四川省成都市双流区双流棠湖中学2021届高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)

四川省成都市双流区双流棠湖中学2021届高三数学上学期期末考试
试题 理（含解析）
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.已知复数z
满足(
)
1z =（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A 【解析】
【详解】由()
1z
+=,
得
32z -=
===，
所以得在复平面内对应的点的坐标为32⎛ ⎝⎭
是第一象限的点,故选A.
2.圆的方程为2
2
2100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A. (1,1)-
B. 1(,1)2
-
C. (1,2)-
D.
1
(,1)2
-- 【答案】D 【解析】 【分析】
将2
2
2100x y x y +++-=化为圆的标准方程可看出圆心坐标.
【详解】将2
2
2100x y x y +++-=配方,化为圆的标准方程可得
()2
211451110244x y ⎛⎫+++=++= ⎪⎝
⎭, 即可看出圆的圆心为1
(,1)2
--. 故选：D.
【点睛】本题考查了圆的一般式方程化为标准方程的运算,属于基础题.
3.2021年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）
A. 17.5和17
B. 17.5和16
C. 17和16.5
D. 17.5和16.5
【答案】D 【解析】 【分析】
根据茎叶图将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列,再根据中位数和平均数的概念可得答案.
【详解】根据茎叶图的
概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32, 再根据中位数的概念可得中位数为17.5, 根据平均数的概念可得平均数为235131717181921232832
12
+++++++++++16.5=.
故选:D
【点睛】本题考查了茎叶图的概念,中位数和平均数的定义,将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列是答题的关键,属于基础题.
4.某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（ ） A. 44号 B. 294号
C. 1196号
D. 2984号
【答案】B 【解析】 【分析】
使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有300020015÷=人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.
【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又294842101514-==⨯.其他选项均不满足.
故选：B
【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.
5.已知直线
1:220
l x y
+-=，
2:410
l ax y
++=，若
12
l l，则实数a的值为（）
A. 8
B. 2
C.
1
2
- D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两条直线平行的充要条件求解．
【详解】：∵直线l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，
∴21
4
a
=，
解得a=8．
故选A .
【点睛】】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．
6.执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
模拟运行过程，依次计算S，直到退出循环为止.
【详解】由图1n
S S n -=+（），模拟执行程序得程序框图的功能是计算0...1122+3n S n =++--≥-（）时的n 的值，.
模拟程序的运行，可得
S ＝0，n ＝1，
执行循环体，S ＝﹣1，不满足条件S ≥2，n ＝2， 执行循环体，S ＝1，不满足条件S ≥2，n ＝3， 执行循环体， S 2=-，不满足条件S ≥2，n ＝4， 执行循环体，S ＝2，
满足条件S ≥2，退出循环，输出n 的值为4． 故选：D ．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7.设2:log 0p x <，:33x
q ≥，则p 是q ⌝的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C .
充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求命题表示的两个集合，根据集合的包含关系，判断充分必要条件. 【详解】2log 001x x <⇒<<，:01p x ∴<<
331x x ≥⇒≥，:1q x ∴≥ ， :1q x ⌝<
{}{}011x x x x ≠
<<⊂≥，
∴ p 是q ⌝的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查判断命题的充分必要条件，意在考查基本方法和基本计算能力，属于基础
题型，当命题是集合形式时，:p x A ∈，:q x B ∈，若A B ≠
⊂时，p 时q 的充分不必要条件，
同时，q 是p 的必要不充分条件，若A B =，则互为充分必要条件. 8.若函数()2
2f x x ax =-+与()1
a
g x x =
+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围 （ ） A. ()()1,00,1- B. ()(]1,00,1- C. ()0,1 D. (]0,1
【答案】D 【解析】 【详解】对于
，开口向下，对称轴为
若函数在区间[]1,2上都是减函数，则区间[]1,2在对称轴的右侧，所以可得：
；
对于，其相当于将的图象向左平移个单位，
得到如下函数图像：
此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而
在单调递减，故的取值范围是
9.已知两点A （－2，0），B （0，2），点C 是圆x 2
＋y 2
－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是（ ） A. 32 B. 32
C. 3－
2
2
D.
