高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》易错题汇编含答案解析

【最新】数学《平面解析几何》高考知识点
一、选择题
1．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A
．y = B
．3
y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得
:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为
: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
2．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线2
23
2
2
():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程
()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④
【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式得2
2
4x y +≤，可判断②；22
4x y +=和()
3
22
2216x y x y +=联立解得
222x y ==可判断①③；由图可判断④.
【详解】
()
2
223
2
222
16162x y x
y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭
，
解得2
2
4x y +≤（当且仅当22
2x y ==时取等号），则②正确； 将2
2
4x y +=和()
3
22
2216x y x y +=联立，解得222x y ==，
即圆2
2
4x y +=与曲线C 相切于点
2,2，(2,2-，(2,2，
2,2-，
则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
3．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】A
【解析】 【分析】
设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】
如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .
①若23c x =，则254a x x x =-=，得232c
e a
=
=； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222c
e a
==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252c
e a
==. 故选：A 【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.
4．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：渐近线的方程为
，而
，因此渐近线的方程为
，选D.
考点：双曲线渐近线
5．如图，12,F F 是双曲线2
2
1:13
y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一
象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）
A ．
13
B ．
15
C ．
23
D ．
25
【答案】C 【解析】
由2
2
1:13
y C x -=知2c =，1124F A F F ==
∵122F A F A -= ∴22F A =
∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴2
3,3
c a e a === 故选C
6．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．36
【答案】B 【解析】 【分析】
先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得
AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】
圆M 的标准方程为:22
(2)(2)9x y -+-=,
其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =, 最短的弦是与ME 垂直的弦,又415ME =+=
所以
221
9522
BD r ME =-=-=,即4BD =, 所以四边形的面积11
641222
S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B. 【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.
7．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，则椭圆方程为（ ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =，1223F F =可得3c =，2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上， 12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，可得3c =
，2
2 4b a
=， 222c a b =-，解得3a =，6b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
8．点为椭圆
的一个焦点，若椭圆上存在点使
（为坐标原
点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到
.
【详解】
由题意，可设椭圆的焦点坐标为， 因为
为正三角形，则点
在椭圆上，
代入得，即，
得，解得
，
故选B ． 【点睛】
本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.
9．已知椭圆2
2
:12
y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，
则m 的取值范围是( )
A ．2233⎛- ⎝⎭
B ．22,44⎛- ⎝⎭
C ．3333⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．3344⎛- ⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得
002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.
又因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211
12y x +=，2
2
2212
y x +=，
两式相减可得
1212
1212
2y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.
因为点M 在椭圆C 内部，所以2
2
21m m +<，解得3333m ⎛⎫
∈- ⎪ ⎪⎝⎭
.
故选：C 【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.
10．已知抛物线2
2(0)y px p =>交双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线于A ，B 两点
（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ）
A ．(2,0)
B ．(4,0)
C ．(6,0)
D ．(8,0)
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得
2b
a
=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】
2222
2
222
15c a b b e a a a
+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：
22322n
m mn n pm ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若
3AF FB =uu u r uu r
，则AOF V 的面积（O 为坐标原点）为（ ）
A
B
C
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
首先过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥，易得
30ABM ∠=o ，60AFH ∠=o .根据直线AF
：1)y x =-与抛物线联立得到
1210
3x x +=
，根据焦点弦性质得到163
AB =
，结合已知即可得到sin 60AH AF ==o AOF S V 即可.
【详解】 如图所示：
过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥. 因为3AF BF =uuu r uu u r
，设BF k =，则3AF k =，11BB A M k ==. 所以2AM k =. 在RT ABM V 中，1
2
AM AB =，所以30ABM ∠=o . 则60AFH ∠=o .
(1,0)F ，直线AF 为3(1)y x =-.
2
23(1)310304y x x x y x
⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，12
103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=
+=，3
44
AF AB ==. 在RT AFH V 中，sin 6023AH AF ==o
所以1
12332
AOF S =⨯⨯=V 故选：B 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.
12．已知双曲线22
19x y m
-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为
( )
A ．34
y x =? B ．4
3y x =±
C ．2
3
y x =±
D ．32
4
y x =±
【答案】B 【解析】
根据题意,双曲线的方程为22
19x y m
-=，则其焦点在x 轴上，
直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0， 则有925m +=， 解可得，16m =，
则双曲线的方程为：22
1916
x y -=，
其渐近线方程为：4
3
y x =±， 故选B.
