江西省南昌市第二中学20172018学年高二数学下学期第二次月考试题文

南昌二中2017—2018学年度下学期第二次考试
高二数学（文）试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分） 1.命题“0≥∃x ，3210x x -+>”的否定是（ ）
A. 0<∃x ，012
3
≤+-x x B. 0≥∀x ， 3210x x -+≤
C. 0≥∃x ， 3210x x -+≤
D. 0<∀x ，012
3
≤+-x x
2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ） A. 2
B. 22
C.
3
2
8 D. 28 3.已知幂函数()f x x α
=的图像经过点22,
2⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
，则()4f 的值等于( ) A. 16
B.
116 C. 2 D. 1
2
4.函数22
()(31)f x ax a x a =--+在[)1,+∞上是增函数,则a 的范围为( )
A. ）（1,∞-
B. ]10，（
C. ]1,0[
D. ]1-，（∞
5.命题032:2
>-+x x p ，命题a x q >:，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， 则a 的取值范围是（ ）
A. ），（），（∞+⋃∞13--
B. ），，（∞+⋃∞1[3]--
C.
），（∞+1 D. ),1[+∞ 6.某几何体三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1， 则该几何体表面积为（ ） A. 84225++ B. 64245++
C. 82225++
D. 62225++
7在矩形ABCD 中，2=AC ，现将ABC ∆沿对角线AC 折起，使点B 到达点,
B 的位置，得到三棱锥ACD B -'，则三棱锥ACD B -'
的外接球的表面积为( ) A.π4 B. π2
C. π
D. 大小与点，
B 的位置有关
8函数()()3211,220,11log ,2
x a x f x a a x x -⎧
⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且值域是R 则实数a 范围是( ) A. ）（22,0 B. ]22
0，（ C. ），（10 D.2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
9．已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；
②对任意的]2,0[,21∈x x 且21x x <都有)()(21x f x f <；③对任意的x R ∈，都有
()()22f x f x +=-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()4.57 6.5f f f <<
B ．()()()7 4.5 6.5f f f <<
C ．()()()4.5 6.57f f f <<
D ．()()()7 6.5 4.5f f f << 10.函数()(
)
2ln 1f x x x =++，若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则11
a b
+的
最
小是（ ）
A.3
B. 623+
C. 223+
D. 6
11.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中， 3AB =， 4BC =， 15AA =， E ， F 为线段11A C 上的动点，且1EF =， P ， Q 为线段AC 上的动点，且2PQ =， M 为棱
1BB 上的动点，则四棱锥M EFQP -的体积（ ）
A. 不是定值，最大为25
4
B. 不是定值，最小为6
C. 是定值，等于
25
4
D. 是定值，等于6
12.函数()()2
3,3
{ 3,3
x x f x x x -≤=-->，函数()()3g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是( )
A. 11,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
B. 113,4⎛
⎫--
⎪⎝⎭ C. 11,4⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
D. ()3,0-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）
13.函数x
x x f ln 1
)(-=
的定义域为________ 14.设集合}1),{(22=+=y x y x A ，}3),{(x
y y x B ==则B A ⋂的子集的个数是____
15.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于
3
2π
，则该圆锥的体积为______ 16.已知212,0,
()|lg |,0,x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩
若关于x 的方程a x f =)(有四个不同的实根
1234,,,,
x x x x
则这四根之积1234x x x x 的取值范围是________
三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）函数）（R a a x a x x f ∈++-=2)2()(2
，求关于x 的不等式0)(>x f 的解集.
18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．
（1）求证：//EF 平面PAB ；
（2）若2PA AB ==，求三棱锥P AEF -的体积．
19. (本小题满分12分)已知函数)(x f y =的定义域为),0(+∞且1)2(=f ，对任意
),0(,+∞∈y x 恒有)()()(y f x f xy f +=，且1>x 时0)(>x f .
(1)判断)(x f 的单调性并证明；
(2)求关于x 的不等式2)3()(≤-+x f x f 的解集
20. （本小题满分12分）如图所示, PA 是圆柱的母线, AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于A B ，的任意一点, 2PA AB ==. (1)求证: BC PC ⊥；
(2)求三棱锥P ABC -体积的最大值,并写出三棱锥P ABC -外接球的表面积.
21. （本小题满分12分）椭圆()222210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，6
，
直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点， 222 3.
AF BF +=
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设,M N 分别为线段22,AF BF 中点，原点O 在以MN 为直径的圆内，求k 范围.
