河南省安阳三十六中2018学年高二上学期第一次月考数学

2018-2018学年河南省安阳三十六中高二（上）第一次月考数学
试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在△ABC 中，A=45°，B=60°，a=，则b=（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．2
2．已知{a n }是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=（ ） A ．36 B ．30 C ．24 D ．18
3．设等比数列{a n }中，前n 项之和为S n ，已知S 3=8，S 6=7，则a 7+a 8+a 9=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若a=2ccosB ，则△ABC 的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
5．在2和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（ ） A ．±64
B ．64
C ．±16
D ．16
6．已知{a n }为等比数列，若a 4+a 6=10，则a 1a 7+2a 3a 7+a 3a 9的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．60 D ．100
7．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积为，则BC 的长为（ ）
A
．
B ．
C ．2
D ．2
8．等比数列{a n }的前n 项和S n =3n +1﹣a ，则a 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．数列{a n }中，a 3=2，a 7=1，若为等差数列，则a 11=（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．2
10．等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则的值为（）A．10 B．11 C．12 D．14
=a n+2n（n≥1）确定，则a100的值为（）11．若数列{a n}由a1=2，a n
+1
A．9900 B．9918 C．9918 D．9918
12．设{a n}为等比数列，{b n}为等差数列，且b1=0，c n=a n+b n，若数列{c n}是1，1，2，…，则{c n}的前10项和为（）
A．979 B．557 C．467 D．978
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．与，两数的等比中项是．
14．在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于．
15．已知两个等差数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为S n，S'n，若，则=．
16．已知数列{a n}满足a1=1，且（n≥2，n∈N*），则a n=．
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在等差数列{a n}中，a4+a5+a6+a7=56，a4•a7=187，求a1和d．
18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知sinC=，a=2，2sinA=sinC，求b及c的长．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20．（1）在数列{a n}中，S n是其前n项和，已知S n=2n2﹣3n+2；求通项a n．（2）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+3，n∈N*，求通项a n．
21．已知递增等差数列{a n}满足a1•a4=7，a2+a3=8．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和为S n．
=（c为常数，n∈N*）且a5=a22，22．在数列{a n}中，a1=1，a n
+1
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求c的值；
（3）若a1，a2，a5彼此不相等，数列{a n•b n}是首项为1，公比为的等比数列，求：数列{b n}的前n项和为S n．
2018-2018学年河南省安阳三十六中高二（上）第一次月
考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在△ABC中，A=45°，B=60°，a=，则b=（）
A．B．2 C．D．2
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵，A=45°，B=60°，a=，
∴由正弦定理可得：b===．
故选：C．
2．已知{a n}是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（）
A．36 B．30 C．24 D．18
【考点】等差数列的性质．
【分析】由条件利用等差数列的性质求得a10=10，再根据a9+a10+a11 =3a10求得结果．
【解答】解：由条件利用等差数列的性质可得a7+a13=20=2a10，∴a10=10，
∴a9+a10+a11 =3a10=30，
故选B．
3．设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）
A．B．C．D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．
【解答】解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，
a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，
所以q3=，
则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=．
故选B．
4．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC 的形状为（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（B﹣C）=0，确定出B=C，即可得出三角形形状．