32
2
【答案】A 【解析】
试题分析：圆C 的标准方程为2
2
(1)1x y -+=，圆心为(1,0)D ，半径为1，直线AB 方程为
122x y
+=-，即20x y -+=，D 到直线AB 的距离为1023222
d -+==
，点C 到AB 的距离的最小值为
32
1，22AB =，所以ABC ∆面积最小值为13222(1)322S =
⨯=．故选A ． 考点：点到直线的距离．
10.将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则关于,x y 方程组22
80
40ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩
，有实数解的概率为（ ） A.
2
9
B.
79
C.
736
D.
936
【答案】B 【解析】 【分析】
利用圆心到直线的距离不大于半径可得,a b 的不等式关系，从而得到方程组有解的(),a b 个数，利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】因为方程组22
8040ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩
有解，故直线80ax by +-=与圆22
4x y +=有公共点，
所以
22
82a b ≤+即2216a b +≥，
当1a =时，4,5,6b =，有3种情形； 当2a =时，4,5,6b =，有3种情形； 当3a =时，3,4,5,6b =，有4种情形；
当4,5,6a =时，1,2,3,4,5,6b =，有18种情形；
故方程有解有28种情形，而(),a b 共有36种不同的情形，故所求的概率为287
369
=. 故选：B.
【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.
11.如图，12F F 、分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C
的左、右两 支分别交于点A B 、．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
A. 4 7
C.
23
3
3【答案】B 【解析】
2ABF 为等边三角形，不妨设22AB BF AF m ===
A 为双曲线上一点，12112F A F A F A A
B F B a -=-==
B 为双曲线上一点,212122,4,2BF BF a BF a F F c -===
由21260,120ABF F BF ∠=︒∴∠=︒
在
12F BF 中运用余弦定理得：
2224416224cos120c a a a a =+-⨯⨯⨯︒
227c a = 27e =,7e ∴=
故答案选B
点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角120︒，再利用余弦定理计算出离心率．
12.如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长、宽、高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A.
2563π
B.
823
π
C.
323
π
D. 36π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三棱锥的体积关系可得6mn =,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得2224R m n ++根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.
【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n ,所以112232
n m ⋅⋅⋅⋅=,所以6mn =, 又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线, 设外接球的半径为R ,所以2224R m n =++, 所以2241244R mn ≥
+=+=,当且仅当6m n ==时,等号成立,
所以2R ≥,
所以该三棱锥外接球体积为34
3R π3432233
ππ≥⨯=. 故选:C
【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.已知x 、y 满足约束条件10101x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =-的最小值为________.
【答案】－3 【解析】 【分析】
作出可行域，目标函数过A 点时，取得最小值. 【详解】作出可行域如图表示：
目标函数2z x y =-，化为2y x z =-， 当2y x z =-过点A 时，z -取得最大值， 则z 取得最小值， 由11y x y =+⎧⎨
=-⎩，解得2
1x y =-⎧⎨=-⎩
，即(2,1)A --，
2z x y ∴=-的最小值为3-.
故答案为:3-
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题. 14.斜率为2的直线l 经过抛物线2
8y x =的焦点F,且与抛物线相交于,A B 两点,则线段AB 的长为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】
联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：A B x x p ++，即可求解出过焦点的弦长AB .
【详解】因为焦点()2,0F ，所以():22l y x =-，
联立直线与抛物线可得：2824
y x
y x ⎧=⎨=-⎩，所以2424160x x -+=即2640x x -+=，
所以6A B x x +=，所以6410A B AB x x p =++=+=. 故答案为：10.
