高中数学第三章概率3.1.1频率与概率1.2生活中的概率学案(含解析)北师大版必修3

1 随机事件的概率
1．1频率与概率 1．2生活中的概率
考纲定位重难突破
1。

了解随机事件发生的不确定性和频率的
稳定性。

2。

正确理解概率的意义.
3。

理解频率与概率的关系。

重点：事件概率的含义.
难点：频率与概率的区别与联系。

授课提示：对应学生用书第40页
[自主梳理］
1．随机事件的频率
(1)频率是一个变化的量，在大量重复试验时，它又会呈现出稳定性，在一个常数附近摆动，但随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势．
(2）随机事件的频率也可能出现偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性就会减少．
2．随机事件的概率
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性,这时，这个常数叫作随机事件A的概率，记作P （A）．P（A）的范围是0≤P（A）≤1．
3．概率在生活中的作用
概率和日常生活有着密切的联系,对于生活中的随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的判断与决策．
4．天气预报的概率解释
天气预报的“降水”是一个随机事件，“降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90％，在一次试验中,概率为90％的事件也可能不出现,因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%"的天气预报是错误的．
[双基自测]
1．下列试验能构成事件的是（）
A．抛掷一次硬币
B．射击一次
C．标准大气压下，水烧至100 ℃
D．摸彩票中头奖
解析:每一次试验连同它产生的结果叫做事件．A，B，C只是试验,没有结果，所以不是事件．D既有试验“摸彩票"又有结果“中头奖”，所以是事件．
答案：D
2．下列事件为随机事件的是（)
A．百分制考试中,小强的考试成绩为105分
B．长和宽分别为a，b的长方形的面积为ab
C．清明时节雨纷纷
D．抛一枚硬币，落地后正面朝上或反面朝上
解析：对于A，百分制考试中,小强的考试成绩为105分，是不可能事件,故A不正确;对于B，长和宽分别为a，b的长方形的面积为ab，是必然事件,故B不正确;对于D，抛一枚硬币，落地后正面朝上或反面朝上,只有这两种可能,所以是必然事件,故D不正确．
答案：C
3．在10个学生中，男生有x个，现从10个学生中任选6人去参加某项活动:①至少有1个女
生；②5个男生，1个女生；③3个男生,3个女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为(）
A．5B．6
C．3或4D．5或6
解析：由题意知,10个学生中，男生人数少于5人,但不少于3人，∴x＝3或x＝4。

故选C.
答案：C
授课提示：对应学生用书第41页
探究一频率与概率的关系
［典例1]
射击次数n 102050100200500
击中靶心次数m 8194492178455
击中靶心频率错误!
（1
(2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
[解析］（1)表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0。

88，0.92,0。

89，0。

91.
(2）由于频率稳定在常数0。

89附近，所以这个射手射击一次击中靶心的概率约为0.89.
概率的确定方法
（1)理论依据：频率在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）计算频率:频率＝错误!＝错误!。

（3）用频率估计概率．
1．已知集合A＝{a｜a>3｝，从集合A中任取一个元素a，给出下列说法：
①a>2的概率是1；②a〉4的概率是0；
③a≤3的概率大于0;④5〈a〈6的概率小于1。

其中正确说法的序号是________．
解析:①事件是必然事件,其概率为1，正确；
②事件是随机事件，其概率不为0，不正确；
③事件是不可能事件,其概率为0，不正确；
④事件是随机事件,其概率小于1，正确．
综上所述,正确说法的序号是①④。

答案:①④
探究二频率与概率的关系及求法
[典例2]表一和表二分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况: 表一
抽取球数n 50100200500 1 000 2 000
优等品数m 4592194470954 1 902
优等品频率错误!
表二
抽取球数n 70130310700 1 500 2 000
优等品数m 60116282637 1 339 1 806
优等品频率错误!
（1
(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率分别是多少?
(3）若该两厂的篮球价格相同,你打算从哪一厂家购货？
［解析］ (1）依据频率公式计算表一中“篮球是优等品”的各个频率为0。

