广西桂林市第十八中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题(理)

广西桂林市第十八中学2019-2020学年
高二上学期第一次月考（理）
注意事项：
① 试卷共2页，答题卡2页。

考试时间120分钟,满分150分；
②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；
② 请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题包括12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分） 1. 已知集合{}
{}2
|540,|2A x x x B x x A
B =-+<=≤=，则( )
A.()01，
B.(]02， C .()1,2 D .(]12， 2. 若△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则cos()A C +=( )
A.
12
B.
32
C.12
-
D.32
-
3. 在ABC ∆中，若2=a ，23b =， °120B =， 则A =( )
A. ︒30
B. ︒30或︒150
C. ︒60
D. ︒60 或 ︒120 4. 四张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是( ) A.
B. C. D. 5. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋y ≤1，
y ≥－1，
则z ＝2x ＋y 的最大值是( )
A.2
B.3
C. 4
D.5 6. 已知3sin(),45π
α-=则2cos (+)4
π
α=( ) A.
2425 B.1625 C.925 D.725
7. 设{}n a 为等差数列, 其前n 项和为n S .若81126a a =+，则9S =( ) A. 54
B. 40
C.96
D.80
8. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c 且3,1,b c ==2cos ,a b B =则a =( )
A. 2
B. 3
C. 23
D. 32
12132334
9. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( ) A.
22 B.
52
C.62
D.3
10. 若对任意2
0,31
x
x a x x >≤++恒成立，则a 的取值范围为 ( )
A. 1[,)3
+∞ B. 1(,)3
+∞ C. 1(,)5
+∞ D. 1[,)5
+∞
11. 若,a b 是函数2
()(0,0)=-+>>f x x px q p q 的两个不同的零点，且,,2-a b 这三个数
可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则+=p q ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 12.若函数2()()2
x x x
f x kx m e e x -=
-++-有5个不同的零点，则k 的取值范围是( ) A. (,1)-∞- B.(1,0)- C. (1,)-+∞ D. (,1)-∞
第II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量(2,1),(1,)==a b m ，若//，则实数m 等于 . 14.已知0,0,x y >>且1,x y +=则
11
x y
+最小值是 . 15.设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知19a =，2410a a +=，n T 为数列
{
}n
S n
的前n 项和，则n T 的最大值为 . 16.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是a b c ，，，若()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-， 且23a =，则ABC △面积的最大值是 . 三、填空题（本题包括6小题，共70分）
17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c 已知
2sin 1sin sin a b C b a A B +=+⋅
(1) 求角C 的大小； (2) 若3
2
ABC S =，且2a b =，求c 的值.
a b
18.（本小题满分12分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质
量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：
时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 车流量（x 万辆） 10 9 9.5 10.5 11 8 8.5 空气质量指数y
78
76
77
79
80
73
75
(1) 根据表中周一到周五的数据，求y 关于x 的线性回归方程；
(2) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归方程y bx a =+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
()()
,()
n
i
i
i n
i
i x x y y b a y bx
x x ==--=
=--∑∑
其中：51
()()5,i i i x x y y =--=∑ 5
21
() 2.5
i
i x
x =-=∑
19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD AC ⊥，AC 交BD 于点O . (1) 证明：平面PBD ⊥平面PAC ； (2) 若3
3
DP DA DB PB ===
,求二面角A -PB -C 的余弦值.
20.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1()(2)n n n n S S n S +-=+. (1) 设n
n S b n
=
，求证：数列{}n b 为等比数列； (2) 设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T .
21. (本小题满分12分)设2
()(1) 1.=-++f x x m x (1) 若1≥m ，解不等式()1<-；f x m
(2) 设,a b 为方程()0f x =的两个根，证明：22
22().a b a b +≥-
22. (本小题满分12分)已知圆2
2
:2430.++-+=C x y x y (1) 若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求该切线的方程；
(2) 点P 在直线:2430l x y -+=上，过点P 作圆C 的切线，切点记为M ，求使||PM 最小
的点P 的坐标.
