近世代数教案(1)

第一章基本概念 (1)
§2 映射 (1)
§3 代数运算 (9)
§8 同态 (9)
§10等价关系与集合的分类 (16)
第一章基本概念
§2 映射
1.映射
定义A,B都是集合,ϕ是一个法则.若对A中每一个元素x,在B中有唯一元素y与之对应,则称ϕ是A到B的一个映射.记为ϕ:x→y, 或y=ϕ(x).
y称为x在ϕ下的像,x叫做y在ϕ下的原像或逆像.
注意:(1)A中每一个元素都有唯一确定的像且像在B中.
(2)A中不同元素的像可能不同、也可能相同.
例1设A是有理数集，B为实数集合,那么法则
ϕ:x→1
1
x-,即ϕ(x)=1
1
x-
不是A到B的一个映射.
例2 设A,B都是有理数集,那么法则
ϕ:b
a →a b
+,即ϕ(x)=1
1
x-
那么ϕ不是A到B的一个映射.
例3设A={1,2,3},B={2,4,8,15},那么法则
ϕ:x→2x,即ϕ(x)=2x
不是A到B的一个映射.
2.满射、单射和双射
例4设A={1,2,3},B={2,4,8,15},那么法则
ϕ:x→2x,即ϕ(x)=2x
不是A到B的一个映射.
例5设A={1,2,3,4},B={2,4,6},那么法则ϕ:1→2,2→4,3→6,4→6 是A到B的一个映射.
例6设A={1,2,3},B={2,4,6},那么法则
ϕ:x→2x,即ϕ(x)=2x 是A到B的一个映射.
定义设ϕ是A到B的映射,
(i)若∀b∈B,至少有一个a∈A,使得ϕ(a)=b,则称ϕ是A到B 的满射；
(ii)若∀a,b∈A,且a≠b,总有ϕ(a)≠ϕ(b),则称ϕ是A到B的单射；
(iii)若ϕ既是A到B的满射,又是A到B的单射,则称ϕ是A 到B的双射,双射也称为一一映射.
单射的判定:ϕ是A到B的单射⇔∀a,b∈A,且ϕ(a)=ϕ(b)一定有a=b.
例7 设ϕ(a)=2a,∀a∈Z+,则ϕ是Z到2Z+的双射.
F⨯是数域F上的全体n阶方阵的集合,B={0,1, 例8设n n
...,n},r(A)表示矩阵A的秩,则ϕ:A→r(A),即ϕ(A)=r(A) 是
n n F ⨯到B 的一个满射,但不是单射.
ϕ是A 到B 的映射,11,A A B B ⊆⊆,
集合1()A ϕ={1()a a A ϕ∈}称为1A 在ϕ之下的像;
集合1
1()B ϕ-={1,()a a A a B ϕ∈∈}称为1A 在ϕ之下逆像. 3逆映射
设ϕ是A 到B 的一个双射,对x ∈A,y ∈B,且ϕ(x )=y .
定义 1
:ϕ-y →x ，即1ϕ-(y)=x. 则1ϕ-是B 到A 的一个双射,称1ϕ-为ϕ的逆映射.
例9设A={1,2,3},B={10,20,30},那么法则
ϕ:x →10x,即ϕ(x)=10x
是A 到B 的一个双射.显然,1ϕ-(y)=y/10是ϕ的逆映射.
结论1设A,B 都是有限集合,那么它们之间能建立双射的⇔是|A|=|B|.
定理 设A,B 都是有限集合,且|A|=|B|,ϕ是A 到B 的映射,那么 ϕ是满射⇔ϕ是单射.
证明|A|=|B|=n,而且A={12,,,n x x x },B={12,,,n y y y }....... 推论 设A,B 都是有限集合,且|A|=|B|,ϕ是A 到B 的映射,那么 ϕ是双射⇔ϕ是单射或ϕ是满射.
4.映射的乘法 变换
设σ,τ都是A 到B 的映射,如果∀x ∈A,都有()()x x στ=,那么称σ与τ相等,记为σ=τ.
映射相等与函数相等是一样的.
设τ是A 到B 的映射,σ是B 到C 的映射,那么
x →σ(τ(x))， (∀x ∈A)
是A 到C 的映射,记为στ,称它为τ与σ的乘积.或合成或复合. 即 στ(x)=σ(τ(x))，
定义 A 到A 的映射称为A 的变换.
A 的变换也分满射变换、单射变换和双射变换.双射变换也称为一一变换.
集合A 中每一个元素与自身对应的变换称为A 的恒等变换.定理含有n 个元素的集合共有n!的个双射.
集合M={1,2，…,n}的双射变换ϕ,通常用一下符号表示
12(1)(2)()n n ϕϕϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭
并称其为n 元置换.3个元素的置换共6个，
0123123ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1123132ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2123321ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3123213ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,4123213ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,5123312ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 另外,置换有多种形式是相等的：
5123132231213312321312321123132231213ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
作业:P6:11.1,2.
