（3）y=2sin
2x+
π 6
；
（4）y=2sin
1 2
x−
π 4
．
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练习
2.说明怎样由函数y=sinx的图像得到下列函数的图像．
（1）y=13 sinx ；
（2） y=sin
x−
(2x+
π 4
)的周期为π．作函数
令2x+ π4= 0，π2，π， 32π， 2 π，并列表．
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例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图．
（1）y=sinx；（2）
y=sin2x
；（3）
y=sin(2x+
2x−
π 6
；
（4）y=sinx+cosx．
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6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
π 4
)
；（4）
y=2sin(2x+
π 4
)
．
解y=2（sin4）(2x因+为π4 T)在=2ω[π-=π8,2728ππ=]上π，的所简以图函．数y=2sin
(2x+
π 4
)的周期为π．作函数
描点作图，得到函数y=2sin(2x+
π 4
)，x∈
[-π8,
78π]的简图．
试一试
仿照例1，说明函
数
y=3sin(12
一般地，将函数y=sinx图像上 所有点的横坐标变为原来的ω1 倍(纵 坐标不变)，就得到函数y=sinωx的
图像；将两数y=sinωx的图像沿x轴
向左(φ>0)或者向右(φ<0)平移|
φ ω
|个
单位，就得到函数y=sin(ωx+φ)的图
像；将y=sin(ωx+φ)图像上各点的纵
坐标变为原 来的A倍(横坐标不变) ，
π 4
)
；（4）
y=2sin(2x+
π 4
)
．
解(2x+（π43）)在因[-为π8,T78=π2]ω上π=的22π简=图π，．所以函数y=sin
(2x+
π 4
)的周期为π．作函数y=sin
描点作图，得到函数y=sin(2x+
π 4
)，x∈
[-π8,
78π]的简图．
想一想
如何用五点法做函 数y=Asin(ωx+φ) 的 图像？
[0,π]上的简图． 令2x=0，π2，π， 32π， 2 π，并列表．
读一读
一般地，对于函数f(x)， 如果存在一个非零常
数T，使得当x取定义
域内任一个 值 时，都
有f(x+T)= f(x)，则非
零常数T为这个函数
的一个周期．
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6.3 正弦型函数的图像和性质
6.3 正弦型函数的图像和性质
在物理学、电工和工程技术中，经常会遇到形如 y=Asin(ωx+φ) (其中 A，ω，φ都是常数)的函数，它与 和角公式、二倍角公式以及正弦函数 y=sinx等三角知 识有着密切的联系．下面来研究这类函数的作图方法 和性质．
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π 3
；
（3）y=2sin12 x ；
（4）y=2sin
2x−
π 4
．
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练习
3.求下列函数的周期、最大值和最小值以及取得最值时x的集合 ．
（1）y=23 sin2x ；
（2） y=2sin
x+
π 3
；
（3）y=3sin
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例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图．
（1）y=sinx；（2）
y=sin2x
；（3）
y=sin(2x+
π 4
)
；（4）
y=2sin(2x+
π 4
)
．
解（1）列表
描点作图，得到函数y=sinx，x∈[0,2π]的简图．
的图像；把函数y=sin2x的图像沿x
轴yy==向ssiinn左((22平xx++移π4π4 π8))的图个图像单像上位； 所，把有就函点得数的到纵）函坐数
标变为原来的2倍(横坐标不变) ，
就得到函数
y=2sin(2x+
π 4
)的图像．
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6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图．
（1）y=sinx；（2）
y=sin2x
；（3）
y=sin(2x+
π 4
)
；（4）
y=2sin(2x+
π 4
)
．
解(2x+（π43）)在因[-为π8,T78=π2]ω上π=的22π简=图π，．所以函数y=sin
6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 典型例题 函数在一个周期内的简图．
（1）y=sinx；（2）
y=sin2x
；（3）
y=sin(2x+
π 4
)
；（4）
y=2sin(2x+
π 4
)
．
解y=2（sin4）(2x因+为π4 T)在=2ω[π-=π8,2728ππ=]上π，的所简以图函．数y=2sin
x-
π 6
)
的图像是由函数
的图像如何变换
得到的？
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将例1中作出的四条曲线画在同
一个平面直角坐标系中，如图所
示．可以看出，把函数y=sinx 图像
上所有点的横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)，就得到函数y=sin2x
例2 求函数y= 3 sin2x+cos2x的周期、最大值和最小值，并指出当x取
何值时，函数取得最大值和最小值．
解
因为y=
3
sin2x+cos2x==22((si2n32sixnc2oxs+π6+12
cos2x) cos2x sinπ6)=2sin(2x+π6)
所以函数的周期为T=2ωπ =π．
y=2当sin所(2以x+函π6 )数取的得周最期大为值2，x+最π6 大=2值kπ为+π22，；即x=kπ+π6 (k∈Z)时，函数
(2x+
π 4
)的周期为π．作函数y=sin
令2x+ π4= 0，π2，π， 32π， 2 π，并列表．
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例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图．
（1）y=sinx；（2）
y=sin2x
；（3）
y=sin(2x+
形如y=Asin(ωx+φ) (其中 A，ω，φ都是常数)的函数称为
正弦型函数．在物理学中，正弦型函数被用来表示简谐振动、
正弦式电流等．习惯上，A称为振幅，ωx+φ称为相位，φ称为
初相，T=2ωπ
称为周期，f
=
1 T
=2ωπ
称为频率．
当A=1，ω=1，φ=0时，函数y=Asin(ωx+φ)就是 y=sinx．因 此， 正弦函数是正弦型函数的特殊情况．类比作正弦函 数 y=sinx图像的方法，可作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像， 从而研究它的性质．
匀速转动的摩天轮的半径为R，转动 的角速度为ω.以摩天轮的中心为坐标原点 建立坐标系，如图所示．若点P0表示座椅 的初始位置，∠MOP0=φ，问点P的纵坐 标y与时间t之间有怎样的函数关系？
由正弦函数数的定义，得点 P的纵坐标y 与时间t的函数关系为 y=Rsin(ωt+φ) ．
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定义域：实数集R ． 值域：[-A,A]． 周期：T=2ωπ ．
6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 y=2sin如(2何x+从π4)的函图数像y=？sin(x+π4)的图像得到函数
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6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图．
（1）y=sinx；（2）
y=sin2x
；（3）
y=sin(2x+
π 4
)
；（4）
y=2sin(2x+
π 4
)
．
解
（2）因为T=2ωπ=
2π 2
=π，所以函数y=sin2x的周期为π．作函数y=sin2x在
y=2当sin所(2以x+函π6 )数取的得周最期大为值2，x+最π6 大=2值kπ为-π2-，2；即x=kπ-π3 (k∈Z)时，函数
6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1.用五点法作出下列函数在一个周期的简图．
（1）y=12 sin2x ；