(易错题精选)初中数学反比例函数知识点总复习含答案解析

（易错题精选）初中数学反比例函数知识点总复习含答案解析一、选择题
1．给出下列函数：①y＝﹣3x+2：②y＝3
x
；③y＝﹣
5
x
：④y＝3x，上述函数中符合条
件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（）
A．①③B．③④C．②④D．②③
【答案】B
【解析】
【分析】
分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
②y＝3
x
，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
③y＝﹣5
x
，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
④y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；故选：B．
【点睛】
此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键．
2．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数
k
y
x
=和3
y kx
=+的图象大致是
（）
A．B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解】
解：A、由函数y=k
x
的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；
B、由函数y=k
x
的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；
C、由函数y=k
x
的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；
D、由函数y=k
x
的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
3．已知点A（﹣2，y1），B（a，y2），C（3，y3）都在反比例函数
4
y
x
的图象上，且﹣
2＜a＜0，则（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据k＞0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可．
【详解】
∵反比例函数y=4
x
中的k=4＞0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，∵-2＜a＜0，
∴0＞y1＞y2，
∵C（3，y3）在第一象限，
∴213y y y <<，
故选D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．
4．如图，反比例函数y ＝2x
的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】 由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积．
【详解】
解：Q 反比例函数2y x
=
， 2OA AD ∴=g ． D Q 是AB 的中点，
2AB AD ∴=．
∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===⨯=g g ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．
5．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）
A ．y ＝x 2
B ．y ＝x
C ．y ＝x+1
D ．1y x
=
【解析】
【分析】
需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x＞0时，y随x的增大而减小的函数．【详解】
解：A、y＝x2是二次函数，开口向上，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，错误；
B、y＝x是一次函数k＝1＞0，y随x的增大而增大，错误；
C、y＝x+1是一次函数k＝1＞0，y随x的增大而减小，错误；
D、
1
y
x
=是反比例函数，图象无语一三象限，在每个象限y随x的增大而减小，正确；
故选D．
【点睛】
本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y
b
x
=（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的
图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【详解】
A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即
b<0．所以反比例函数y
b
x
=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的左侧，则a，b同号，即
b>0．所以反比例函数y b x
=
的图象位于第一、三象限，故本选项错误； C 、抛物线y ＝ax 2+bx 开口方向向下，则a<0，对称轴位于y 轴的右侧，则a ，b 异号，即b>0．所以反比例函数y b x
=的图象位于第一、三象限，故本选项错误； D 、抛物线y ＝ax 2+bx 开口方向向下，则a<0，对称轴位于y 轴的右侧，则a ，b 异号，即b>0．所以反比例函数y b x
=
的图象位于第一、三象限，故本选项正确； 故选D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
7．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=
上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ）
A ．0m <
B ．0m >
C ．32m >-
D ．32m <- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围．
【详解】
∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x
+=
上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32
m <-
， 故选：D ．
【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限．
8．如图，点A 、B 在函数k y x
=（0x >，0k >且k 是常数）的图像上，且点A 在点B 的左侧过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，过点B 作BN y ⊥轴，垂足为N ，AM 与BN 的交点为C ，连结AB 、MN ．若CMN ∆和ABC ∆的面积分别为1和4，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C 522
D ．6
【答案】D
【解析】
【分析】 设点M （a ，0），N （0，b ），然后可表示出点A 、B 、C 的坐标，根据CMN ∆的面积为1可求出ab ＝2，根据ABC ∆的面积为4列方程整理，可求出k ．
【详解】
解：设点M （a ，0），N （0，b ），
∵AM ⊥x 轴，且点A 在反比例函数k y x =
的图象上， ∴点A 的坐标为（a ，
k a ）， ∵BN ⊥y 轴，
同理可得：B （
k b ，b ），则点C （a ，b ）， ∵S △CMN ＝12NC•MC ＝12
ab ＝1， ∴ab ＝2，
∵AC ＝k a −b ，BC ＝k b
−a ， ∴S △ABC ＝12AC•BC ＝12(k a −b)•(k b −a)＝4，即8k ab k ab a b
--⋅=， ∴()2216k -=，
解得：k ＝6或k ＝−2（舍去），
故选：D ．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积计算等，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的面积列方程求解．
9．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1=1k x
（x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象
上，∠ABO=30°
，则2
1k k =（ ）
A ．-3
B ．3
C ．13
D ．- 13
【答案】A 【解析】
【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值．
【详解】
如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a.
∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90°
在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3
∴点A 3a ，a ）
同理可得 点B 3，-3a ）
∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a
∴213333k a k a
==-. 故选A.
【点睛】
考查直角三角形的边角关系，反比例函数图象上点的坐标特征，设适合的常数，用常数表示出k ，是解决问题的方法．
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣1，1)，点B在x轴正
半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝8
x
上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的
长为( )
A．8
5
B．
23
5
C．3.5 D．5
【答案】B 【解析】【分析】
设点D(m，8
m
)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点
H，过点A作AN⊥x轴于点N，根据AAS先证明△DHA≌△CGD、△ANB≌△DGC可得AN＝DG＝1＝AH，据此可得关于m的方程，求出m的值后，进一步即可求得答案.
