重庆市巴蜀中学2023-2024学年高三上学期数学第四次测试试卷答案

数学参考答案·第1页（共7页）
巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（四）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号12345678答案A
B
D
C
B
D
B
B
【解析】
1．由{|3}N y y x ==-，得[0)N =+∞，，所以[06)M N = ，，故选A ．3．11111223211226AB AC A AP AB AD B AC =+==++ ，所以2
3
λμ+=，故选D ．
4．回归直线过点(30.2)-，，
所以回归方程为ˆ 2.8y x =-+，依题意1
(21012)05
x =⨯--+++=，11
(5421)(12)55y m m =++++=+，又回归直线方程ˆ 2.8y
x =-+必过样本中心点()x y ，，所以1
(12)0 2.85
m +=-+，解得2m =，故选C ．
5．122n n a a +=
-，则13a =，234514
2323a a a a =-===，，
，，所以数列{}n a 的周期为4，则20231
2
a =
，故选B ．6．4π3tan 12α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以5π3sin 12α⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以πππsin 2sin 232
12αα⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=-+=
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ7cos 212sin 121225αα⎛⎫⎛
⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．或者利用齐次式，故选D ．
7．24C y x =：的焦点(10)F ，，设点()M x y ，，则22222(2)2(1)y x y x -=+-+，化简得
22(3)2x y +-=，圆心(30)D ，，||||||2||QM QF QD QF +-+≥，||QF 为Q 到准线1
x =-的距离，所以||||242QD QF +--≥，故选B ．
8．设()ln f x x x =，则()f x 的单调递减区间为10e ⎛⎫
⎪⎝⎭，，单调递增区间为1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，，极小值为
1
e
-．设2()(1)x x a x a ϕ=-++-，开口向下，其中(1)(1)0f ϕ==，故1为满足要求的一个
数学参考答案·第2页（共7页）
整数解，要想满足不等式2()(1)f x x a x a -++-≤的解集中恰有三个整数解，由数形结合可得(2)(2)(3)(3)(4)(4)f f f ϕϕϕ⎧⎪⎨⎪>⎩≤，≤，，即2ln 223ln 3624ln 4123a a a -+⎧⎪
-+⎨⎪>-+⎩≤，≤，，故22ln 263ln 324ln 412
3a a a ⎧
⎪+⎪
+⎪⎨
⎪
+⎪>⎪⎩
≤，
≤，，由于ln 20.6931ln 3 1.0986≈≈，，所以22ln 22 1.3862 3.3862+=+=，
63ln 363 1.0986
4.647922
++⨯≈=，故
63ln 3
22ln 22++<
，解得3ln 364ln 41223a a ⎧++⎫<⎨⎬⎩⎭
≤.此范围时，整数5a =，故选B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号9101112答案
ABC
BD
ABD
ACD
【解析】
10．π1()sin 262f x x ω⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
，因为2ππ2T ω=
=，所以1ω=，A 错误；由1ω=，得π1()sin 262f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当5π12x =时，π5πsin 20126⎛
⎫⨯
+= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于点5π1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，中心对称，故B 正确；当ππ66x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，时，πππ2662x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，可知函数()f x 在ππ66⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，∴()f x 的最小值为π1
sin 2166ππ62
f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦，故C 错误；D 正确，故选BD ．
11．由题意可得：1()(1)e (0)x f x f x f -''=+-，令1x =，得：(0)1f =，所以A 正确；∴
12
1e ()2
(1)x f x x f x -'=-+，∴1(1)(0)e 1f f -'==，解得(1)e f '=，所以B 正确；所以有2
()()1e e 12
x x f x x f x x x '=-+
⇒=-+，(0)0f '=且()f x '在R 上单调递增，所以C 错误；而()(0)1f x f =≥，故选ABD ．
12．因为(4)a a b ⊥- ，所以60a b 〈〉=︒ ，，通过作图得||a tb -
()t ∈R 的最小值为3，所以A
正确；222222222||4245210ma nb m n mn m n m n m n +=+++++=+=
≤，所以B 错误；如
数学参考答案·第3页（共7页）
图，作半径都等于2且公共弦长等于2的两个圆，2OA a OB b OC c === ，，，则2AC c a BC c b =-=- ，，因为
30ACB ∠=︒，所以230c a c b 〈--〉=︒
，，符合题意，由图可知，
当OC 同过两圆的圆心时||c 最大，此时||c
的最大值等于圆心距
加半径为232+，所以C 正确；当C 在圆O 的优弧AB 上时，满足条件，此时||c
最小
且为2，故选ACD ．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
141516答案
13
22
-
19⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，15
3
【解析】13．15i (15i)(1i)1i 5i 5
23i 1i (1i)(1i)2
z +++++-=
===-+-+-，则||13z =.14．因为(1)(31)a t b ==- ，，，，(2)a b b +⊥ ，
所以2
(2)22(3)910a b b a b b t +=+=-+++= ，解得2t =-，所以(12)(31)a b =-=- ，，，，52cos .2
||||
510
a b
a b a b -〈〉==
=-
⨯
，15．31n n a =-，则233n
n k -≥
恒成立，令233n n n b -=，则11843
n n n n
b b ++--=，当2n ≥时，1n n b b +≤，所以n b 的最大值是21
9
b =
，故1.
9k ≥16．设ABC θ∠=，BC m =，则21sin ABC S m θ==△，得2
1
sin m θ
=
，在ABC △中，22254cos 54cos sin AC m m θθθ
-=-=
，令54cos sin y θ
θ-=
，得sin 4cos 5y θθ+=，从而216sin()5y θϕ++=，所以2165y +≥，得3y ≥，所以当AC 取得最小值时，3
sin 5
θ=
，进而153
BC =
.