90，0。

92，0。

97,0。

94,0.95,0。

95；表二中“篮球是优等品”的各个频率为0。

86，0。

89，0。

91,0。

91，0。

89，0.90。

(2)由（1）可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表一中的频率都在常数0。

95的附近摆动,则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0。

95；表二中的频率都在常数0。

90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0。

90。

（3）根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P 甲〉P 乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．
频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中,常用事
件发生的频率作为概率的估计值,频率本身是随机的,而概率是一个确定的数,是客观存在的,因此概率与每次试验无关．
2．某医院治疗一种疾病的治愈率为错误!，前4个病人都未治好,则第5个病人的治愈率为
( )
A ．1
B 。

错误!
C 。

错误!
D ．0
解析：治愈率为错误!，表明第n 个病人被治愈的概率为错误!，并不是5个人中必有1个人治愈，故选B 。

答案：B
探究三 概率的实际应用
[典例3] (1）某一对夫妇生有两个孩子,大孩子是女孩,小的一定是男孩；
（2)某销售商为了提高某品牌日用品的销售量,决定在某超市搞促销活动：凡购买该品牌的日用品一件，就可以抽奖一次，中奖率为错误!.某顾客觉得该品牌的日用品好用也是必需的用品，所以决定购买10件，认为肯定有3次能中奖的机会，更有优惠；
(3）某市气象预报：明天本市降雨的概率为60%.有人认为明天本市有60％的区域要下雨，40%的区域不下雨；也有人认为明天本市有60%的时间下雨，有40%的时间不下雨．以上说法对吗？
［解析］ （1）不对．
一对夫妇生一个孩子,是做一次试验，生男孩、女孩的概率都是12。

生两个孩子相当于做两次试验,每一次试验生男孩、女孩的概率都是12
.因此第二个孩子的性别可能是男，也可能是女． （2）不对．
购买该品牌的日用品一件,就可以抽奖一次，是做一次试验，试验的结果中奖率为错误!，不中奖率为错误!。

购买10件，抽奖10次，相当于做10次试验，每一次试验结果中奖率为错误!，不中奖率为错误!。

(3）不对．
明天本市降雨的概率为60%，是指本市明天下雨的可能性为60%,不是指下雨的区域也不是指下雨的时间．
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A 的概率越大，其发生的可能性就
越大,概率越小，事件A 发生的可能性就越小,但不能决定其一定发生或不发生．
2．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性,而概率恰是其规律性在数量上的反映．概率是客观存在的,它与试验次数，以及哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们澄清日常生活中人们对一些现象的错误认识．
3．某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈,后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈
的概率是0。

3?
解析：如果把治疗一个病人作为一次试验,“治愈的概率是0。

3"指随着试验次数的增加,即治疗人数的增加，大约有30％的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没有治愈是可能的,对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．
治愈的概率是0。

3，指如果患病的人有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提,就可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈．
利用概率知识解决实际生活中的问题
［典例]（本题满分12分）为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼，例如 2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数．
［规范解答]设水库中鱼的尾数是n,现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的,从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{带记号的鱼}，则P（A)＝错误!。

①6分
第二次从水库中捕出500尾鱼,其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈错误!②，即错误!≈错误!③,解得：n≈25 000。

所以估计水库中的鱼有25 000尾。

12分
［规范与警示]①解题的关键点：假定每尾鱼被捕的可能性相等．
②失分点:易列错等式．
③正确地列出等式求出所求量,依据是样本的频率近似估计总体的概率．
［随堂训练]对应学生用书第42页
1．下列说法正确的是（）
A．任何事件的概率总是在（0,1）之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加,频率越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析:由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A不正确；频率是通过试验得出的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值,故B、D不正确；频率是与试验次数有关的值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，随着试验次数的增加,频率越来越接近概率,故C正确．
答案：C
2．下列说法中,不正确的是(）
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0。

8
B．某人射击10次，击中靶心7次,则他击不中靶心的频率是0。

7
C．某人射击10次,击中靶心的频率是错误!，则他应击中靶心5次
D．某人射击10次,击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数应为4
解析:要理解频率的概念,它是命中次数与射击次数的比值．
答案：B
3．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只是颜色不同）若干个,从中任取1球,取了20次有14个白球,估计袋中数量较多的是________球．
解析：取了20次有14个白球,则取出白球的频率是0。

7，估计其概率是0.7,那么取出黄球的概率约是0。

3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量较多的是白球．
答案：白
4．为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计,下表是统计结果．
（1
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
(2
率分别为0。

5和0。

55。