2015年河北省保定市高一下学期期末数学试卷与解析答案(文科)

2014-2015学年河北省保定市高一（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（5分）若等差数列{a n}中，a2+a8=10，则a3+a7=（）
A．11 B．10 C．8 D．5
2．（5分）不等式x2（x﹣1）＞0的解集是（）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
3．（5分）直线3x﹣+1=0的倾斜角为（）
A．120°B．90°C．60°D．30°
4．（5分）若不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+b=（）A．6 B．4 C．2 D．0
5．（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5
6．（5分）a，b表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的是（）
A．⇒a⊥αB．⇒a∥αC．⇒a⊥αD．⇒b⊂α7．（5分）对于任意实数a，b，c，d，给定下列命题正确的是（）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则
8．（5分）设x，y满足的约束条件是，则z=x+2y的最大值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则异面直线AB1与BC1所成的角是（）
A．30°B．60°C．45°D．90°
10．（5分）已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么（）
A．{a n+b n}，{a n•b n}都一定是等比数列
B．{a n+b n}一定是等比数列，但{a n•b n}不一定是等比数列
C．{a n+b n}不一定是等比数列，但}{a n•b n}一定是等比数列
D．{a n+b n}，{a n•b n}都不一定是等比数列
11．（5分）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积为（）
A．B．1 C．D．3
12．（5分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（）
A．（] B．（1，3]C．（2，3]D．[3，5]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的横线上）
13．（5分）已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0互相平行，则m=．14．（5分）若0＜x＜1，则，，x，x2的大小关系是．
15．（5分）半径为1的球的内接正方体的表面积是．
16．（5分）从2012年到2015年期间，甲每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为定期储蓄，到2015年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是万元．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推算步骤）
17．（10分）解不等式组．
18．（12分）已知Rt△ABC的周长为12，其三边长a，b，c（a＜b＜c）依次成等差数列，绕其最短边旋转一周形成一个几何体．
（1）求a，b，c．
（2）求该几何体的表面积．
19．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0，
（1）求直线AC的方程；
（2）求点B的坐标（x0，y0）；
（3）求△ABC的面积．
20．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求证：PB∥平面EAC；
（3）求三棱锥E﹣ACD的体积．
21．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=8，其前10项的和S10=185，
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若从数列{a n}中依次取第3项，第9项，第27项…第3n项…并按原来的顺序组成一个新的数列{b n}，求数列{b n}的前n项和T n．
22．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，求a的最小值．
2014-2015学年河北省保定市高一（下）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（5分）若等差数列{a n}中，a2+a8=10，则a3+a7=（）
A．11 B．10 C．8 D．5
【解答】解：由等差数列的性质可得a3+a7=a2+a8，
∵等差数列{a n}中，a2+a8=10，
∴a3+a7=10
故选：B．
2．（5分）不等式x2（x﹣1）＞0的解集是（）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
【解答】解：不等式x2（x﹣1）＞0，等价于，求得x＞1，
故选：A．
3．（5分）直线3x﹣+1=0的倾斜角为（）
A．120°B．90°C．60°D．30°
【解答】解：化直线的方程为斜截式可得y=x+，
∴直线的斜率为k=，设直线的倾斜角为α，
则tanα=，∴α=60°
故选：C．
4．（5分）若不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+b=（）A．6 B．4 C．2 D．0
【解答】解：由题意不等式ax2+bx﹣1＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，故﹣1，2是
方程ax2+bx﹣1=0的两个根，
∴﹣1+2=﹣，﹣1×2=﹣
∴a=，b=
∴a+b=0
故选：D．
5．（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5
【解答】解：线段AB的中点为，k AB==﹣，
∴垂直平分线的斜率k==2，
∴线段AB的垂直平分线的方程是y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0，
故选：B．
6．（5分）a，b表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的是（）
A．⇒a⊥αB．⇒a∥αC．⇒a⊥αD．⇒b⊂α【解答】解：对于A：a∥b，b⊥α，推出a⊥α，故A正确；
对于B：a∥b，b⊂α⇒a∥α，或a⊂α，故B错误；
对于C：a⊥b，b∥α⇒a⊥α，a也可能与α不垂直，故C错误；
对于D：a⊥α，a⊥b⇒b∥α或b⊂α，故D错误；
故选：A．
7．（5分）对于任意实数a，b，c，d，给定下列命题正确的是（）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则
【解答】解：A、当c＜0时，不成立；
B、当c=0时，不成立
C、∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0
∴一定有a＞b．故C成立；
D、当a＞0．b＜0时，不成立；
故选：C．
8．（5分）设x，y满足的约束条件是，则z=x+2y的最大值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
如图，当直线z=x+2y过点C（2，2）时，
即当x=y=2时，z max=6．
故选：C．
9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则异面直线AB1与BC1所成的角是（）
A．30°B．60°C．45°D．90°
【解答】解：连接AD1，B1D1，BC1∥AD1
∴∠D1AB1为异面直线AB1与BC1所成的角
而三角形D1AB1为等边三角形
∴∠D1AB1=60°
故选：B．
10．（5分）已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么（）
