广东省2012届高三全真模拟卷数学理11.

广东省2012届高三全真模拟卷数学理科11
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知z 为复数，且满足23i z i =-，则复数z 的模为
A B. 5 C.
D. 13
2．已知2
{|1},{|}A x x B x x a =≤=<，且满足A B B =，则实数a 的范围是
A ．(1,)+∞ B. [1,)+∞ C. (1,1)- D. (,1]-∞ 3. 要得到函数sin 2y x =的图象，可由函数sin(2)3
y x π
=-
的图象按下列哪种变换面得到
A .向左平移
6π
个单位； B. 向左平移
3π
个单位；
C . 向右平移6π个单位；
D . 向右平移3
π
个单位；
4．一个几何体的三视图如图1所示，已知这个几何体的体积为h =
A
B. C. D.
5．如图2，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，对角线AC 、DB 相交于点O ，若AD a =，
AB b =，则AO =
A ．
4233a b - B ．1233a b + C. 2133a b - D. 21
33
a b +
6．设[][]0,3,0,4∈∈x y ，则点M 落在不等式组：23000+-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
x y x y 所表示的平面区域内的概率
等于
A ．
112 B. 316 C. 516 D. 13
７. 设1x e <<，则“2
(ln )1x x <”是“ln 1x x <”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
８．已知最小正周期为2的函数()y f x =，当[1,1]x ∈-时，2
()f x x =，则函数
5()()|log |g x f x x =-的零点个数为
A ． 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
9．公差不等于0的等差数列{}n a 中，235,,a a a 构成等比数列，742S =，则n a =
10. 已知函数()2ln 38,f x x x =+则0(1)(1)
lim
x f x f x
→+-＝
11.工厂从一批正四棱柱形状的零件中随机抽查了n 件，测得它们底面边长依次是1a 、
2a 、…、n a 。

则图3所示程序框图输出的=σ ．
12
.如图4，MON ∠的边OM 上有四点1234,,,A A A A ，ON 上有三点123,,B B B ，则以
1234123,,,,,,,O A A A A B B B 为顶点的三角形共有 个
M N
O
B1
B2
B3
图4
13．已知两定点)0,1(-M ，)0,1(N ，若直线上存在点P ，使得4=+PN PM ，则该直
线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是 ． ①1+=x y ②2=y ③3+-=x y ④32+-=x y 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 的极坐标方程为：
cos sin 0k ρθρθ-+=，其中0k >。

以极点为坐标原点，极轴为x 正半
轴，建立平面直角坐标系，在此坐标系下，曲线2C 的方程为cos sin x y α
α
=⎧⎨=⎩（α
为参数）。

若曲线1C 与曲线2C 相切，则k = 。

15．（几何证明选讲）如图5，半径是O 中，AB 是直径，MN 是过点A 的⊙O 的切线，,AC BD 相交于点P ，且030DAN ∠=，
2,9CP PA ==，又PD PB >，则线段PD 的长为 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且
8
3
ABC AB AC S ∆⋅=（其中ABC S ∆为ABC ∆ 的面积）。

（1）求sin A 的值；
（2）若2,b ABC =∆的面积3ABC S ∆=，求a 的值。

17、（本小题满分12分）某公司对工厂A 的一批产品进行了抽样
检测。

右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106]。

（1）求图中x 的值；
（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[)96,98的概率；
（3）经过考察后，该公司决定在2011年年初投资到工厂A50万元，到年底可能获利32%，
也可能亏损16%，且这两种情况发生的概率分别为合格产品和不合格产品的概率（若产品净重在[)98,104为合格产品，其余为不合格产品）。

设2011年底公司的投资总资产（本金+利润）为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

18．（本小题满分14分）如图，△ABC 的外接圆⊙O
，CD ⊥⊙
O 所在的平面，BE //CD ，CD=4，BC=2，且BE=1
，cos AEB ∠=
（1）求证：平面ADC ⊥平面BCDE ； （2）求几何体ABCDE 的体积；
（3）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为2
7
？若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由。

19．（本小题共14分）已知()ln f x x x =． （1）求函数()[,2](0)f x t t t +在＞上的最小值；
（2）已知1
2a
x
x >对任意(0,1)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
-
＞成立.
20、（满分14分）.已知圆2
2
2
:O x y b +=
与直线):2l y x =-相切。

(1) 求以圆O 与y 轴的交点为顶点，直线在x 轴上的截距为半长轴长的椭圆C 方程; (2) 已知点A )2
3,1(，若直线与椭圆C 有两个不同的交点E,F ，且直线AE 的斜率与直线AF
的斜率互为相反数;问直线的斜率是否为定值？若是求出这个定值;若不是，请说明理由.
21.（本小题满分14分）数列{}n a 中，若存在常数,*M n N ∀∈，均有||n a M ≤，称数列{}n a 是有界数列．．．．
；把1
1
||(*)n
n i i i L a
a n N +==-∈∑叫数列{}n a 的前．n 项邻差和．．．．
，数列{}n L 叫数列{}n a 的邻差和数列．．．．．。