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四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）
解：（1）设{}n a 公差为d ，依题意得11133425a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，，
解得112a d =⎧⎨
=⎩，
，所以1(1)21n a a n d n =+-=-*()n ∈N ．…………………………………………………（5分）
（2）因为122142
n n
n a
n n b a -==+
+ *()n ∈N ，所以2
24()1142
(41)2143
n n n T n n -=+=+--⨯ ．
…………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）
解：（1）因为222()sin ()sin a c C bc c B -=-，所以222()()a c c bc c b -=-，
即222122
b c a bc +-=，………………………………………………………………………（3分）
所以1
cos 2
A =
.又0πA <<，所以π
3A =
．………………………………………………………………（6分）（2）由（1）可得3sin 2
A =
.因为ABC △的面积13
sin 22
bc A =
，所以2bc =．………………………………………………………………………………（8分）由余弦定理可得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，所以2()10b c +=，则10b c +=.
故ABC △的周长为210a b c ++=+．………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）
解：（1）甲通过初试的概率431
442
14
6C C C 93C 155P +===，…………………………………（2分）乙通过初试的概率为31
33
246C C 1C 5
P ==，
……………………………………………………（4分）所以甲、乙至少一人通过初试的概率为2417
1.5525
P =-⨯=……………………………（6分）
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（2）甲合格的概率431
23442
3334466C C C 11391(C C )C 8C 8120P ⎛⎫=-++=
⎪⎝⎭ ，………………………（9分）乙合格的概率为3123
33
4334
6
C C 484C C C 272727P ⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭ ，34P P >，所以甲更大.…………………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（1）解：在数列{}n a 中，*2()n n S na n k n +∈=+N ①，当1n =时，1121a a k =++，得11a k =+；当2n =时，22222S a k =++，得112
k
a =+
，所以12015k a a ===，，．………………………………………………………………（2分）当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，①-②得1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥③，
11(3)12(1)(2)n n a a n n n n n -=-----≥，111
(3)1122
n n a a n n n n n --=-----≥，所以
21
14(2)1111
n a a n n n -=-=--≥，43(2)n a n n =-≥，由因为11a =满足该式，
所以43n a n =-．…………………………………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）可得11
(21)
n S n n =-，当1n =时，132
111S =<≤，当2n ≥时，
11111111
11(21)22(1)212n S n n n n n n
n n ⎛⎫==<=
-
⎪---⎛
⎫⎝⎭
- ⎪
⎝
⎭ ，………………………………………………………………………………………（7分）且2
111111111112224222n n n n n ⎛⎫
⎪>=- ⎪⎛⎫ ⎪--+- ⎪
⎝⎭⎝⎭
，……………………………………（10分）
所以12111n n T S S S =
+++ 111111111121222321n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 313
222
n =-<，
数学参考答案·第6页（共7页）
且121111111111111355711222222222n n T S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=+++>+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12141
11233212n n ⎛⎫
⎪=+-=-
⎪+ ⎪+⎝⎭
，综上
4133212
n T n -<+≤．………………………………………………………………（12分）21．
（本小题满分12分）解：（1）当AB 过焦点1F 时，直线2AF 过点304⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以椭圆过点312⎛⎫- ⎪⎝⎭，，
故22221
9141a
b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩
，
，解得2
2
43a b ==，，
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=．………………………………（4分）（2）设11()B x y ，，22()P x y ，，有11()A x y -，，
设直线PB 方程为1x my =+，联立22
143
x y +
=，得22(34)690m y my ++-=，韦达定理得：1212
2269
3434m y y y y m m -+=-
=++，．……………………………………（6分）直线AP 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，得12
21
12
T y x y x x y y +=+122112(1)(1)y my y my y y +++=
+1212
214my y y y =+=+，
所以点T 为定点(40)，．…………………………………………………………………（9分）211(4)314TAB
x S x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭△，设2()(4)314x f x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭，(20)x ∈-，，
……………………………………………………………………………………（10分）2
23332()314x x f x x --'=⎛⎫- ⎪
⎝
⎭，当(213)x ∈--，时，()f x 单调递增；当(130)x ∈-，时，()f x 单调递减，
所以TAB △面积最大时，点A 的横坐标为13-．…………………………………（12分）
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22．
（本小题满分12分）解：（1）切点为211e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，由221()e ln 11e x x f x x x x --⎛⎫'=-++-+ ⎪⎝⎭，斜率为21e -，
所以切线方程为21e y x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．…………………………………………………………（4分）
（2）因为2e x x ->，所以ln 20x x -+>，由()0f x ≤，得2
2
1e ln 2e x x a x x x ----+-≤.
因为22
22
1e 11
ln 2e ln 1e e x x x x x x x x x -----=--+--，令2
1e x x t -=
-，因为2e x x ->，且2
1e
x x
t --'=
，所以当1x =时，t 最大，为e 1-，故0e 1t <-≤；……………………………………（6分）令11()ln(1)F x x x =-+，(0e 1]x ∈-，，则2
2
22ln (1)1()ln (1)
x x x F x x x +-+'=+，令22
()ln (1)1
x g x x x =+-
+，则222ln(1)1()1x x
x x g x x ++-
+'=+，令22()2ln(1)1
x x
h x x x +=+-+，则22()0(1)x h x x -'=
<+，…………………………………（9分）所以()h x 在(0e 1]-，上单调递减.
又因为(0)0h =，所以()0h x <，即()g x 在(0e 1]-，上单调递减.因为(0)0g =，所以()0g x <，即()F x 在(0e 1]-，上单调递减，所以()F x 最小值为1(e 1)1e 1
F -=--，所以1
1e 1
a -
-≤．………………………………………………………………………（12分）。