【点睛】本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法： (1)直接利用弦长公式：
AB ==
(2)利用焦半径公式简化计算：22
A B A B p p
AB x x x x p =+
++=++. 15.若倾斜角为α的直线l 与曲线3
y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____. 【答案】1
2
- 【解析】 【分析】
根据题意，求出3
y x =的导数，计算可得1|x y ='的值，由导数的几何意义可得tan 3α=，由三
角函数的恒等变形公式可得22
2222sin cos 12tan cos sin 21
cos sin cos tan αααα
ααααα---==++，代入数据计算可
得答案．
【详解】解：根据题意，曲线3
y x =，其导数2
3y x '=，
1|3x y =∴'=，
tan 3α∴=，
则22
2
22222sin cos 12tan 1231
cos sin 22sin cos 1312
cos cos sin cos tan αααααααααααα---⨯-=-====-+++；
故答案为：1
2
-
【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题．
16.若椭圆22221x y a b
+=的焦点在x 轴上，过点()2,1作圆22
4x y +=的切线，切点分别为A ，
B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为 . 【答案】
【解析】 【
分析】 设
，圆2
2
4x y +=的圆心为
，则
是圆22
4x y +=与以
为直径的圆的公共
弦所在直线，以
为直径的圆的方程为
，即
，
两圆方程相减，即得的方程为
，则直线与坐标轴的交点为
，又因为
焦点在x 轴上，则
，
，，所以椭圆方程为
.
【详解】设
，圆2
2
4x y +=的圆心为
，则
是圆2
2
4x y +=与以
为直径的
圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为
，即
，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为
，又因为焦点在x 轴上，则
，
，
，所以椭圆方程为
.
考点：直线圆的位置关系、椭圆的标准方程.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的
.
（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；
（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入x （单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益y （单位：百万元） 2
3
2
7
表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y 关于x 的回归方程.
附公式：1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-.
【答案】（1）2;（2）5;（3） 1.20.2y x =+. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值； （Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．
【详解】（Ⅰ）设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
()0.080.10.140.120.040.020.51m m +++++⋅==，故2m =；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次
是
[)[)[)[)[)[]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，
其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，
故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5． 由题意可知，1234535x ++++=
=，23257
3.85
y ++++==，
5
1122332455769i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2
222221
1234555i
i x
==++++=∑，
根据公式，可求得2
6953 3.812
1.2555310
ˆb
-⨯⨯===-⨯， 3.8 1.230ˆ.2a =-⨯=， 即回归直线的方程为 1.2.2ˆ0y
x =+． 【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．
18.已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =--，()x R ∈ （1）当[0,]2
x π
∈时，求函数()f x 的最小值和最大值； （2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且3c =
，()0f C =，若向量
(1,sin )m A =与向量(2,sin )n B =共线，求,a b 的值.
【答案】（1）最大值为3-，最小值为0；（2）1,2a b == 【解析】
试题分析：（1）利用二倍角公式及化一公式，化简()f x 的表达式，再结合正弦函数的图象，在给定区域上求最值；（2）由()0f C =，解得C 角，利用共线条件及正弦定理得到b=2a ，再利用余弦定理解得,a b 的值. 试题解析： （1）
当 ，即时，有最小值为
当
，即
时，
有最大值为
(2)
与向量
共线
由正弦定理
得
①
，由余弦定理可得
②
①②联立可得
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：（1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.（3）求结果.
19.如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =。

将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到1A 的位置（如图2所示），且1A F CD ⊥。

（1）证明：//BE 平面1A FG ；
（2）求平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值 【答案】（1）证明见解析
（2【解析】 【分析】
（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取BC 的中点M ，连接DM ，根据条件证明
//,//DM BE DM FG ，即//BE FG ；
（2）以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点M ，连接DM . ∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点. 又F 为CD 的中点，∴//FG DM .
依题意可知//DE BM ，则四边形DMBE 为平行四边形， ∴//BE DM ，从而//BE FG .
又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ， ∴//BE 平面1A FG . （2）
1,DE AD DE DC ⊥⊥，且1A D
DC D =，
DE ∴⊥平面ADC ，1A F ⊂平面ADC ， 1DE A F ∴⊥，
1A F DC ⊥，且DE DC D ⋂=， 1A F ∴⊥平面BCDE ，
∴以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，
建立空间直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =，
则()0,0,0F ，()
10,0,3A ，()1,4,0
B ，()1,2,0E -，()1,1,0G ，
()10,0,3FA =，()1,1,0FG =，()
11,2,3A E =--，()2,2,0EB =.