（1）若数列{}n a 满足，*n N ∀∈，均有|3||1|6n n a a ++-≤恒成立，试证明：{}n a 是有界数列；
（2）试判断公比为q 的正项等比数列{}n a 的邻差和数列{}n L 是否为有界数列，证明你的结论；
（3）已知数列{}n a 、{}n b 的邻差和{}n L 与{}n
L '均为有界数列，试证明数列{}n n a b 的邻差和数列{}n
L ''也是有界数列。

参考答案
一、选择题：（5×8=40）
二、填空题（5×6=30）
9、22n - 10、10 11、
222121()n a a a n
++⋅⋅⋅+ 12、 42 13、① ④ 14 15、 6 三、解答题： 16．解：（1）83ABC AB AC S ∆⋅= ∴81
cos sin 32bc A bc A =⨯ …… 2分
∴sin 3
tan cos 4
A A A ==
……………………………… 3分 又22sin cos 1A A +=，(0,)A π∈
∴3sin 5A = ……………………………… 6分
（2）1133
sin 232255ABC S bc A c c ∆==⨯⨯== ∴5c = ………… 8分
∵3sin 5A = ， 3tan 4A = ∴4
cos 5
A = …………………… 9分
2222cos 13a b c bc A =+-=∴a = …………… 12分
17、解：（1）依题意及频率分布直方图知，()0.0750.1000.1250.1521x ++++⨯=， 2分
解得0.05x = ………… 3分 （2）法1：设所抽取到得产品的件数为X,由题意知，()~3,0.1X B ,因此
()()()0331
2322300.90.729
10.10.90.24320.10.90.027
P X C P X C P X C ==⨯===⨯⨯===⨯⨯= ………… 5分
所以至多有2件产品的净重在[)96,98的概率
()()()0120.7290.2340.0270.999P P x P x P x ==+=+==++=。

……… 7分
法2：恰好抽取到3件产品的净重在[)96,98的概率为
()3
3330.10.001P X C ==⨯= ………… 5分
所以至多有2件产品的净重在[)96,98的概率
()1310.0010.999P P x =-==-=。

………… 7分
（3）法1：ξ可能的值为：50×（1+32%）=66（万元）
50×（1－16%）=42（万元） ………… 8分
3(66)4
P ξ==
1
(42)4
P ξ==
………… 10分 故ξ的分布列为
………… 11分
31
66426044
E ξ∴=⨯+⨯=（万元）. ………… 12分
18．解：（1）∵CD ⊥平面ABC ，BE //CD
∴ BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AB …… 1分 ∴
cos BE AEB AE ∠=
=
∵BE=1 ∴
AE =
从而AB =
= …… 2分
∵⊙O
AB 是直径，∴AC ⊥BC
…… 3分
又∵CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥BC ，故BC ⊥平面ACD
BC ⊂平面BCDE ，∴平面ADC ⊥平面BCDE …… 5分 （2）由（1
）知：4AC =
=， …… 6分
111
()332ABCDE BCDE V S AC BE CD BC AC ==⨯+
120
(14)2463
=+= …… 9分
（3）方法一：
假设点M 存在，过点M 作MN ⊥CD 于N ，连结AN ，作MF ⊥CB 于F ，连结AF ∵平面ADC ⊥平面BCDE ，∴MN ⊥平面ACD ，
∴∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角 …… 10分 设MN=x ，计算易得，DN=
32x ，MF=3
42
x -
……
11分 故AM
=
==2
sin 7
MN
MAN AM
∠=
==
…… 12分 解得：83x =-（舍去） 4
3
x =， …… 13分 故23MN CB =
，从而满足条件的点M 存在，且2
3
DM DE = …… 14分 方法二：建立如图所示空间直角坐标系C —xyz ，则：
A （4，0，0），
B （0，2，0），D （0，0，4），E （0，2，1），O （0，0，0）
则(0,2,3)DE =- ……………………… 10分
易知平面ABC 的法向量为(0,2,0)OB =，
假设M 点存在，设(,,)M a b c ，则(,,4)DM a b c =-， 再设,(0,1]DM DE λλ=∈
00224343a a b b c c λλλλ==⎧⎧⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩
，即(0,2,43)M λλ-，从而(4,2,43)AM λλ=-- ………………………… 11分
设直线BM 与平面ABD 所成的角为θ，则：
22
sin cos ,7
2164AM OB θλ==
=
+ ………………………… 12分
解得42
33λλ=-=
或， ………………………… 13分
其中4(0,1]3λ=-∉应舍去，而2
(0,1]3
λ=∈
故满足条件的点M 存在，且点M 的坐标为4
(0,,2)3
………………………… 14分
19．解：（1）()ln 1f x x '=+， ………… 1分
当1
(0,),()0,()x f x f x e '∈<单调递减，当1(,),()0,()x f x f x e
'∈+∞>单调递增 …2分
①当1
0t e <<
时，12t e +> min 11
()()f x f e e
==-； ………………… 3分
②当12t t e ≤<+，即1
t e
≥时，[](),2f x t t +在上单调递增，
min ()()ln f x f t t t ==； ………………… 4分
所以min
1
1,0.()1ln ,t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥
⎪⎩
………………… 5分
（2）在1
2a
x
x >两边取对数得
1
ln 2ln a x x
>， ……………… 6分
由于01x <<，所以
1
ln 2ln a x x
>
， ………………… 7分 令1()ln g x x x =
，由（1）可知，当(0,1)x ∈时，max 1()()g x g x g e e ⎛⎫
≤≤=- ⎪⎝⎭
8分 所以ln 2
a
e >-，即ln 2a e >-。