§3 代数运算
1.代数运算的概念
一般的运算是由两个元素经某一运算后得一个元素,比如加减乘等.
定义设M是集合,法则ϕ满足,对A中任意有序元素 a,b, A 中有唯一确定元素d与之对应,则称ϕ为M的代数运算.
一般用表示法则ϕ,因而ϕ(a,b)写成a b=d.
此时可以说a,b经过的运算得到元素d∈M.
例1 普通的加法、减法、乘法都是整数集、有理数集、实数集和复数集的代数运算，而普通加法不是正整数集的代数运算.
例2 设V是数域F上的向量空间,V的向量加法是V的代数运算.
例3设F是数域,令n m
F⨯={A|A是F上的m×n矩阵}.
则矩阵的加法是n m
F⨯的代数运算.
练习：试规定整数集合Z上的一个代数运算.每位同学规定一个不同于其他同学的代数运算.
2.变换的乘法与置换的乘法
设M是集合,T(M)={M的所有变换σ},∀σ,τ∈T(M),则乘积στ：στ(x)=σ(τ(x))是M的一个变换,故στ∈T(M),称στ为变换的乘法,变换的乘法是T(M)的代数运算.
设ε是M的恒等变换,∀σ∈T(M),σε(x)=εσ(x)=σ(x), ∀x∈M,于是σε=εσ=σ.
令S(M)是M的所有双射变换的集合,则S(M)⊆T(M).易证，T(M)的乘法也是S(M)的乘法.即变换乘法是的代数运算,从而双射的乘积还是双射.
事实上,......,
集合M={1,2,3}的双射变换共有6个:
0123123ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1123132ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2123321ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3123213ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,4123213ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,5123312ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12123123321123123132321231321231ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123321321231⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
一般地,设12121212,,n n n i i i n k k k i i i στ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则 121212121212n n n n i i i n n k k k i i i k k k στ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 因为()(())(),1,2,,s s s s i k s n στστσ====.
设A={12,,,n a a a },它的代数运算满足:i j ij a a a =,则下表 称为A 的代数运算表：............
练习P15:1t.作业:设2123321ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,3123213ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求3223,ϕϕϕϕ.
§4 运算律
1.结合律
定义1设集合M 的代数运算,如果∀,,a b c ∈M,都有 ()()a b c a b c =
则称M
的代数运算满足结合律.
数、多项式、矩阵等的加法和乘法都满足结合律. 例1 M=Z +,则M 的代数运算:1a b ab =+不满足结合律. 例2 变换的乘法满足结合律.
一般地,M 中的n 个元素12,,,n a a a 可以有12(1)(22)!1!(1)!n n n C n n n ---=- 种加括号方式.如果结合律不成立,则不同加括号的方式这n 个元素运算结果可能会不同;如果结合律成立,则有
定理1若M 的代数运算满足结合律,则M 中任意n(≥3)个元素无论怎样加括号,其结果都相等.(用第二型数学归纳法) 根据定理1,运算式12
n a a a 表示n 个元素12,,,n a a a
的无论怎样加括号运算而得的唯一结果. 2.交换律
定义2设集合M 的代数运算,如果∀,a b ∈M,都有 a b b a = 则称M
的代数运算满足交换律.
设A={12,,,n a a a }的代数运算满足:i j ij a a a =,则下表 称为A 的代数运算表:
代数运算满足交换律, 那么其运算表关于主对角线 对称.
定理2若集合M 的代数运算即满足结合律、又满足交换律
，则对M 中任意n 个元素进行运算时,可以任意交换、结合元素的次序,其结果相等.(用归纳法证明即可)
3.分配律
定义3若集合M 有两个代数运算和⊕,如果∀,,a b c ∈M,都有 ()()()a b c a b a c ⊕=⊕ 则称对⊕满足左分配律；如果∀,,a b c ∈M,都有 ()()()b c a b a c a ⊕=⊕ 则称对⊕满足右分配律,对⊕满足左分配律,则.
定理3 设集合M 有两个代数运算和⊕,其中⊕满足结合
律,对M 中任意元素12,,,,n a b b b 有
121()()()n n a b b b a b a b ⊕⊕⊕=⊕⊕
例1 P19:2t, 作业:P19:1t,
§5 同态与同构
1.同态映射
设M和M分别有代数运算,,ϕ是M到M的映射.如果ϕ保持运算,即∀a,b∈A,总有ϕ(a b)=ϕ(a)ϕ(b),则称ϕ为M 到M的同态映射,若ϕ是满射,则称ϕ为M到M的同态满射.
如果M到M存在同态满射,则称M与M同态.