【详解】
解：设点D(m，8
m
)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于
点H，过点A作AN⊥x轴于点N，如图所示：
∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，∴∠HDA＝∠GCD，
又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，
∴△DHA≌△CGD(AAS)，
∴HA＝DG，DH＝CG，
同理△ANB≌△DGC(AAS)，
∴AN＝DG＝1＝AH，则点G(m，8
m
﹣1)，CG
＝DH，
AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，
故点G(﹣2，﹣5)，D(﹣2，﹣4)，H(﹣2，1)，
则点E(﹣
8
5
，﹣5)，GE＝
2
5
，
CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣
2
5
＝
23
5
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点和全等三角形的判定与性质，构造全等、充分运用正方形的性质是解题的关键.
11．如图，直线y＝k和双曲线y＝
k
x
相交于点P，过点P作PA0垂直于x轴，垂足为A0，x 轴上的点A0，A1，A2，…A n的横坐标是连续整数，过点A1，A2，…A n：分别作x轴的垂线，与双曲线y＝
k
x
（k＞0）及直线y＝k分别交于点B1，B2，…B n和点C1，C2，…C n，则n n
n n
A B
C B 的值为（）
A．
1
1
n+
B．
1
1
n-
C．
1
n
D．
1
1
n
-
【答案】C
【解析】
【分析】
由x轴上的点A0，A1，A2，…，A n的横坐标是连续整数，则得到点An（n+1，0），再分别表示出∁n（n+1，k），B n（n+1，
k
n1
+
），根据坐标与图形性质计算出A n B n＝
k
n1
+
，B n∁n ＝k﹣
k
n1
+
，然后计算n n
n n
A B
B C．
【详解】
∵x轴上的点A0，A1，A2，…，A n的横坐标是连续整数，
∴An（n+1，0），
∵∁n A n ⊥x 轴，
∴∁n （n +1，k ），B n （n +1，k n 1+）， ∴A
n B n ＝k n 1+，B n ∁n ＝k ﹣k n 1
+， ∴n n n n A B B C ＝11
k n k k n +-+＝1n ． 故选：C ．
【点睛】
考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是抓住了反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
12．如图，直线y 1＝x +b 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y 2＝﹣5x （x ＜0）的图象交于C ，D 两点，点C 的横坐标为﹣1，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ．下列说法正确的是（ ）
A ．b ＝5
B ．B
C ＝AD
C ．五边形CDFOE 的面积为35
D ．当x ＜﹣2时，y 1＞y 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数值与相应自变量的关系，可得C 点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式，可判断A 选项；
根据解方程组，可得C 、D 点的坐标，根据全等三角形的判定与性质，可判断B 选项； 根据图形的分割，可得梯形、矩形，根据面积的和差，可判断C 选项；
根据函数与不等式的关系：函数图象在上方的函数值大，可判断D 选项．
【详解】
解：由反比例函数y 2＝﹣5x （x ＜0）经过C ，点C 的横坐标为﹣1，得
y ＝﹣
51
-＝5，即C （﹣1，5）． 反比例函数与一次函数交于C 、D 点，
5＝﹣1+b ，
解得b ＝6，故A 错误；
CE ⊥y 轴于E 点，E （0，﹣5），BE ＝6﹣5＝1．
反比例函数与一次函数交于C 、D 点，联立65y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
， x 2+6x +5＝0
解得x 1＝﹣5，x 2＝﹣1，
当x ＝﹣5时，y ＝﹣5+6＝1，
即D （﹣5，1），即DF ＝1，
在△ADF 和△CBE 中，
DAF BCE AFD CEB DF BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△ADF ≌△CBE （AAS ），
AD ＝BC ，故B 正确；
作CG ⊥x 轴，
S △CDFOE ＝S 梯形DFGC +S 矩形CGOE
＝()(15)422
DF CG FG OG CG ++⨯+g +1×5＝17，故C 错误； 由一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，
得﹣5＜x ＜﹣1，
即当﹣5＜x ＜﹣1时，y 1＞y 2，故D 错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合题，利用了自变量与函数值的对应关系，点的坐标与函数解析式的关系，全等三角形的判定与性质，图形分割法求图形的面积，函数图象与不等式的关系．
13．在反比例函数y ＝
93m x
+图象上有两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，y 1＜0＜y 2，x 1＞x 2，则有（ ） A ．m ＞﹣
13
B ．m ＜﹣13
C ．m≥﹣13
D ．m≤﹣13 【答案】B
【解析】
【分析】 先根据y 1＜0＜y 2，有x 1＞x 2，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m 的取值范围即
可．
【详解】 ∵在反比例函数y ＝
93m x
+图象上有两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），y 1＜0＜y 2，x 1＞x 2， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∴9m+3＜0，解得m ＜﹣
13
． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质
14．已知点()1,3M -在双曲线k y x =
上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A ．()3,1-
B ．()1,3--
C ．()1,3
D ．()3,1 【答案】A
【解析】
【分析】
先求出k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在.
