湖南师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析

A．若 c 3 ，则 c c b 2
B． c b 1
C． t R ，有 b ta 3 2
D．若 c a 1 b ， R ，则 3
6
三、填空题
试卷第 3 页，共 7 页
13．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了 60 根棉花的纤 维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下： 25 28 33 50 52 58 59 60 61 62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195 202 206 233 236 238 255 260 263 264 265 293 293 294 296 301 302 303 305 305 306 321 323 325 326 328 340 343 346 348 350 352 355 357 357 358 360 370 380 383 385
机会，从第Ti2 题开始继续答题；直到 3 道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为 0 分，若挑战结束后，累计得分不低于 7 分，则选手挑战成功，否则挑 战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为 3 ，各次作
4 答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对 2 道题的概率 P1 ；
cos a,b 2 ， 2
又
a,b
0,
，
a,b
3 4
，即
a
与b
的夹角为135
.
故选：D.
3．D
【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
事件 A 包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件 B 包含的结果有：(正，反)，(反，反)，
A．1
B．2
C． 1
2
D．3
5．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 b c2 a2 2 2 bc ，且
sin B 2sin A ，则 sin C （ ） 2
A． 1
2
B． 3 2
C． 6 2 4
D． 6 2 4
6．概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔 帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌
(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表)及中位数(保留一位小数)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定？ 20．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，
C．甲 400 法郎，乙 300 法郎
D．甲 350 法郎，乙 350 法郎
7．某班有 n 位同学，统计一次数学测验的平均分与方差．在第一次计算时漏过了一位
同学的成绩，算得 n 1位同学的平均分和方差分别为 x1 、s12 ，所以只好再算第二次，算
得 n 位同学的平均分和方差分别为 x2 、s22 ，若已知该漏过了的同学的得分恰好为 x1 ，则 （）
处比沿路径 DA 和 AB 从 D 处到 B 处近10 米.
(1)若 CD 14 3 ，求 sin BAD 的值和 AC 的长度； (2)设 AC 与 BD 交于点 E ，若 S ABD SADC ，现公园管理方为了建一个更大的圆形花坛， 应该选择△ABD 的内切圆还是△ADC 的内切圆？
22．已知函数 f x x x a 1． (1)当 a 2 时，写出 f x 的单调区间（不需要说明理由）； (2)当 a 0 时，解不等式 f 2x 1 f x 2 2 ；
A． x1 x2 ， s12 s22
B． x1 x2 ， s12 s22
C． x1 x2 ， s12 s22
D． x1 x2 ， s12 s22
8．如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面为直角三角形， ACB 90 ， AC 6 ，
BC CC1 2 ，P 是 BC1 上一动点，则 CP PA1 的最小值为（ ）
试卷第 2 页，共 7 页
已知：利润 收入 支出，根据该折线图，下列说法正确的是( ) A．该企业 2021 年第一季度的利润约是 105 万元 B．该企业 2021 年第一季度的利润低于第二季度的利润 C．该企业 2021 年 4 月至 7 月的月利润持续增长 D．该企业 2021 年 11 月份的月利润最大 11．如图所示，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， M ， N 分别是 AD ，CC1 的中 点， P 是线段 AB 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
试卷第 5 页，共 7 页
主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出 3 道题，编号为T1 ，T2 ，T3 ，电脑依次出题， 选手按规则作答，挑战规则如下： ①选手每答对一道题目得 5 分，每答错一道题目扣 3 分； ②选手若答对第Ti 题，则继续作答第Ti1 题；选手若答错第Ti 题，则失去第Ti1 题的答题
故选：B
2．D
【分析】根据 a b 2 25，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得 cos a,b ，结
合向量夹角范围可得结果.
【详解】 a 2,1 ， a 4 1 5 ，
a b 2 a2 2a b b 2 a 2 2 a b cos a,b b 2 15 10 2 cos a,b 25 ，解得：
金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满 5 局者，可获得全部赌金 700 法郎，当甲赢了 4 局，
乙赢了 3 局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局
输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（ ）
A．甲 525 法郎，乙175 法郎
B．甲 500 法郎，乙 200 法郎
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湖南师范大学附属中学 2021-2022 学年高一下学期期中 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 5 的共轭复数是（ ） i2
A． 2 i
B． 2 i
C． 2 i
D． 2 i
2．已知向量 a 2,1 ， b 10 ， a b 5 ，则 a 与 b 的夹角为（ ）
显然事件 A，事件 B 都含有“(正，反)”这一结果，即事件 A，事件 B 能同时发生，
因此，事件 A，事件 B 既不互斥也不对立，A，B 都不正确；
事件 A，事件 B 中有不同的结果，于是得事件 A 与事件 B 不相等，C 不正确；
由古典概型知， P(A) 2 1 , P(B) 2 1 ，所以 P(A) P(B) ，D 正确.