【解答】解：已知等式a=2ccosB，利用正弦定理化简得：sinA=2sinCcosB，
将sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入得：sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，
∴B﹣C=0，即B=C，
则△ABC为等腰三角形．
故选：B．
5．在2和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（）
A．±64 B．64 C．±16 D．16
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设这个等比数列为{a n}，根据等比中项的性质可知a2•a4=a1•a5=a23进而
求得a3，进而根据a2a3a4=a33，得到答案．
【解答】解：设这个等比数列为{a n}，依题意可知a1=2，a5=8，则插入的3个数依次为a2，a3，a4，
∴a2•a4=a1•a5=a23=16，
∴a3=4．
∴a2a3a4=a33=64．
故选：B．
6．已知{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．60 D．100
【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．
【分析】题目给出了等比数列，运用等比中项的概念，把要求的和式转化为a4+a6，则答案可求．
【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，由等比中项的概念有，，a3a7=a4a6，
所以a1a7+2a3a7+a3a9=．
故选D．
7．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）
A
．B．C．2 D．2
【考点】余弦定理．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC 的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．
【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，
∴AB•AC•sinA=，即×2×AC×=，
解得：AC=1，
由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=1+4﹣2=3，
则BC=．
故选：B．
8．等比数列{a n}的前n项和S n=3n+1﹣a，则a等于（）
A．B．C．D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】分别求出数列的前三项，利用等比数列的性质能求出结果．
【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3n+1﹣a，
∴，
a2=S2﹣S1=（）﹣（）=9，
a3=S3﹣S2=（）﹣（）=27，
∵，
∴92=（）×27，
解得a=．
故选：A．
9．数列{a n}中，a3=2，a7=1，若为等差数列，则a11=（）
A．0 B．C．D．2
【考点】等差数列．
【分析】设数列的公差为d，根据等差数列的性质，求
出d，在根据等差数列的性质，即可求出a11
【解答】解：设数列的公差为d
∵数列{a n}中，是等差数列
∴
将a3=2，a7=1代入得：d=
∵
∴a11=
故选B．
10．等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则的值为（）A．10 B．11 C．12 D．14
【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．
【分析】根据所给的连续五项之和，根据等差数列的性质看出第八项之和，把要求的结果写成首项与公差之和的形式，合并同类项，得到要求第八项的一半．【解答】解：∵等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，
∴5a8=120
∴a8=24
==（a1+7d）==12
故选C．
11．若数列{a n}由a1=2，a n
=a n+2n（n≥1）确定，则a100的值为（）
+1
A．9900 B．9918 C．9918 D．9918
【考点】数列递推式．
【分析】由题意可得a n
﹣a n=2n，从而考虑利用叠加法求解数列的通项，然后把
+1
n=100代入即可求解．
﹣a n=2n
【解答】解：由题意可得，得a n
+1
所以a2﹣a1=2
a3﹣a2=4
…
=2（n﹣1）
a n﹣a n
﹣1
把以上n﹣1个式子相加可得，a n﹣a1=2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1）
所以，a n=n（n﹣1）+2
则a100=9918
故选：B
12．设{a n}为等比数列，{b n}为等差数列，且b1=0，c n=a n+b n，若数列{c n}是1，1，2，…，则{c n}的前10项和为（）
A．979 B．557 C．467 D．978
【考点】数列的求和．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：由题意可得a1=1，设公比为q，公差为d，则，
∴q2﹣2q=0，∵q≠0，∴q=2，
∴a n=2n﹣1，b n=（n﹣1）（﹣1）=1﹣n，
∴c n=2n﹣1+1﹣n，
∴S10=+10﹣=978．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．与，两数的等比中项是±1．
【考点】等比数列的性质．
【分析】要求两数的等比中项，我们根据等比中项的定义，代入运算即可求得答案．
【解答】解：设A为与两数的等比中项
则A2=（）•（）
=1
故A=±1
故答案为：±1
14．在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于60°．
【考点】余弦定理．
【分析】首先对（a+b+c）•（b+c﹣a）=3bc化简整理得b2+c2﹣a2=bc，将其代入余弦定理中即可求得cosA，由A的范围可得答案．
【解答】解：根据题意，∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，
（a+b+c）•（b+c﹣a）=（b+c）2﹣a2=b2+c2+2bc﹣a2=3bc，
∴b2+c2﹣a2=bc，
则cosA==，
又由0°＜A＜180°，
