高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积素材1 新人教B版必修4

3.3三角函数的积化和差与和差化积
知识梳理
1.积化和差公式 sinαcosβ=
2
1［sin(α+β)+sin(α-β)］; cosαsinβ=2
1［sin(α+β)-sin(α-β)］; cosαcosβ=2
1［cos(α+β)+cos(α-β)］; sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］. 特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角.
2.和差化积公式 sinx+siny=2sin
2y x +cos 2
y x -; sinx-siny=2cos 2y x +sin 2
y x -; cosx+cosy=2cos 2y x +cos 2
y x -; cosx-cosy=-2sin 2y x +sin 2y x -. 3.常用到的三角恒等变换 f(x)=asinx+bcosx=22b a +sin(x+θ)(ab≠0)，其中tanθ=a
b ,由a 和b 的符号确定θ所在的象限.
知识导学
复习两角和与差的正弦、余弦公式.本节重点是公式的推导与应用，难点是公式的灵活应用.和差化积公式和积化和差公式不要求记忆.
疑难突破
1.如何推导出三角函数的和差化积公式与积化和差公式？
剖析:难点是面对两角和与差的正弦或余弦公式，不知道从何处入手.其突破口是：利用方程的思想推导积化和差公式，利用“换元”思想推导和差化积公式.
(1)积化和差公式的推导
∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，②
∴①+②，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，
即sinαcosβ=2
1［sin(α+β)+sin(α-β)］. ①-②得sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ， 即cosαsinβ=
21［s in(α+β)-sin(α-β)］. ∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，③
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，④
∴③+④得cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ.
即cosαcosβ=2
1［cos(α+β)+cos(α-β)］. ③-④得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ， 即sinαsinβ=-
21［cos(α+β)-cos(α-β)］. (2)和差化积公式的推导
令α+β=θ，α-β=φ，则α=
2ϕθ+，β=2ϕθ-， 代入sinαcosβ=2
1［sin(α+β)+sin(α-β)］, 得sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-=21［sin(2ϕθ++2ϕθ-)+sin(2ϕθ+-2
ϕθ-)］， ∴sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-=2
1(sin θ+sin φ). 整理得sin θ+sin φ=2sin 2ϕθ+cos 2
ϕθ-. 同理可得sin θ-sin φ=2cos 2ϕθ+sin 2
ϕθ-； cos θ+cos φ=2cos 2ϕθ+cos 2
ϕθ-； cos θ-cos φ=-2sin 2ϕθ+sin 2
ϕθ-. 2.和差化积与积化和差公式有什么作用？
剖析:难点是推导出了公式，但不会应用.其突破方法是分析和理解公式的特点，还要依赖于平时经验的积累.
可从以下几方面来理解这两组公式：
(1)这些公式都是指三角函数值间的关系而言，并不是指角的关系；
(2)只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差，才能直接应用公式化为积的形式.如sinα+cosβ就不能直接化积，应先化成同名函数后，再用公式化成积的形式；
(3)三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，则因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式就起什么作用.
积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算.
和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此,“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式,往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.。