吉林省舒兰市第一高级中学校2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文

2018—2019学年度高二上学期期中考试数学试卷(五校文)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{}2
0/≤<x x ，则A ∩B 等于
( )
A ．{x |－1≤x <0}
B ．{x |0<x ≤1}
C ．{x |0≤x ≤2}
D ．{x |0≤x ≤1}
2．已知命题p ：.1sin ,≤∈∀x R x 则p ⌝
为 （ ） A ．1sin ,≥∈∃x R x B ．1sin ,≥∈∀x R x C 1sin ,>∈∃x R x D ．1sin ,>∈∀x R x 3．在等差数列{}n a 中，已知13,2321=+=a a a 则5a 等于 （ ）
A ．15
B ．17
C ．13
D ．14
4. 椭圆 14
22
=+y x 的离心率为 ( ) A.
2
3
B.
4
3 C.
2
2
D.
3
2 5.设四个正数a, b, c, d 成等差数列，则下列各式恒成立的是 （ ） A ．
bc d
a ≤+2
B.
bc d a ≥+2 C ．bc d a >+2 D ．bc d a <+2 6.等比数列{}n a 前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4a 的值为
A 4
B 6
C 8
D 16. （ ）
7.已知等差数列{}n a ，2
9a =，521a =.则6S 的值为
A. 18
B. 24
C. 90
D. 120 （ ）
8.已知变量x ，y 满足约束条件,
1,1,y x x y y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≤≤≥则y x z 25+=的最大值为 ( )
A ．－3
B.
5
2
C ．8
D ．4
9.设椭圆2222:+1(0)x y C a b a b =>>的焦距为6，离心率为3
4
. 则椭圆C 的方程为（ ）
A ．
221167x y += B ． 221169x y += C ． 2216428x y += D ． 2216436
x y +=
10.数列{a n }的通项公式为)12()1(1
+-=-n a n n ，则它的前200项之和200S 等于 ( )
A ．200
B ．－200
C ．400
D ．－400 11．设S n ＝1＋3＋5＋…＋(2n-1)n ∈N *
，则函数
1
)16()1()(+++=
n n
s n n s n n f 的最大值为( )
A.
120 B. 25
1 C.140 D.150 12.已知
21F F ，分别是椭圆C: 122
22=+b
y a x 的左、右焦点， 是以21F F 为直径的圆与该椭
圆C 的一个交点，且 12212F PF F PF ∠=∠, 则这个椭圆C 的离心率为 （ ） A.
13- B. 32-
C.
2
1
3- D.
2
3
2- 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若椭圆
19
252
2=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离为2，则点P 到另一个焦点F 2的距离为 14．设x ，y 都是正数，且
14
1=+y
x ，则 y x 4+的最小值 15.设椭圆
)50(12522
2<<=+b b
y x 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,则b 值为 16..若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n
＋n ，则数列{a n }的前n 项和为 三、解答题：(本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17. ( 满分10分)
设 公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若
4a 是37a a 与的等比中项,
3
1-=a
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 数列的前8项和8S .
18. ( 满分12分)
设p ：实数x 满足()()03<+-a x a x ， q ：实数x 满足12<-x . (1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
(2)若0a >,且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
19. ( 满分12分)
设椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点()
3,0，离心率为 2
1
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设斜率为1的直线l 过椭圆C 的左焦点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，
求AB 的中点M 的坐标．
20.( 满分12分)
设等比数列{a n }的各项均为正数，且1322
1=+a a ， 649a a =.
(1)求数列
{}n a 的通项公式；
n a a a a n b 3
1
3
13
13
1log log log log 2321
++++= ）设（
求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n b 1前n 项和n T ．
21.( 满分12分)
已知椭圆 C; )0(122
22>>=+b a b
y a x 长轴长为4，且椭圆 的离心率22．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设斜率为1且在y 轴上的截距为1的直线
与椭圆 C 交于 P ，Q 两点，
求三角形OPQ 的面积
22.( 满分12分)
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
=年数总费用年平均费用用几年报废最合理？最合理，那么该车辆使费用最低时，车辆报废千元。

