【数学】河北省深州市中学2017-2018学年高二下学期期中考试(文)(解析版)

河北省深州市中学2017-2018学年 高二下学期期中考试（文）
（试卷满分150分，考试时间：120分钟）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
1．已知(1)z i i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 2．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
3．已知命题2000:,2+30p x R x x ∃∈-≤的否定是2
,2+30x R x x ∀∈->，命题:q 双曲线
221x y -=的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. p q ∨
B. p q ⌝∧
C. p q ⌝∨
D. p q ∧
4．阅读如图所示的程序框图，若输入x 的值为1-时，输出 的值为（ ）
A. 0
B. 2
1
C. 1
D. 2
5．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：
使用智能手机 不使用智能手机 合计
学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16
2 18
合计 20 10
30
附表：
()
20
P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
0.005
0.001
0k
2.072 2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算2
10K =，则下列选项正确的是（ ）
A. 有99.5%以上的把握认为使用智能手机对学习有影响
B. 有99.5%以上的把握认为使用智能手机对学习无影响
C. 有99.9%以上的把握认为使用智能手机对学习有影响
D. 有99.9%以上的把握认为使用智能手机对学习无影响
6．某公司某产品的广告费 与销量 之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法
得出 与 的线性回归直线方程为5.17ˆ5.6ˆ+=x y
，则表格中 的值应为（ ） 2 4 5 6 8
30
40
50
70
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60
7．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该著作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒。

遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。

借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为（ ）
A.
78 B. 45 C. 34 D. 1516
8．①已知3
3
2p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +>；②设x ， y ，
z 都是正数，用反证法证明三个数1x y +
， 1y z +， 1
z x
+至少有一个不小于2时，可假设1x y +
， 1y z +， 1
z x
+都大于2，以下说法正确的是（ ） A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确
9．若曲线2 1x t
y t =-⎧⎨=-+⎩
（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ， C 两点，则BC 的值为
（ ） A.
30
2
B. 15
C.30
D. 60
10．某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目
只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队的获奖结果预测如下:
小张说:“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说:“丁团队获得一等奖”； 小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说:“甲团队获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
11．关于x 的不等式24x m x -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ）
A. ()2,6-
B. ()(),62,-∞-⋃+∞
C. ()(),26,-∞-⋃+∞
D. ()6,2-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． i 是虚数单位，则1i +=__________．
14．若不等式897x +<与不等式0292
>--x ax 的解集相同，则=a ________． 15．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第6年的分枝数分别为1,1,2,3,5,8，则预
计第10年树的分枝数为__________．
16．已知F 为抛物线2
8x y =的焦点， O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A
在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为__________． 三、解答题：本题共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
已知函数()21f x x =-. （1）解不等式()f x x <；
（2）若函数()()()1g x f x f x =+-的最小值为a ,且()0,0m n a m n +=>>, 求21
m n
+的最小值.
18．（本小题满分12分）
已知函数()12.f x x x =+-
（1）求不等式()6;f x ≤-的解集
（2）若()f x 的图像与直线y a =围成图形的面积为14，求实数a 的值.
19．（本小题满分12分）
已知曲线1C 的参数方程为1cos :{
1sin x l y θθ
=+=+（θ为参数），以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=．
（1）把1C 的参数方程式化为普通方程， 2C 的极坐标方程式化为直角坐标方程； （2）求1C 与2C 交点的极坐标(),(0,02)ρθρθπ≥≤<．
20．（本小题满分12分）
下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元），其中年份代码
x =年份2013-.
年份代码 1 2 3 4 线下销售额
95
165
230
310
（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；
（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种）， 其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，补全22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？ 参考公式及数据：
122
1ˆn
i i i n i
i x y nxy b
x nx
==-=-∑∑
， ˆˆa
y bx =-， ()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
n a b c d =+++ ()
2P K k ≥
0.05 0.025 0.010 0.005 k
3.841
5.024
6.635
7.879
经计算得： 2.5,200x y ==，
4
4
2
1
1
30,2355
i
i i i i x
x y ====∑∑
22⨯列联表如下：
持乐观态度
持不乐观态度
合计 男顾客 10 55 男顾客 20 50 合计
105
21．（本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为6
3，且经过点)1,0(．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()0,2P 的直线交椭圆C 于,A B 两点，求AOB ∆面积的最大值.（O 为坐标原点）
22．（本小题满分12分）
已知函数()1ln f x ax x =--， a R ∈. （1）1=a 时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，对()0,x ∀∈+∞， ()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围.