则A=60°；
故答案为：60°．
15．已知两个等差数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为S n，S'n，若，
则=．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式与性质即可得出．
【解答】解：由等差数列的性质可得：====．
故答案为：．
16．已知数列{a n}满足a1=1，且（n≥2，n∈N*），则a n=（2n ﹣1）•2n﹣1．
【考点】数列递推式．
【分析】a n=2a n﹣1+2n，两边同时除以2n，得，从而数列{}是以
为首项，以1为公差的等差数列，由此能求出an．
【解答】解：∵a n=2a n﹣1+2n，两边同时除以2n，得，
∴=1，又=，
∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，
∴n﹣1=n﹣，
∴a n=（n﹣）•2n，即．
故答案为：（2n﹣1）•2n﹣1．
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在等差数列{a n}中，a4+a5+a6+a7=56，a4•a7=187，求a1和d．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a5+a6+a7=56，a4•a7=187，
∴4a1+18d=56，（a1+3d）（a1+6d）=187，
解得或
18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知sinC=，a=2，2sinA=sinC，求b及c的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可求c==4．利用大边对大角可求A为锐角，进而可求sinA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用余弦定理即可求得b 的值．
【解答】解：∵a=2，2sinA=sinC，
∴由正弦定理=得，c==4．
∵c＞a，
∴C＞A，
∴A为锐角，而sinA==，
∴cosA=．
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：4=b2+16﹣2×4×b×，
∴b2﹣3b+12=0．
∴解得b=或b=2．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【考点】解三角形．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC
∴cosC=，
又0＜C＜π，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
20．（1）在数列{a n}中，S n是其前n项和，已知S n=2n2﹣3n+2；求通项a n．（2）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+3，n∈N*，求通项a n．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）由已知数列的前n项和求出首项，再由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求出a n，已知首项后得答案；
（2）由已知数列递推式构造等比数列{a n+3}，求其通项公式，进一步得到通项a n．
【解答】解：（1）由S n=2n2﹣3n+2，得a1=1．
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣3n+2﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣1）+2]=4n﹣5．
验证n=1时上式不成立．
∴；
（2）由a n
+1=2a n+3，得（a n
+1
+3）=2（a n+3），
又a1+3=4≠0，
∴，则数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，
则，
∴a n=2n+1﹣3．
21．已知递增等差数列{a n}满足a1•a4=7，a2+a3=8．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和为S n．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）将已知条件转化为用等差数列的首项和公比表示，通过解方程组可求得基本量，从而求得通项公式；
（2）将数列{a n}的通项公式代入得=（﹣
），采用“裂项相消法”即可求得数列{b n}的前n项和为S n．
【解答】解：（1）由已知由等差数列性质可知：a2+a3=a1+a4，
∴，
解得：a1=1，a4=7
∴d==2，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；
（2）由，可知=（﹣），
∴，
．
=（c为常数，n∈N*）且a5=a22，22．在数列{a n}中，a1=1，a n
+1
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求c的值；
（3）若a1，a2，a5彼此不相等，数列{a n•b n}是首项为1，公比为的等比数列，求：数列{b n}的前n项和为S n．
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
=，得=c+，取倒数可得﹣=c，【分析】（1）a n≠0，由a n
+1
即可证明．
（2）=1+c（n﹣1），a5=a22，可得1+4c=（1+c）2，解得c．
（3）c=2，=1+2（n﹣1），解得a n=．a n b n=，得b n=（2n﹣1）•．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
=，得=c+，∴﹣=c，【解答】（1）证明：a n≠0，由a n
+1
∴{}是等差数列．
（2）解：∵=1+c（n﹣1），
∴=1+4c，=1+c，a5=a22，
∴1+4c=（1+c）2，解得c=0或c=2．
（3）c=2，=1+2（n﹣1）=2n﹣1，解得a n=．
已知a n b n=，得b n=（2n﹣1）•．
∴S n=1+3×+5×+…+（2n﹣1）•．
=+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•．
两式相减得：=1+2﹣=3﹣（2n+3）×，
S n=6﹣（2n+3）×．
2018年2月7日。