A．{a n+b n}，{a n•b n}都一定是等比数列
B．{a n+b n}一定是等比数列，但{a n•b n}不一定是等比数列
C．{a n+b n}不一定是等比数列，但}{a n•b n}一定是等比数列
D．{a n+b n}，{a n•b n}都不一定是等比数列
【解答】解：当两个数列都是等比数列时，
这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是两者互为相反数的数列，题目的和就不是等比数列，
两个等比数列的积一定是等比数列，
故选：C．
11．（5分）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积为（）
A．B．1 C．D．3
【解答】解：由几何体的三视图知，该几何体是放到的三棱柱，
且底面是直角角三角形，两条直角边为1、，三棱柱的高是，
所以三棱柱的体积v=Sh==，
故选：A．
12．（5分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（）
A．（] B．（1，3]C．（2，3]D．[3，5]
【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=，
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴+c=2b，化简可得（b+c）2﹣1=3bc．
∵bc≤，
∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．
故a+b+c≤3．
再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a=1，故有a+b+c＞2，
故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的横线上）
13．（5分）已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0互相平行，则m=4．
【解答】解：∵直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0互相平行，∴=≠，∴m=4，故答案为：4．
14．（5分）若0＜x＜1，则，，x，x2的大小关系是x2＜x＜＜．
【解答】解：设y1==x，y2==x﹣1，y3=x，y4=x2，
∵0＜x＜1，
∴函数y=a x，在定义域内单调递减，
∵2＞1＞＞﹣1，
∴x2＜x＜＜．
故答案是：x2＜x＜＜．
15．（5分）半径为1的球的内接正方体的表面积是8．
【解答】解：设球的内接正方体的棱长为a，则
由题意球的直径为内接正方体的对角线，
∴2=a，
∴a=，
∴内接正方体的表面积为6a2=8，
故答案为：8．
16．（5分）从2012年到2015年期间，甲每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为定期储蓄，到2015年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取
回，则取回的金额是万元．
【解答】解：根据题意得出：2012年6月1日存入1万元，
2013年月1日新存入1万元+（1+q）万元，
2014年月1日新存入1万元+（1+q）+（1+q）2万元，
2015年月1日银行的款项为（1+q）+（1+q）2+（1+q）3万元，
所以取回的金额（1+q）+（1+q）2+（1+q）3==，故答案为：
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推算步骤）
17．（10分）解不等式组．
【解答】解：由＜0得（x﹣2）（x+3）＜0，∴x∈（﹣3，2），
由x2+2x﹣3≥0得（x+3）（x﹣1）≥0，∴x∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），
所以不等式组的解集是[1，2）．
18．（12分）已知Rt△ABC的周长为12，其三边长a，b，c（a＜b＜c）依次成等差数列，绕其最短边旋转一周形成一个几何体．
（1）求a，b，c．
（2）求该几何体的表面积．
【解答】解：（1）由题意得a+b+c=12，2b=a+c，
∴b=4，又a2+b2=c2，
∴该三角形的三边长分别为a=3，b=4，c=5；
（2）绕其最短边旋转一周得到的几何体为底面半径为4，母线长为5的圆锥，∴其表面积为S=π×42+π×4×5=36π
19．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0，
（1）求直线AC的方程；
（2）求点B的坐标（x0，y0）；
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）由题意知AC⊥BH，k AC=﹣2，
∴直线AC的方程为y﹣1=﹣2（x﹣5）
化为一般式可得2x+y﹣11=0；
（2）∵点B与点A的中点在直线CM上，
∴2•﹣﹣5=0，
又∵点B在直线BH上，
∴x0﹣2y0﹣5=0，
联立解得x0=﹣1，y0=﹣3，即B（﹣1，﹣3）
（3）将y=﹣2x+11代入2x﹣y﹣5=0得点C的坐标为（4，3），
∴|AC|=，|BH|==，
∴△ABC的面积为|AC||BH|=8
20．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求证：PB∥平面EAC；
（3）求三棱锥E﹣ACD的体积．
【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD．…（2分）
又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD．
又∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD…（4分）
（2）连结BD交AC于O，连结OE
因为E、O分别是PD、BD的中点
所以PB∥EO
所以PB∥平面EAC…（7分）
解：（3）因为AB=2，BC=4，且底面是矩形
所以△ACD的面积为4，…（9分）
因为E是PD的中点，所以点E到平面ACD的高为1
=．…（12分）
所以V E
﹣ACD
21．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=8，其前10项的和S10=185，
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若从数列{a n}中依次取第3项，第9项，第27项…第3n项…并按原来的顺序组成一个新的数列{b n}，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
则，
解得，
∴a n=a1+（n﹣1）d=3n+2；
（2）∵a n=3n+2，
∴b n==3n+1+2，
∴T n=32+33+…+3n+1+2n
=+2n
=3n+2+2n﹣．
22．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，求a的最小值．
【解答】解：（1）由cosA=及正弦定理得，
2（sinCcosA+cosCsinA）=sinB+2sinAsinB，
2sin（C+A）=sinB+2sinAsinB，
由A+B+C=π，则sin（C+A）=sinB，
则sinB=2sinAsinB
在△ABC中sinB≠0，
∴sinA=，又0＜A＜π，
∴A=或；
（2）△ABC面积为，
所以S=bcsinA=bc=，即bc=2，
由余弦定理得
a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣4cosA≥2bc﹣4cosA=4﹣4cosA（当且仅当b=c取得等号）
①若A=则a2=（﹣1）2（当且仅当b=c=取得等号）
②若A=则a2≥4﹣4cosA=4+2=（+1）2（当且仅当b=c=时取得等号）所以，若A=，则a的最小值为﹣1；
A=，则a的最小值为+1．
赠送初中数学几何模型
【模型三】
双垂型：图形特征：
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.
P
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

C
D
B。