人教版高中数学必修五课后提升作业 十九 3.2 第2课时 一元二次不等式及其解法习题课 Word版含解析

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课后提升作业十九
一元二次不等式及其解法习题课
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·北京高二检测)若a>0,b>0,则不等式-b<<a的解集为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为b>0,所以-b<0.又a>0,所以不等式-b<<a化为-b<<0或0<<a,
所以x<-或x>.
2.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围
是( )
A.a≤2
B.-2<a≤2
C.-2<a<2
D.a≤-2
【解析】选B.当a=2时,-4<0恒成立;当a≠2时需满足,所以-2<a<2,
综上-2<a≤2.
【补偿训练】f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0,则a的取值范围是( ) A.a≤0 B.a<-4
C.-4<a<0
D.-4<a≤0
【解析】选D.因为f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0,即ax2+ax-1<0在R上恒成立.
当a=0时,-1<0恒成立,
当a≠0时,由得-4<a<0,
故-4<a≤0.
3.不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x<-2},则二次函数y=2x2+mx+n的表达式是( )
A.y=2x2+2x+12
B.y=2x2-2x+12
C.y=2x2+2x-12
D.y=2x2-2x-12
【解析】选 D.由题意知-2和3是对应方程的两个根,由根与系数的关系,得
-2+3=-,-2×3=.
所以m=-2,n=-12.
因此二次函数的表达式是y=2x2-2x-12.因此选D.
4.(2016·郑州高二检测)若关于x的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则a= ( )
A.1
B.4
C.-1
D.-4
【解析】选B.>0⇔(x-a)(x+1)>0,
因为解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),故a=4.
5.根据调查,某厂生产的一种产品n月份盈利为f(n)万元(n=1,2,…,12),其近
似地满足f(n)=(13n-22-n2)(e=2.718…),为了获取一年的最大利润,那么该产品每年只要生产( )
A.11个月
B.10个月
C.9个月
D.8个月
【解析】选D.因为f(n)=(13n-22-n2),要有利润,
则f(n)>0,所以n2-13n+22<0,所以2<n<11,
即只需从3月份开始生产到10月份,共生产8个月.
6.(2016·成都高一检测)二次不等式mx2-mx-1<0的解集是全体实数的条件
是( )
A.[-4,0]
B.(-4,0]
C.[0,4)
D.(-4,0)
【解析】选 D.要使二次不等式mx2-mx-1<0的解集是全体实数,只需
⇒-4<m<0.
7.关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,1),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-1,3)
C.(1,3)
D.(-∞,1)∪(3,+∞)
【解析】选B.由不等式ax-b>0的解集是(-∞,1)可知:a<0,且a=b,则不等式(ax+b)(x-3)>0的解集等价于不等式(x+1)(x-3)<0的解集,即原不等式的解集
为(-1,3).
8.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立,则( )
A.-1<a<1
B.0<a<2
C.-<a<
D.-<a<
【解析】选C.根据定义,原不等式等价于(x-a)(1-x-a)<1,等价于x2-x-a2+a+1>0
恒成立,所以Δ=1+4(a2-a-1)<0,解得-<a<.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x件与单价P元之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C=500+30x元,该厂日产量最小为________时,每天获利不少于1300元.
【解析】由题意得(160-2x)x-(500+30x)≥1300,
化简得x2-65x+900≤0,
解得20≤x≤45.
所以日产量最小为20件时,每天获利不少于1300元.
答案:20
10.(2016·南昌高一检测)若不等式2kx2+kx-≥0的解集为空集,则实数k的取值范围是________.
【解析】对二次项的系数进行分类讨论,当k=0时,解集为空集,符合题意;当k>0时,不等式的解集不是空集;当k<0时,由不等式的解集为空集可知Δ<0,即k2+3k<0,解得-3<k<0;综上得k∈(-3,0].
答案:(-3,0]
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·淄博高二检测)已知不等式x2-x-m+1>0.
(1)当m=3时解此不等式.
(2)若对于任意的实数x,此不等式恒成立,求实数m的取值范围.
【解题指南】(1)由题可知,将m=3代入,直接求解即可.(2)将不等式移项得到m<x2-x+1,此不等式恒成立,则m小于二次函数x2-x+1的最小值即可;或借助判别式Δ求解.
【解析】(1)由题可知,将m=3代入,可得x2-x-2>0,化简可得(x+1)(x-2)>0,解得x∈(-∞,-1)∪(2,+∞).
(2)将x2-x-m+1>0移项可得,m<x2-x+1,即m小于二次函数的最小值即可,y=x2-x+1
的最小值为,故m∈.
【一题多解】(2)由x2-x-m+1>0恒成立得Δ=(-1)2-4(-m+1)<0,解得m<,故m的取
值范围是.
12.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式.
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
【解析】(1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x)(0<x<1),
整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).
(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当
即
解不等式组,得0<x<,
所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足
0<x<.
【能力挑战题】
若不等式x2+(a-6)x+9-3a>0,对于|a|≤1不等式恒成立,求x的取值范围. 【解析】将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0,
令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,
因为f(a)>0对于|a|≤1时恒成立,所以
①若x=3,则f(a)=0,不符合题意,应舍去.
②若x≠3,则由一次函数的单调性,
可得
即解得x<2或x>4,
故x的取值范围是{x|x<2或x>4}.
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