若年平均护费用都比上一年多千元，以后每年维修养养护，开始一年需年开始，每年都需维修第年，车辆不需维修。

从万元。

最初险费及油费共计需各种保万元。

使用期间每年都，花费店买了一台家庭代步车某家庭从225428.84.S
2018—2019学年度高二上学期期中考试数学试卷(五校文)参考答案 一选择题 BCDAB, CCCAB, BA
二、填空题 ： 13， 8 14， 25 15， 4 16，2
)1(2
1
21-+++n n n 三、解答题17解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由4a 是37a a 与的等比中项得732
4
a a a =
又31-=a 所以 )36)(32()33(2
--=-d d d 分4 解得2=d 。

因此52-=n a n 。

分5 （2）由（1）及条件得2=d 31-=a
322782
13-88)1(2181=∙∙∙+∙==-+=）（时得，由S n n n na S n 分10
18．试题解析：(1)由()()）（003><+-a a x a x 得，
a
x a 2<<
-
当1a =时，31<<-x ，即p 为真时实数x 的取值范围是31<<-x
由12<-x ，得31121<<<-<-x x 得，
， 即q 为真时实数x 的取值范围是，31<<x ……（4分）
若p q ∧为真，则p 真且q 真，
∴实数x 的取值范围是:.31<<x ……（6分）
(2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则p q ⌝⇒⌝，
∴p q ⇒， ……（8分）
由()()03<+-a x a x ， 0a >，得a x a 3<<-即p 为真时实数x 的取值范围
q 为真时实数x 的取值范围是，31<<x ……（10分）
∴133≥≥a a 得 ， 验证知满足题意
∴实数a 的取值范围是. 1≥a ……（12分）
19.（1）解：由椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 可知：焦点在x 轴上，过()
3,0
∴3=b
由离心率e= a c = 221a
b -= 21，解得：42
=a ， ……（4分）
∴椭圆的标准方程为： ； ……（6分）
（2）解：由题意可知：直线方程为y=x+1，设A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），)(o o y x M ，
由113
42
2+==+x y y x 且整理得：7x 2+8x ﹣8=0， 显然0>∆ ……（8分） 设A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），)(o o y x M ， 由韦达定理可知：x 1+x 2= 7
8
-， y 1+y 2=x 1+1+x 2+1= 76 ……（10分）
由中点坐标公式可知74
221-=+=
x x x o ，7
3221=+=y y y o ∴AB 的中点M 的坐标)7
3,74(-． ……（12分）
20．解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由649a a =得5
1319q a q a =
所以q 2
＝19
.
由条件可知q >0，故q ＝1
3. ……（4分）
由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，
所以a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3n . ……（6分）
（2）
)111(2)1(2182
)1(321log log log log 3
1
3
13
13
1321
+-=+==+=++++=++++=n n n n b n n n b n a a a a n n 故分
……（10分）
n n b b b T 11121+++=
=2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝
1
2+n n . 所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 的前n 项和为. n T =1
2+n n
… …（12分）
21.（1）解：因为长轴长为4，所以a=2，
又因为椭圆C 的离心率为
所以2=c ，……（4分）
2,2222=∴-=b c a b
所以椭圆C 的方程为：
．……（6分）
（2）解：设
的方程为1+=x y
由1422
2
+==+x y y x 且得，02432
=-+x x
显然0>∆ ……（8分）
∴ 3
2
,342121-=
-=+x x x x ∴ ()
[
]
35
43243424)1(2212
212=
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙=-++=
x x x x k PQ ……（10分）
又O 到直线x-y+1=0的距离
2
1=
d
所以310
2
13542121=
∙∙=∙=
∆d PQ S OPQ ……（12分）
()
则由题意知：
万元，年平均费用为年解：设该车使用年限y N x x ,.22+∈
())
(2.4/,4,2
8.828.8401min
万元时当显然时当==+=+=≤<y x x
x x y x
……（4分）
()()()()()
()分
万元时即当且仅当万元分
所以分
，公差为首项为次成等差数列，
年开始每年维修费用依从第由题意知时当103.3/,10,10
103.31013101021013101010
1013
10182.05421
42.028.862.02.05:,52min 2 ====+∙≥++=++=∙--+
-++=
≥y x x
x x x x x x x x x
x x x x y x
()()分
年该车报废最合理故使用万元，最小为年平均费用时可得，当，
由12.103.3,1021 y x =。