………………… 9分 （3）问题等价于证明2
ln ((0,))x x x x x e e
>-∈+∞， ………………… 10分
由（1）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1
x e
=时取到， 11分
设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1()x x
m x e
-'=， ………………… 12分
易知max 1
()(1)m x m e
==-，当且仅当1x =时取到， ………………… 13分
从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>-成立 。

………………… 14分
20、解：(1)
因为直线):2l y x =-在x 轴上的截距为2，所以2a =，………………… 2分
直线的方程变
为
0y --=，由直线与圆相切得
b == …… 4分
所以椭圆方程为13
42
2=+y x ………………… 5分 (2)设直线AE 方程为2
3
)1(+
-=x k y ， ………………… 6分 代入13422=+y x 得：012)2
3(4)23(4)43(222=--+-++k x k k x k …… 8分 设E ),(E E y x ,F ),(F F y x ，因为点A )2
3
,1(在椭圆上，
所以2
24312
)23
(4k
k x E +--=， k kx y E E -+-=23
……………… 10分 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，
同理可得：224312)23(4k
k x F +-+=,k kx y F F ++-=23 ……………… 12分 所以直线EF 的斜率为2
12)(=-++-=--=E F F E E F E F EF x x k x x k x x y y k …………… 14分 21.解：（1）式子|3||1|6n n a a ++-≤可化为
343316n n n
n a a a a ≤-⎧⇒-≤≤-⎨---+≤⎩ ……………………… 1分 或3131316
n n n n a a a a -<<⎧⇒-<<⎨+-+≤⎩ ……………………… 2分 或112316
n n n n a a a a ≥⎧⇒≤≤⎨++-≤⎩ ……………………… 3分 综上可知42n a -≤≤，从而||4n a ≤，故{}n a 是有界数列。

……………… 4分
（2）由依题0,0n a q >>，11n n a a q -=，于是
1111111,1n n n n n a a a q a q a q q n --+-=-=-≥ 当1q =时，显然0n L =，故{}n L 为有界数列； ……………………… 5分 当1q ≠时，
1111111
1|||1||1|n n n i i n i i i i i L a a a q
q a q q --+====-=-=-∑∑∑ =2111(1...).n a q q q q --++++11|1|1n
q a q q
-=-- 当01q <<时，11||(1)n n n L L a q a ==-<，故{}n L 为有界数列； …………… 7分 当1q >时，∀常数(0)M M >，*n N ∃∈，当1log (1)q M n a >+时，有n L M >，此时{}n L 不是有界数列； ……………………… 8分 综上可知，当01q <≤时，{}n L 为有界数列，当1q >时，{}n L 不是有界数列。

……………………… 9分
（III ）若数列{}n a {n b }是有界数列，则存在正数12.M M ，对任意的,n N ∙∈有 111||n
n i i i L a a M +==-≤∑ ，121
||n
n i i i L b b M +='=-≤∑ ……………………… 10分 注意到112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-++++-+ 11221111...n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+……………………… 11分 同理：21n b M b ≤+ 记111K M a =+，222K M b =+
111111n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+- 1112111n n n n n n n n n n b a a a b b K a a K b b +++++≤-+-≤-+- …………………
12分 因此 112111111
||||||||n
n n
n n i i i i n n n n i i i L L a b a b K a a K b b ++++=====-≤
-+-∑∑∑ 2111211211
||||n n
n n n n i i K a a K b b K M K M ++===-+-≤+∑∑
故数列{}n n a b 的邻差和数列{}n L ''也是有界数列。

……………………… 14分。