1
uuur uuur mAM nAN
m
uuur AM
n
uuur AN
，
2
2
2
2
因为 M、O、N 三点共线，所以 m n 1，解得 m n 2， 22
故选 B．
5．C
【分析】根据余弦定理化简 b c2 a2 2 2 bc 可得 A 135 ，进而得到 C 15 ，再利
用两角差的正弦公式求解即可
试卷第 4 页，共 7 页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
边上的中点为 D．
(1)求四棱锥 C1 A1B1BA的体积； (2)求三棱柱 ABC - A1B1C1 截去三棱锥 C1 ACD 后所得几何体的表面积． 19．从某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频 数分布表：
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
42
42
故选：D
4．B
【分析】本题应用两个结论：
AO 1 AB AC ，点 O 是 BC 的中点； 2
答案第 1 页，共 14 页
uur uuur uuur 三点共线：若 A、B、C 三点共线，则 OA OB OC, 1．
【详解】由题意得
uuur AO
1
uuur uuur AB AC
A． 5 2
B． 5 3
C． 2 10
D． 3 10
二、多选题
9．下列关于复数的命题是真命题的是（ ）
A． i i2 i3 i4 0
B．若 z 1，则 z 1 z
C．若 z z 0 ，则 z 是纯虚数
D．对任意实数
a
0
，都有
2022
a
1 a
1
i
是虚数
10．某企业 2021 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示．
【详解】在△ ABC 中， b c2 a2 2 2 bc ，即 b2 c2 a2 2bc ，由余弦定理得：
cos A b2 c2 a2 2 ，而 0 A 180，解得 A 135 ，由 sin B 2 sin A 1 ，显然
2bc
2
2
2
0 B 90 ，则 B 30 ，所以 C 15 ，所以
由此，你估计这批棉花的第 95 百分位数为________． 14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为 a ，第二次出现的点数记为 b ，则 a 2b 的概率为________． 15．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A B ，且 2 3 b cos A c cos A a cosC ，若 BC 边上的中线长 AD 7 ，则 ABC 的面积为
A．当点 P 与 A，B 两点不重合时，平面 PMN 截正方体所得的截面是五边形
B．平面 PMN 截正方体所得的截面可能是三角形
C．△MPN 一定是锐角三角形
D．△MPN 面积的最大值是 21 2
12．已知向量 a ，b
，c 满足
a
2，
b
1，ab
1，
2
c
2b c
3 4
0 ，则下列说法正
确的是（ ）
五、解答题
ur
17．在 ABC 中，向量 m 2cos B,1 ，向量 n 1 sin B, 3 sin 2B ，且满足
mn mn ． (1)证明 m n ，并求角 B 的大小； (2)求 sin A cosC 的取值范围． 18．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，底面 ABC 是正三角形， AB AA1 2 2 ， BC
3 ________．
四、双空题 16．在棱长为 4 2 的正方体空盒内，有四个半径为 r 的小球在盒底四角，分别与正方体 底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为 R 的大球放在四个小球之上，与四 个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径 的最大值为________；大球体积的最小值为________．
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了 2 道题的概率 P2 ；
（3）选手甲闯关成功的概率 P3 ．
21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所
示的四边形 ABCD ，已知 cos ABD 13 ， cos ADB 11 ，△BCD 是以 D 为直角顶点
14
14
的直角三角形．拟修建两条小路 AC 、BD（路的宽度忽略不计），沿路径 DB 从 D 处到 B
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(3)若存在
x 1
，
x2
,
ln
2
，使得
f
ex1
f
ex2
3 ，求实数 a 的取值范围．
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1．B
参考答案：
【分析】根据复数的除法运算化简 5 ，根据共轭复数的概念可得答案. i2
【详解】 5 5(i 2) 2 i ,
i2
5
故 5 的共轭复数为 2 i ， i2
sin C sin 60 45 sin 60cos 45 cos 60sin 45 6 2 ．
4 故选：C．
6．A
【分析】利用独立事件计算出甲、乙各自赢得赌金的概率，由此可求得两人各分配的金额.
【详解】甲赢得
700
法郎的概率为
P1
1 2
1 2
1 2
3 4
A． 45
B． 60
C．120
D．135
3．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A=“第一枚硬币正面朝上”，事件 B=“第二枚硬币
反面朝上”，下列结论中正确的是（ ）．
A．A 与 B 互为对立事件
B．A 与 B 互斥
C．A 与 B 相等
D． P A PB
4．如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同 的两点 M，N．设 AB mAM ， AC nAN ，则 m n （ ）