例1设M=n n
F⨯,M的代数运算是矩阵的普通乘法,M=F,则ϕ:A→|A|是M到M的同态满射.
因为......
2同态满射的性质
定理1对于代数运算,来说,假定A与A同态,那么
(1)若满足结合律,则也满足结合律；(2)若满足交换律,则也满足交换律.
定理2假定,⊕是A的两个代数运算,,⊕是A的代数运算,
而且ϕ是A到A的满射,假定对于代数运算,来说, A与A同态, 对于代数运算⊕,⊕来说,A与A也同态,那么
(i)若,⊕满足第一分配律,则,⊕也满足第一分配律;
(ii)若,⊕满足第二分配律,则,⊕也满足第二分配律. 练习:P23:1t.
3.同构
定义设对代数运算,来说,ϕ是A到A的同态满射.如果ϕ
还是单射,则称ϕ是A与A的同构映射,而称A与A同构,记为A≅A.
A到A的同态映射,叫做A的自同态. A到A间的同构映射,叫做A的自同构.
例2 设M=Z,M是偶数集合,∀n∈M,对应ϕ:n→2n是M到M的同构映射.
例3 M=Q+,代数运算是普通乘法,则ϕ:a→1
a-是M到自身
的同构映射.但对加法来说,ϕ不是自同构.
同构有以下三个性质:
(1)自反性:任意M与自身同构;
(2)对称性:若A≅B,则B≅A.
(3)传递性:若A≅B,B≅C,则A≅C.
作业P23:2.
§6 等价关系与集合的分类
1.等价关系
定义设M是集合,如果有一个法则R,它对M中任两个有序元素a,b对,可以确定集合{有,无}中唯一元素与之对应，这个法则R叫做M的元素间的一个关系.
若R(a,b)=有,我们说a与b符合关系R,记成aRb;
若R(a,b)=无,我们说a与b不符合关系R.记为a R b.
由这个定义，给了A的元间的一个关系R，就可以决定任意一对A的元a,b是否符合这个关系.
例1 M={全体有理数},∀a,b∈M,aRb⇔a+b是整数,那么R 是M的一个关系.
例2 M={全体有理数},∀a,b∈M,aRb⇔a+b是整数,那么R 是M的一个关系.
例3 M={正有理数},在M规定,b
a R d
c
⇔1
a d
b c
+
<
+
,那么R不是
M的一个关系.
因为对13,
22来说,131,
22
+
=
+
1
2
R
3
2
；但2351
426
+
=<
+
,所以1
2
R3
2
.
这相当于说,若b-a是正的,则aRb,; 若b-a不是正的,则a R b.
例4 M=Z,∀a,b∈M,若有q∈Z,使得b=aq,则aRb; 若不存在q∈Z,使得b=aq,则a R b.这个关系R是Z上的整除关系.
2.等价关系
等价关系是一种特殊的关系，占的地位特别重要，这种关系一般用～来表示.
定义集合M的一个关系R叫做等价关系,如果
I 反射律 aRa,∀a∈A;
II 对称律若aRb,则bRa; ∀a,b∈A;
III 推移律 若aRb,且bRc,则aRc.∀a,b,c ∈A.
M 的一个等价关系用～表示,对两个元素a,b,若a ～b,则称a 与b 等价.
例4 整数集合Z 上的元素相等“=”是Z 上的等价关系. 例5 设Z 是整数集合,n 是正整数,∀a,b ∈Z,规定 aRb ⇔a ≡b(modn) 则R 是Z 的一个等价关系.
例6 令F(M)={A|A 是数域F 上的n 阶方阵},则F(M)中的矩
阵间的等价～是F(M)的一个等价关系.矩阵间的相似是F(M)的一个等价关系.
3 等价关系与集合分类
定义设12,,,n A A A 是集合A 的n 个非空子集.如果i j A A φ=,i ≠j 且1
2
n A A A A =则称{12,,,n A A A }是集合
A 的一个分类,每
一个i A 叫做一个类.
例 1 A={1,2,3,4,5,6,},1A={1,2},2A={3,4},3A={5,6},则{1A,2A,3A}是A的一个分类.
定理1集合M的每一个分类决定M的一个等价关系,
证明a,b∈M,规定aRb⇔a与b在同一类,
则R是等价关系.
定理2集合M的一个等价关系,决定M的一个分类.
证明∀a∈M,令a={x|x～a,x∈M},因a～a,则a∈a.
设a∈b,a∈c,则a～b,a～c.∀x∈b,则x～b,又b～a,a～c,所以x～c,即x∈c,于是b⊆c,同理可证c⊆b,于是b=c.这就是说,～把M分成了互不相交的子集.
例6求由同余关系aRb⇔a≡b(mod4)所决定的分类.
Z被分成四个类,0,1,2,3,称其为模4的剩余类.
练习：P27:2. 作业P27:.。