22. （本小题满分12分）已知函数)0(2ln 2
)(>-+=
a x a x
x f ． （Ⅰ）曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处切线与直线2+=x y 垂直，求函数)(x f y =
单调区间；
（Ⅱ）若对于),0(+∞∈∀x 都有)1(2)(->a x f 成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当1=a 时，记b x x f x g -+=)()(，函数)(x g 在区间],[1
e e -上有两个零点， 求实数b 范围
南昌二中2017—2018学年度下学期第二次考试
高二数学（文）试卷参考答案
BBDCD DADAC DB
13. ）
，（），（∞+⋃110 14. 4 15. π8122 16. )16
1
,0[ 17. 【解】
0)(2>--a x x ）（ （1）当2<a 时，解集为
),2(-+∞⋃∞），（a （2）当2=a 时，解集为}2{≠x x
（3）当2>a 时，解集为）（），（+∞⋃∞,2-a
18.【解】（1）取PB 的中点为G ，连接AG ，FG ，可证明//EF AG ，
∴//EF 平面PAB ． （2）111211323
P AEF F PAE V V --==
⨯⨯⨯⨯=． 19.【解】(1)任取),0(,21+∞∈x x 且21x x <则
0)(11
212>∴>x x
f x x )()(0)()()(
12121
2
x f x f x f x f x x f >∴>-= )(x f ∴在),0(+∞上单调递增 (2) ]4,3(430304(112)3()3()(22
∈⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≤->->∴=+=≤-=-+x x x x x f x x f x f x f ）
20.【解】(1)证明:∵已知PA 是圆柱的母线,.∴PA ⊥平面ABC PA BC ⇒⊥ ∵AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点, ∴BC AC ⊥,又AC PA A ⋂=,∴BC ⊥平面PAC 又PC ⊂平面PAC BC PC ⇒⊥
(2)解:由已知得三棱锥P ABC -的高2PA =,当直角ABC ∆的面积最大时, 三棱锥P ABC -的体积最大,当点C 在弧AB 中点时1ABC S =最大,
12
2133P ABC V -∴=⨯⨯=,结合(1)可得三棱锥P ABC -的外接球的直径即为PB ,
所以此时外接球的直径222222R PA AB R =
+=⇒=8S π∴=.
21.【解】（1）
2
2
1.3
x y +=（2）设()()0000,,,A x y B x y --联立221{ 3x y y kx
+==得2
02331
x k =+()*当0k ≠时，四边形2OMNF 为平行四边形，由原点O 在以MN 为直径的圆
内，得2MF N MON ∠=∠为钝角得220F A F B ⋅<
即()()
00002,2,0x y x y ⋅--<即22002x y +>即()
22
01 2.k x +>把()*式代入得
(
)2231231
k k +>+得2
3 1.k
<得33
3
k <<，且0k ≠当0k =时同样适合题意
所以k 范围为33⎛
⎝
⎭
22.【解】（Ⅰ）直线2+=x y 的斜率为1，函数）（x f 的定义域为),0(+∞，
因为x a x x f +-=2'
2)(，由1)1('-=f 所以1=a
所以2'
2)(,2ln 2)(x
x x f x x x f -=-+=由0)('>x f 得2>x ；由0)('<x f 得 20<<x
所以)(x f 的单调增区间是）
，（∞+2，单调减区间是)2,0(． （Ⅱ）2
2'
22)(x ax x a x x f -=+-=由0)('>x f 得 a x 2>； 由0)('<x f 得 a
x 20<< 所以)(x f 在区间）
（+∞,2
a
上单调递增，在区间），（a 20上单调递减． 所以当a x 2=时，函数)(x f 取得最小值，）（a
f y 2
min =
因为对于),0(+∞∈∀x 都有)1(2->a x f ）
（成立， 所以)1(2)2(->a a f 即可． 则)1(222
ln 22->-+a a a a
由a a a >2ln 解得 e a 20<<所以，a 的取值范围是）
（e
2,0 （Ⅲ）b x x x
x g --++=2ln 2)( 则2
2
'
2)(x x x x g -+= 由0)('>x g 得1>x ； 由0)('
<x g 得10<<x
所以函数）（x g 在)1,0(为减函数，在）（+∞,1为增函数．
又因为函数)(x g 在区间],[1
e e -上有两个零点，所以⎪⎩
⎪⎨⎧<≥≥-0)1(0)(0)(1g e g e g
得121-+≤<e e b ． 所以b 的取值范围是]121-+e e
，（。