设平面1A FG 的法向量为()1111,,n x y z =，
则100n FA n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111
30
0z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，
令11x =，得()1,1,0n =-.
设平面1A BE 的法向量为()222,,m x y z =，
则100m A E m EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222
2230
220x y z x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩，
令21x =，得()
1,1,3m =--. 从而10
cos ,525
m n <>=
=⨯， 故平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值为
10
5
.
【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.
20.已知动圆M 在圆1F ：2
2
1
(1)4
x y ++=
外部且与圆1F 相切，同时还在圆2F ：
2249
(1)4
x y -+=
内部与圆2F 相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；
（2）记（1）中求出的轨迹为C ，C 与x 轴的两个交点分别为1A 、2A ，P 是C 上异于1A 、2A
的动点，又直线:l x =
x 轴交于点D ，直线1A P 、2A P 分别交直线l 于E 、F 两点，
求证：DE DF ⋅为定值．
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）由直线与圆相切，则12124
MF MF F F +=＞，则M 点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，即可求得椭圆方程；
（2）方法一：设00)(P x y ，，分别求得直线1PA 的方程，直线2PA 的方程，分别求得点E 和
F 的坐标，则
))
200
20002222
2
4
y y
y DE DF x x x ⋅=⨯=⨯+--，即可求得
33
242
DE DF ⋅=-⨯=为定值；
方法二：设直线1PA 的斜率为1k ，直线2PA 的斜率为2k ，联立直线1PA 的方程与直线2PA 的方程，求出点P 坐标，将点P 坐标代入椭圆方程，即可求得123
4
k k =-
，1233
2242
DE DF k k ⋅==⨯-
=为定值． 【详解】（1）设动圆M 的半径为r ，由已知得112MF r =
+，27
2
MF r =-，12124MF MF F F +=＞，
∴M 点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，
设椭圆方程：22
221x y a b
+=（0a b ＞＞）
，则2a =，1c =，则2223b a c =-=，
方程为：22
143
x y +=；
（2）解法一：设00)(P x y ， ，由已知得1(2,0)A -，220A （，
） ，则1002PA y k x =+，20
02
PA y k x =-，
直线1PA 的方程为：()10
022
PA y l y x x =
++：， 直线2PA 的方程为：()20
022
PA y l y x x =
--：，
当x =
D
，
))
002222y y E F x x ⎫⎫
⎪⎪+-⎭⎭
，
，，，
∴
))
20
20002222
2
4
y y
y DE DF x x x ⋅=
⨯=⨯+--，
又
00)(P x y ，满足2200
143
x y +=，
∴2
020344
y x =--， ∴33
242
DE DF ⋅=-⨯=为定值．
解法二：由已知得1(2,0)A -，220A （，
），设直线1PA 的斜率为1k ，直线2PA 的斜率为2k ，由已知得，1k ，2k 存在且不为零，
∴直线1PA 的方程为：1(2)y k x +＝，
直线2PA 的方程为：2(2)y
k x -＝，
当x =
D ，))))
1
2
22E
k F
k ，
，
∴))
1
2
12222DE DF k k k k ⋅=⨯=,
联立直线1PA 和直线2PA 的方程，可得P 点坐标为()121221
2124k k k k k k k k ⎛⎫
+ ⎪--⎝⎭，，
将P 点坐标代入椭圆方程2
2
3412x y +=中,得()
()
()
2
22
1212
2
2
21214163412k k k k k k k k +⨯
+⨯
=--，
即2222
12122112()6412()k k k k k k ++=-，
整理得121234()0k k k k =+ ，
120k k ≠，∴123
4k k =-，
∴1233
2242
DE DF k k ⋅==⨯-
=为定值． 【点睛】本题考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，解题时应注意分类讨论的数学思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理解题，属于高考常考题型. 21.已知函数()b
f x ax x
=+在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-． （1）求a ，b 的值；
（2）设函数2
()()(1)ln g x mf x m x =-+（m R ∈），求()g x 在(1,)+∞上的单调区间；
（3）证明：11111ln(21)3521221
n n n n +
++⋯+>++-+（*n N ∈）． 【答案】（1）1,1a b ==-；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 试题分析：