——★ 参*考*答*案 ★——
一、 选择题
1-5：DCABB 6-10：CACBD 11-12：CA 二、 填空题 13
．
1
2
14. 4 15. 45 16. 3
三、 解答题
17. （1）
化简得
所以 ……………（5分）
（2）由题易知 ………..8分
得 ……………（10分） 18（1）1099.510.511105x ++++==， 7876777980785
y ++++==．
51
()()5i
i
i x x y y =--=∑，5
2
1
()
2.5i
i x x =-=∑，
∴ 5
1
5
2
1
()()
5
ˆ22.5
()i
i
i i
i x x y
y b
x
x ==--==
=-∑∑．… ∴ ˆˆ7821058a
y bx =-=-⨯=． ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ258y
x =+． ……………（7分） （2）当x =8时，ˆ285874y
=⨯+=．满足|74-73|=1<2， 当x =8.5时，ˆ28.55875y
=⨯+=．满足|75-75|=0<2， ∴ 所得的线性回归方程是可靠的． ……………（12分）
19（1）底面ABC 是菱形
2222
1,1a b c a b c b a ab ab ab
++=+=+由正弦定理得即2221
22
a b c ab +-=12由余弦定理得cosC=;3
C π
=
1
33,2242
ABC ab Λ=S =absinC=
ab=所以1b =又a=2b,所以a=2,222由余弦定理知c =a +b -2abcosC=4+1-2=33c =
AC BD ⊥
又,,PD AC PD BD D BD =⊂⊥∩平面PBD
AC ⊥平面PBD
又AC ⊂平面PAC
平面PBD ⊥平面PAC ……………（6分） （II ）不妨设3PB =
,则1DP DA DB ===
作AE PB E ⊥于，连结CE
由（I ）知AC BP ⊥，PB ⊥平面AEC 故CE PB ⊥,
则AEC ∠即二面角A PB C --的平面角 在ACE ∆中，7103,,22AC OP PA ==
=,13
4
AE CE == 11
cos 13
AEC ∠=-
……………（12分） 20(1)证明：1()(2)n n n n S S n S +-=+由整理得12(1),n n nS n S +=+
121n n S S n n +∴
=⋅+ 而111,11
S
a =∴= ∴数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以1为首项，
2为公比的等比数列. ……………（6分）… （2）由（1）知
112,2n n n
n S S n n
--=∴=⋅， 0121
1222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯①
12321222322n
n T n ∴=⨯+⨯+⨯+
+⨯②
①-②得1231122222n n n T n --=++++
+-⨯
1(12)2(1)2112n n n n T n n --=-⨯=-⨯--
(1)21n n T n ∴=-⨯+ ……………（12分）
21（1）由()1f x m <-得：2
(1)0x m x m -++<
即：(1)()0x x m --<
① 当1m =时，不等式为2
(1)0x -<，不等式解集为∅； ② 当1m >时：不等式解集为：{|1}x x m <<. ……………（4分） (2) 证明：
,a b 为方程()0f x =的两个根
1ab ∴=
① 若a b ≤，则0,a b -≤
220a b +>
2222();a b a b ∴+≥-
② 若a b >，则0a b ->
222()222
()()a b a b ab ab a b a b
a b a b a b a b +-+==-+=-+
----22≥ 即：22
22a b a b +≥- 2222().a b a b ∴+≥-
由2
,1a b ab a b
-=
=-，解得6262,22a b +-=
= 故当且仅当6262
,22
a b +-=
=时取“=”. 综上所述：22
22().a b a b +≥-得证. ……………（12分）
22 (1)圆2222
:2430(1)(2)2C x y x y x y ++-+=++-=即表示圆心为(1,2)C -,半
径等于2的圆.
设斜率为1-的切线方程为：0x y a +-=，设过原点的切线方程为0kx y -=，则圆心C 到切线距离等于半径. 由
|12|
22a -+-=，解得：1a =-或3， 由
2
|2|21k k
--=+，解得：26k =±
故所求切线方程为
30,10,(26),(26)x y x y y x y x +-=++==+=- ……………（6分）
(2) 连接CP ，当CP l ⊥时，C 到l 的距离最小，因为PM 为切线
所以：2
2
2
2
||||||2PM PC r PC =-=-，即有||PM 最小， 由C 到直线:2430l x y -+=的距离22
|2423|
75
10
24d --⨯+=
=
+
则此时227535
||(
)(2)1010
PM -=
的最小值为 当CP l ⊥时，直线:22(1),2CP y x y x -=-+=-即， 由直线:2430l x y -+=计算出交点为33
(,)105
-
……………（12分）。