福建省长乐二中等五校2014届高三数学上学期期中联考试题 文(含解析)新人教A版

某某省闽侯二中、闽清高级中学、永泰二中、连江侨中、长乐二中
2014届高三上学期期中联考数学（文科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项
是符合题目要求的.
1.设集合{|12}A x x =-<<，集合B =N ，则A B =（ ）
A.{0，1}
B.{1}
C.1
D.{-1，0，1，2}
2.已知复数1i
z i
=-（i 为虚数单位）则复数z 在复平面对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C.第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】 试题分析：1i z i
=
-(1)11222i i i +==-+，所以，复数z 在复平面对应的点11(,)22-位于第
二象限，选B.
考点：复数的代数运算，复数的概念.
3.“△ABC 的三个角A ，B ，C 成等差数列”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A
4.等差数列{}n a 中，若28515a a a +=-，则5a 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
5.函数62ln )(-+=x x x f 的零点所在的区间为（ ） A.（1,2） B.（2,3） C.（3,4） D.（4,5） 【答案】B
6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为,,a b c ,若︒===
45,2,3B b a ，则角A= （ ）
A ．30°
B ．30°或105°
C ．60°
D ．60°或120° 【答案】D 【解析】
7.在ABC ∆中, 1AB =,2BC =，E 为AC 的中点 ,则()BE BA BC •-=（ ） A ．3
B ．
3
2
C ．-3
D ．32
-
8.a 、b 为平面向量，已知)18,3(2),34(=+=b a a ，，则a 、b 夹角的余弦值等于（）. A ．
865 B ．865- C ．1665 D ．16
65
-
9.在△ABC 中，若2
AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则△ABC 是( )
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
10.已知定义在R 上的函数()f x 是偶函数，对时，)2013(f 的值为（ ） A ．－2 B. 2
C.4
D.－4
11.在数列{}n a 中，12a =，11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a =( )
A ．2+(n －1)lnn
B 2+lnn
C ． 2+nlnn
D ．1+n+lnn
【答案】B 【解析】
2
)3()2()2( -=--=+∈f x f x f R x ，当有都
12.式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②2
2
2
),,(c b a c b a +-=σ；
③C B A C C B A 2
cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是三角形的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（ ）
A ．0 B. 1 C. 2 D. 3
，
∴A B C B C A σσ=（，，）（，，），故是轮换对称式， 故选C ．
考点：新定义，三角函数的诱导公式、两角和差的三角公式.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
15.已知数列{}n a 的递推公式*2
,),n n n n a N a n ⎧⎪
=∈⎨⎪⎩为奇数（n 为偶数
，则2425a a +=；数列{}n a 中第8个5是该数列的第项
16.如图所示，()f x 是定义在区间[,](0)c c c ->上的奇函数，令()()g x af x b =+，并有关于函数()g x 的四个论断：
①若0a >，对于[1,1]-内的任意实数,()m n m n <，()()
0g n g m n m
->-恒成立；
②函数()g x 是奇函数的充要条件是0b =； ③任意a R ∈，()g x 的导函数()g x '有两个零点； ④若1,0a b <≥，则方程()0g x =必有3个实数根； 其中，所有正确结论的序号是________
【答案】①② 【解析】
试题分析：①对于[,](0)c c c ->内的任意实数,()m n m n <，
()()
0g n g m n m
->-恒成立，
由函数的图象可以看出，函数在[1,1]-内单调增函数，故命题正确；
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分12分) 已知向量b b a b y a
⊥+-==)2(),3,1(),,1(且
（1）求
a ，并求a 在
b 上的投影
（2）若()()
b a b a k 42//2-+，求k 的值，并确定此时它们是同向还是反向？ 【答案】（1）102a b b
⋅=-；（2）1k =-.
1
2(1,8),2(24)2
ka b ka b a b ∴+=-∴+=--24ka b a b ∴+-此时与2反向…12分
18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，22cos =B ，2
1)2sin(=-C π． （Ⅰ）求A sin 的值；
（Ⅱ）若32=AB ，求ABC ∆的面积．
【答案】（Ⅰ）
26
4
+. （Ⅱ）33+. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用三角函数诱导公式及两角和差的三角函数.
19.（本小题满分12分）已知等差数列{}()n a n *
∈N 的前n 项和为n S ，且335,9a S ==.
(I)求数列{}n a 的通项公式；
(II)设等比数列{}()n b n *
∈N ，若2235,b a b a ==，求数列{}n b 的前n 项和n
T
(Ⅲ)设1
1
+=
n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S
【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1(1)1(13)1(31)1132
n n
n n b q T q -⨯-===---；(Ⅲ)
21n n +. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）两种思路，一是根据等差数列的通项公式、求和公式，建立1,a d 的方程组； 二是利用等差数列的性质，由39S =，得23a =，
结合35a =，确定2d =.
法二：由39S =，得239a =，所以23a =． ……………………（2分）
又因为35a =，所以公差2d =． ………………………（3分）
从而2(2)21n a a n d n =+-=-． …………………（4分）
（Ⅱ）由上可得223b a ==，359b a ==，所以公比3q =， 从而，11b =…………………………（6分）
所以．1(1)1(13)1(31)1132
n n n n b q T q -⨯-===---…………………（8分）
20.（本小题满分12分）设a ＝(2cos x ,1),b ＝(cos x 3sin2x ),()f x ＝a ·b ，x ∈R.
⑴ 若()f x ＝0且x ∈[0,
2
π],求x 的值； ⑵ 若函数()g x ＝cos()3x k πω-+ (0,k R ω>∈)与()f x 的最小正周期相同，且()g x 的图象过点(π6
，2)，求函数()g x 的值域及单调递增区间.
（2）由（1）知T π=∴22πωπ=
=()cos()2633g k πππ=-+=∴1k =……8分 ∴()g x ＝cos(2)13x π-+[]cos(2)1,13
x π-∈- ∴()g x 的值域为[]0,2，单调递增区间为,()36k k k z π
πππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦.…………12分
考点：平面向量的坐标运算，三角函数的和差倍半公式，三角函数的性质.
21.（本小题满分12分） 岛A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行，观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C 处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．
（I ）问：海监船接到通知时，距离岛A 多少海里？
（II ）假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．
22.(本小题满分14分)已知函数()()2
f x x x a =-，a 是大于零的常数．
（Ⅰ）当1a =时,求()f x 的极值；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间[]1,2上为单调递增，某某数a 的取值X 围；
(Ⅲ)证明：曲线()y f x =上存在一点P ，使得曲线()y f x =上总有两点N M ,，且PN MP =成立.
P 322(,)327
a a . 设(,)M x y 是图象任意一点,由MP PN =，可得34
4(,
)327N a x a y --， 根据4()3
f a x -=3427
a y -，可知点N 在曲线()y f x =上，作出结论. 本题难度较大，关键是能否认识到极大值、极小值点34(,)327a A a ,(,0)B a 的中点即为所求.
（Ⅱ）()2234f x x ax a '=-+，若函数()f x 在区间[]1,2上为单调递增，
则()22
340f x x ax a '=-+≥在[]1,2x ∈上恒成立，。