（1）利用导数的几何意义求解；（2）根据导函数的符号判断函数的单调性；（3）在（2）的基础上当1m =时可得不等式12ln x x x -
>，取21
21n x n +=-，可得2121212ln 212121
n n n n n n +-+->-+-，变形后可得
1121111
ln ()2122122121
n n n n n +>+----+，然后把所得式子两边分别相加可得不等式成立． 试题解析： （1）∵()b f x ax x
=+， ∴ ()2
b f x a x -
'=，
依题意得()()12
10f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=+='⎪⎩
解得11
a b =⎧⎨
=-⎩
∴1,1a b ==-．
（2）由（1）知()()
2
11ln ,(0)g x m x m x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝
⎭，
∴()()()'2
1 mx x m g x x --=
故函数()g x 在()1,+∞的单调性为： 当0m ≤时，()g x 的递减区间为()1,+∞； 当01m <<时，()g x 的递减区间为11,
m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,m ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；
当()()11
m g x =+∞时，的递增区间为，； 当()()()11
,,m g x m m >+∞时，的递减区间为，递增区间为 （3）由（2）知1m =时，()()1g x +∞在，为增函数，
∴ ()()10g x g >=，
即 1
2ln (1)x x x x ->>， 令21
,*21
n x n N n +=
∈-， 得
212121
2ln 212121
n n n n n n +-+->-+-， 即2221
1(1)2ln 212121n n n n ++
-->-+-, 所以
1121111
ln ()2122122121
n n n n n +>+----+， 上式中n=1，2，3，…，n ， 然后n 个不等式相加得
()11111ln 213521221
n n n n +++⋯+>++-+（*n N ∈）． 故不等式成立．
点睛：对于在函数中的数列不等式的证明，一般要用到前面所得到的函数的性质，构造合适的函数，再通过取特殊值的方法进行证明，在证明中还可能用到数列求和的常见方法，对于这种综合题的解法，要在平时要多观察、多尝试，做好相应的训练．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1,1.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在以原点O 为极轴，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=.
（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）若点P 坐标为()1,1，圆C 与直线l 交于,A B 两点,求PA PB +的值.
【答案】(1)直线l 的普通方程为：20x y +-=，圆C 的直角坐标方程为：()2224x y -+=(2)4.
【解析】
试题分析：
(1)结合所给的方程可得：直线l 的普通方程为：20x y +-=，圆C 的直角坐标方程为：()2224x y -+=；
(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义可得：PA PB +的值是4.
试题解析：
（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程为：20x y +-=，
极坐标方程即：24cos ρρθ=，则直角坐标方程为：224x y x +=，
据此可得圆C 的直角坐标方程为：()2
224x y -+=
（2
）将1,21.2
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2224x y -+=
得：220t +-=
得12120,20t t t t +=-<⋅=-<，则
124PA PB t t +=-=
= 23.已知1x y z ++=
（1）证明： 22213
x y z ++≥； （2）设,,x y z 为正数，求证： 1111118x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）把条件平方，利用作差法证明不等式；（2）利用分析法，要证不等式转化为()()()y 8y z x z x xyz +++=，结合均值不等式，不难证明上述不等式成立.
试题解析：(1）
1x y z ++=，2()1x y z ∴++=， 则222222211()()33
x y z x y z x y z ++-=++-++ 2222221()(222)3
x y z x y z xy xz yz =++-+++++ 2221(222222)3
x y z xy xz yz =++--- 2221[()()()]03
x y y z x z =-+-+-≥，当且仅当x y z ==时取等号， 22213
x y z ∴++≥ (2)要证111(1)(1)(1)8x y z ---≥，需证(1)(1)(1)8x y z x y z x y z x y z
++++++---≥，即证：8y z x z x y x y z
+++⋅⋅≥，需证()()()8y z x z x z xyz +++≥，,,x y z
为正数，由基本不等
式，可得y z x z x y +≥+≥+≥x y z ==时取等号，将以上
三个同向不等式相乘得()()()8y z x z x z xyz +++≥，所以原不等式111(1)(1)(1)8x y z
---≥成立.。