【详解】
∵点()1,3M -在双曲线k y x
=
上， ∴133k =-⨯=-，
∵3(1)3⨯-=-，
∴点(3，-1)在该双曲线上，
∵(1)(3)13313-⨯-=⨯=⨯=，
∴点()1,3--、()1,3、()3,1均不在该双曲线上，
故选：A.
【点睛】
此题考查反比例函数解析式，正确计算k 值是解题的关键.
15．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k y x x
=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）
A ．2524k ≤≤
B ．26k ≤≤
C ．24k ≤≤
D ．46k ≤≤
【答案】A
【解析】
【分析】 由点C 的坐标结合直线AB 的解析式可得出点A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k 的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB 上，综上即可得出结论．
【详解】
解：令y ＝−x ＋5中x ＝1，则y ＝4，
∴B （1，4）；
令y ＝−x ＋5中y ＝2，则x ＝3，
∴A （3，2），
当反比例函数k y x
=
（x ＞0）的图象过点C 时，有2＝1k ， 解得：k ＝2， 将y ＝−x ＋5代入k y x
=
中，整理得：x 2−5x ＋k ＝0， ∵△＝（−5）2−4k≥0， ∴k ≤254， 当k ＝
254时，解得：x ＝52， ∵1＜52
＜3， ∴若反比例函数k y x =
（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是2≤k≤254，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A 、C 时的k 值以及直线与双曲线有一个交点时k 的值．
16．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ）
A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k =>
B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70<V<80
C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 也变为原来的一半
D ．当60100V 剟
时，气压P 随着体积V 的增大而减小 【答案】D
【解析】
【分析】
A ．气压P 与体积V 表达式为P=
k V ,k ＞0，即可求解； B ．当P=70时，600070
V =,即可求解； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，即可求解；
D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，即可求解．
【详解】
解：当V=60时，P=100，则PV=6000，
A ．气压P 与体积V 表达式为P=
k V ，k ＞0，故本选项不符合题意； B ．当P=70时，V=600070
＞80，故本选项不符合题意； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，本选项不符合题意； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，本选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数综合运用．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而根据字母代表的意思求解．
17．直线y ＝ax (a ＞0)与双曲线y ＝3x 交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则代数式4x 1y 2－3x 2y 1的值是( )
A ．－3a
B ．－3
C ．3a
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先把1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 代入反比例函数3y x =得出11x y g 、22x y g 的值，再根据直线与双曲线均关于原点对称可知12x x =-，12y y =-，再把此关系式代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
解：1(A x Q ，1)y 、2(B x ，2)y 在反比例函数3y x
=的图象上， 11223x y x y ∴==g g ，
Q 直线(0)y ax a =>与双曲线3
y x
=的图象均关于原点对称， 12x x ∴=-，12y y =-，
∴原式111111433x y x y x y =+=-=--．
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象的对称性及反比例函数的性质，根据题意得出
11223x y x y ==g g ，12x x =-，12y y =-是解答此题的关键．
18．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y x =
在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若4AB =，
2CE BE =，34
AD OA =，则线段BC 的长度为（ ）
A ．1
B ．32
C ．2
D ．23【答案】B
【解析】
设OA 为4a ，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a ，CE=2a ，BE=a ，从而得出点D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC 长.
【详解】
设OA=4a 根据2CE BE =，
34
AD OA =得：AD=3a ，CE=2a ，BE=a ∴D(4a ，3a)，E(4a+4，a)
将这两点代入解析得； 3444k a a k a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩
解得：a=12
∴BC=AD=
32 故选：B
【点睛】
本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D 、E 的坐标，然后代入解析式求解.
19．如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝1k x
（k 1＞0，x ＞0），y ＝2k x （k 2＞0，x ＞0）的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为6，则k 1﹣k 2的值为（ ）
A ．12
B ．﹣12
C ．6
D ．﹣6
【答案】A
【解析】
【分析】 △ABC 的面积＝
12
•AB•y A ，先设A 、B 两点坐标（其y 坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
解：设：A 、B 点的坐标分别是A （1k m ，m ）、B （2k m ，m ）， 则：△ABC 的面积＝
12•AB•y A ＝12•（1k m ﹣2k m ）•m ＝6， 则k 1﹣k 2＝12．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A 、B 两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
20．如图，反比例函数11k y x
=
的图象与正比例函数22y k x =的图象交于点（2，1），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（ ）
A ．0＜x ＜2
B ．x ＞2
C ．x ＞2或-2＜x ＜0
D ．x ＜－2或0＜x ＜2
【答案】D
【解析】
【分析】 先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点坐标，由函数图象即可得出结论.
【详解】
∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A 、B 两点关于原点对称.
∵A （2，1），
∴B （－2，－1）.
∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜－2时函数y 1的图象在y 2的上方，
∴使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜－2或0＜x ＜2.故选D.。