参考答案
1．A 【解析】()11z i i i =-=+，对应点位于第一象限,故选A.
2.B 【解析】方程sin ρθ=，可化简为：2
sin ρρθ=，即22x y y +=.整理得22
1
1(y )24
x +-=
，表示圆心为(0,
1)2，半径为1
2
的圆.故选B. 3．A 【解析】命题2000:230p x R x x ∃∈-+≤，的否定是2
230x R x x ∀∈-+>，，则命
题p 是真命题；双曲线22
1x y -=中， 1
112a b c ===+=，，则离心率
2c
e a
=
=，故命题q 为假命题，则p q ∨是真命题，其余为假命题，故选A .
5.A 【解析】与临界值对比，
27.8791010.828K <=<，所以有99.5%的把握认为使
用智能手机对学习有影响，故选A.
7.A 【解析】设输入x ，则（1）1i =， 21S x =-，（2）2i =， ()221143S x x =--=-， （3）3i =， ()2431870S x x =--=-=，所以7
8
x =
，故选A. 8.C 【解析】根据反证法的格式知，①正确；②错误，②应该是1x y +
， 1y z +， 1z x
+都小于
1
2
，故选C. 9.C 【解析】由2{
1x t y t
=-=-+得()12,10y x x y +=--+-= ，由22ρ=得22
8x y += ，
所以圆心到直线距离为
1
2
，因此1=28302BC -= ，选C.
10.D 【解析】若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;若乙获得一等
奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.
11.B 【解析】因为22x m x m -++≥+，所以2462m m m +>⇒<->或，故选B. 12.D 【解析】构造函数()()g x xf x =，由题意可知函数()g x 是定义在R
上的奇函数，当0x <时， ()()()()''0,g x f x xf x g x =+<∴在 区间(),0-∞上单调递减，且()()()222220g f f -=--=-=，原 问题等价于()0g x >，函数()g x 的草图如图所示，结合函数图像 可得不等式的解集为{|202}x x x <-<<或.故选D.
13.2【解析】221112i +=+=
14.4-【解析】1897789724x x x +<⇔-<+<⇔-<<-
；则1
2,4--
是方程
0292>--x ax 两个根且0<a ，所以192412(2)()4a
a ⎧
--=⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩
，解得4a =-．
15.55【解析】从第三项起,每一项是前面两项的和,即 .
16.213 【解析】抛物线方程为2
8x y =，准线方程为2y =-，
4AF =，
由抛物线的定义得A 到准线的距离为4,24y +=， ∴2y =，即A 点的纵坐标为2，又点A 在抛物线上，
4x ∴=±，不妨取()4,2,A A 关于准线的对称点的坐标为
()4,6B -，则PA PO PB PO OB +=+≥，即,,O P B 三
点共线时有最小值，最小值为
()2
246163652213OB =+-=+==.