13．已知12F F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上一
点，2PF 与x 轴垂直，1230PF F ∠=︒，且焦距为 ）
A ．y =
B ．y =
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出c 的值，再求出点P 的坐标，可得2
2b
PF a
=，再由已知求得1PF ，然后根据双曲
线的定义可得b
a
的值，则答案可求． 【详解】
解：由题意，2c =
解得c =
，
∵()2,0F c ，设(),P c y ，
∴22221x y a b
-=，解得2b y a =±，
∴2
2b PF a
=，
∵1230PF F ∠=︒，
∴2
1222b PF PF a
==，
由双曲线定义可得：2
122b PF PF a a
-==，
则222a b =，即
2b
a
=． ∴双曲线的渐近线方程为2y x =±． 故选：B ．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.求解双曲线的渐近线方程，可通过找到
,,a b c 中任意两个量的倍数关系进行求解.
14．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发
出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线
()2
2
2713664
x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）
A ．9011,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭
B ．135322,77⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
C ．3217,3⎛
⎫±
⎪⎝⎭
D ．(45,162±
【答案】B
【解析】 【分析】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥，根据双曲线
的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为
()2211522564x y x -=>，与双曲线()2
2
2713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥
由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =
故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()22
11522564
x y x -=>
联立()()()22
2227121366411522564
x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩
，解得135,7P ⎛ ⎝⎭ 故选：B 【点睛】
本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.
15．已知双曲线()22
22100x y C a b a b
-=：＞，＞
的一条渐近线与圆22(4x y +-=相交
于A ，B 两点，若|AB |＝2，则C 的离心率为（ ）
A
B
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a 、b 关系式，然后求解离心率即可． 【详解】
由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx +ay ＝0，
圆22(4x y +-=
的圆心为(0,，半径为2， 由题意及|AB |＝2
，可得22212+=，
2
22
123
a a
b =+，即b 2＝3a 2，可得
c 2﹣a 2＝3a 2，即224c a = 所以e c
a
=
=2． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
16．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线
32p y x =-
与C 交于A ，B 两点，若43||AH =，则||AF =（ ） A ．3 B ．8
3
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
注意到直线32p
y x =-
过点H ，利用
||||AM AH =tan 3,AHM ∠=43||3
AH =，可得||2AM =，再利用抛物线的定义即可得到答案.
【详解】
连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛
⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
．易知直 线32p y x =
-
过点H ，tan 3,3AHM AHM π∠=∠=，则||3
,||2
AM AH =又43||AH =
， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.
故选：C. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
17．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于
P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，
且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，2
9
λμ=，则该
椭圆的离心率为（ ）
A ．
35
B ．
1213
C ．
35或1213
D ．
45
【答案】A 【解析】
分析：根据向量共线定理及29
λμ=，AP BP <u u u
v u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作
与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐
标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得
a ，
b ，
c 三者关系，进而可得椭圆的离心率.
详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v
∴1λμ+= 又∵2
9
λμ=
∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∵AP BP <u u u v u u u v ∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限）
∴2(,)b P c a
，2(,)b B c a -
∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点
∴直线1l 的方程为为1x y a b
+=- ∴()(,
)a c b
A c a
+ ∵2133
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
∴22
2()1()33b a c b b a a a
+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴2
2
2
2
4()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=. ∴25230e e +-= ∵(0,1)e ∈
∴3
5e =
故选A.
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．
18．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．0
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】
分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，
， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．
1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11
()112
a a a -+-
⨯-=-+， 解得1a =-，舍去． 综上可得：1a =-. 故选A ．
点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
19．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别
为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为
A B
C ．
3
D ．
13
【答案】A 【解析】
以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为
222x y a +=，
直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
d a =
=，
整理可得223a b =，即(
)2
22
3,a a c
=-即2
223a
c =，
从而22
22
3
c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===
， 故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于
,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
20．已知曲线C 的方程为22
121x y m m
+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线
C 为双曲线的充要条件，q ：1
2
m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的
是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．p q ∧
【答案】C 【解析】 【分析】
根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】
若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102
m << 若1
02
m <<
，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则1
2
m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题 所以选C 【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．。