直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解

一.直角坐标系

1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。

2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。

3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。

事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应.

二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换

在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为

图形F 的平移。若以向量a

表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a

平移．

在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =

，平移后的对应点为),(y x P '''.

则有：),(),(),(y x k h y x ''=+

即有：⎩⎨

⎧'

=+'=+y k y x h x .

因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由⎩⎨⎧'

=+'=+y k y x h x 所确定的变换

是一个平移变换。

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。

例1.①.已知点)3,4(-P 按向量)5,1(=a

平移至点Q ，求点Q 的坐标；

②.求直线01223:=+-y x l 按向量)3,2(-=a

平移后的方程。

一般地我们有如下关于平移变换的结论：

①.将点),(y x P 按向量),(00y x a =

平移， 所得点P '的坐标为：),(00y y x x P ++'.

②.将曲线0),(:=y x f C 按向量),(00y x a =

平移， 所得曲线C '的方程为0),(:00=--'y y x x f C .

注：点)3,4(-P 按向量)5,1(=a

平移，

得点)53,14(++-'P ，即：)8,3(-'P ；

直线01223:=+-y x l 按向量)3,2(-=a

平移，

得直线012)3(2)2(3:=++--'y x l ，即：023:=-'y x l .

2.有关曲线平移的一般性结论

①.直线0:=+by ax l ，按向量),(00y x a =

平移后得

直线0)()(:00=-+-'y y b x x a l . → 过点),(00y x .

②.曲线2

22:r y x C =+，按向量),(00y x a = 平移后得 曲线2

2

02

0)()(:r y y x x C =-+-' → 中心为),(00y x .

③.曲线1:2222

=+b

y a x C ，按向量),(00y x a = 平移后得

曲线1)()(:2

2

220=-+-'b

y y a x x C → 中心为),(00y x .

④.曲线1:22

22

=-b

y a x C ，按向量),(00y x a = 平移后得

曲线1)()(:2

020=---'y y x x C → 中心为),(y x .

⑤.曲线px y C 2:2

=，按向量),(00y x a =

平移后得

曲线)(2)(:02

0x x p y y C -=-' → 顶点为),(00y x .

例2.说明方程0111816942

2=-+-+y x y x 表示什么曲线，求这个曲线的顶点、中心、焦点、渐近线和离心率.

三.平面直角坐标系中的伸缩变换 1. 伸缩变换

例3.我们已经知道，方程x y 2sin =所表示的曲线可以看作由方程

x y sin =所表示的曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2

1得

到的曲线；同理，将方程x y 2s i n =所表示的曲线上所有点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的2倍，也可以得到方程x y sin =所表示的曲线. 这也就是说，方程x y 2sin =所表示的曲线可以通过伸缩变换得到方程x y sin =所表示的曲线．

实际上，设y y x x '='=,2，则x y 2sin = 可以化为 x y '='sin .

由⎩⎨

⎧'

='=y y x x 2 ，所确定的变换，是曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，也可以称为曲线按伸缩系数为2向着y 轴的伸缩变换(这里),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点)．

一般地，由⎩

⎨⎧'='=y y x x λ ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为λ向着y 轴的伸缩变换(当λ>1时，表示伸长；当λ<1时，表示压缩)，即曲线上所

有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的λ倍(这里),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).

同理，由⎩

⎨⎧'='=y y x x μ ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为μ向着x 轴的伸缩变换(当μ>1时，表示伸长；当μ<1时，表示压缩)，即曲线上所

有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的μ倍(这里),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).

由⎩⎨

⎧'

='=y y x x λμ ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数λ向着x 轴和按伸缩系数μ向着y 轴的伸缩变换(当1>λ时，表示伸长，1<λ时，表示压缩；当1>μ时，表示伸长，当μ<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标和纵坐标分别变为原来的λ倍和μ倍(这里),(y x P 是变换前的点，)

,(y x P '''是变换后的点).

在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在．那么缩变换有什么特征呢?

我们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的变化．

例4.对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数是4

1=k . ①.0632=-+y x ；

②.162

2

=+y x .

(设),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).

注：①.直线0632=-+y x 经过伸缩变换后的方程为036=-+y x ， 它仍然表示一条直线；

②.圆162

2

=+y x 经过伸缩变换后的方程为12

2=+y x ，它变为椭圆.