17.【解析】（1）由()f x x <知21x x -<,于是21x x x -<-<,（2分）
解得
113x <<,故不等式()2f x <的解集为1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
.（4分） (2) 由条件得()()212321232g x x x x x =-+-≥---=,（6分） 当且仅当13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时等号成立,∴2a =,即2m n +=,（7分）
又
()()
211211213322222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛
⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,（9分） 所以
21m n +的最小值为()
1
3222
+,此时422,222m n =-=-.（10分） 18.【解析】（1） ()1,1,1231,10, 1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧
⎪
=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩
（2分）
则不等式()1,
10,0,6 1631616,x x x f x x x x <--≤≤>⎧
⎧⎧≤-⎨
⎨⎨-≤-+≤--≤-⎩⎩⎩等价于或或（4分）
解得57.x x ≤-≥或故不等式()6f x ≤-的解集为{|57}.x x x ≤-≥或 （6分）
（2）作出函数()f x 的图象，如图，若()f x 的图象与直线y a =围成的图形是三角形，则当2a =-时，△ABC 的面积取得最大值
1
4362
⨯⨯=，
（8分） ()f x 的图象与直线y a =围成图形的面积为14，∴该图形一定是四边形，即 2.a <-
△ABC 的面积是6， ABED ∴梯形的面积为8. （10分）
()()4,1,,1,,2,AB D a a E a a DE a =+-=-
()()21
422=1468,=12.2
a a a ∴⨯-⨯---=∴又2,=23,a a <--则 故实数a 的值为23-（12分）
19.【解析】（1）将1,{
1x cos y sin θθ
=+=+消去参数θ，化为普通方程()()22
111x y -+-=，
即1C 的普通方程为()()2
2
111x y -+-=，（3分） 由1ρ=，得2
1ρ=，再将,{
,
x cos y sin ρθρθ==代入21ρ=，得22
1x y +=，
即2C 的直角坐标方程为2
2
1x y +=.（6分）
（2）由()()22
22111,
{
1,
x y x y -+-=+=解得1,{
0,x y ==或0,
{ 1.
x y ==（10分） 所以1C 与2C 交点的直角坐标为)1,0(),0,1(极坐标分别为()1,0,1,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
.（12分） 20.【解析】（1）由题意得 2.5,200x y ==，
4
4
2
1
1
30,2355i
i i i i x
x y ====∑∑，（1分）
所以4
142221423554 2.520035ˆ571304 2.554i i i i i x y xy b x x
==--⨯⨯====-⨯-∑∑，（3分） 所以200ˆˆ71 2.522.5a y bx =-=-⨯=，（4分）
所以y 关于x 的线性回归方程为71225ˆ.y
x =+.（5分） 由于201820135-=，所以当5x =时， 71522.537ˆ7.5y
=⨯+=， 所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元.（6分） （2）由题可得22⨯列联表如下：
（8分）
故2
K 的观测值()2
10510304520 6.10955503075
k ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯，
（10分） 由于6.109 5.024>，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.（12分）
21.【解析】（1）由2222
22213a b b e a a -==-=，得1
3
b a =，①（2分） 由椭圆C 经过点)1,0(，得1b =，②（3分） 联立①②，解得3,a =
（4分）
所以椭圆C 的方程是2
213
x y +=.（5分） （2）已知直线AB 的斜率存在，设其方程为2,y kx =+
将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立得，
221
3
2
x y y kx ⎧+=⎨⎩=+，消去y 得()
22131290k x kx +++=，（6分） 令()
2214436130,k k ∆=-+>得2
1k >， 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212
22
129
,,1313k x x x x k k +=-=++（7分） 所以12121
2,2
AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=
⨯⨯-=- 因为()()22
1212124x x x x x x -=+-= (
)()
22
2
22
2
361
1236,131313k k k k k -⎛⎫--= ⎪++⎝⎭+（9分）
设()2
10k t t -=>
则()2
12x x -=
()
2
3636363,16
4
16349242924t
t t t t t
=
≤=+++++（11分）
当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时2
7,3
k = AOB ∆面积取得最大值32.
（12分）
22.【解析】（1）①在区间()0,+∞上， ()11
1x f x x x
'-=-
=，（1分） 令()0f x '=得1x =，在区间()0,1上，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 在区间()1,+∞上，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
所以 ()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞（3分） （2）()11
ax f x a x x
=
'-=-
，函数()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，解得1a =，由（1）可知1a =满足题意.（6分）
（3）1a =时，由已知()2f x bx ≥-，得1ln 2x x bx --≥-，
即1ln 1+
x
b x x
-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立，
（8分） 令()1ln 1x g x x x =+-，则()222
11ln ln 2
x x g x x x x
-='---=，（10分） 易得()g x 在(20,e ⎤⎦
上单调递减，在)
2
,e ⎡+∞⎣上单调递增， 所以()()2
2
min 11g x g e e ==-，即2
11b e ≤-.（12分）。