《反比例函数》全章复习与巩固(知识讲解)数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题6.20 《反比例函数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0k
y k x
=
≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0k
y k x
=≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、反比例函数的概念 一般地，形如k
y x
=
(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.
特别说明：
在k
y x
=
中，自变量x 的取值范围是，k y x
=
()可以写成()
的形式，也可以写成的形式.
要点二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数k
y x
=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，
从而确定其解析式.
要点三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数()0k
y k x
=
≠的图象是双曲线，
它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，
即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
特别说明： 观察反比例函数
的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴
对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①)0(≠=
k x k
y 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线； ②)0(≠=k x k
y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③x
k
y x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.
注：正比例函数x k y 1=与反比例函数x
k y 2
=， 当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交
点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.
（2）若点(a b ，)在反比例函数k
y x
=
的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
0k <0k <（4）反比例函数y ＝中k 的意义
①过双曲线x k
y =
(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . ②过双曲线x k
y =(k ≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得
三角形的面积为
2
k
.
要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 【典型例题】
类型一、确定反比例函数的解析式
1、如图，已知点A 是一次函数24y x =-的图象与x 轴的交点，将点A 向上平移
2个单位后所得点B 在某反比例函数图象上．
（1）求点A 的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
）将点
【点拨】本题考查了一次函数、点坐标的平移变换规律、利用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在y 轴上，A ，C 两点的坐标分别为()4,0，()4,m ，直线CD ：()0y ax b a =+≠与反比例函数()0k
y k x
=≠的图象交于C ，()8,2P --两点．
(1) 求该反比例函数的解析式及m 的值；
(2) 判断点B 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
16
2816⨯=
∴点B 在双曲线上．
【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用m 表示出点D 的坐标．
【变式2】如图，正比例函数4y x =与反比例函数()0k
y x x
=>的图象交于点(),4A a ，点B 在反比例函数图象上，连接AB ，过点B 作BC x ⊥轴于点()2,0C ．
(1) 求反比例函数解析式；
(2) 点D 在第一象限，且以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出．．．．点D 的坐标．
4
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件分别求出A ，B ，C 的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标．
类型二、反比例函数的图象及性质
2、如图，反比例函数2
m y x -=的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所
示，根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在第________象限；在每个象限内，y 随x 的增大而________，常数m 的取值范围是________；
（2）若此反比例函数的图象经过点()2,3-，求m 的值．
【答案】（1）故答案为四；增大；2m <；（2）4m =-． 【分析】（1）根据反比例函数的图象特点即可得；
【变式】如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象在第二、四象限分别交于A （m，1），B（2n，-n）两点．
(1)求A，B两点坐标；
(2)根据图象，当正比例函数值大于反比例函数值时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)A两点坐标为（-2，1），B点坐标为（2，-1）(2)x＜-2或0＜x＜2
【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的性质可知A，B两点关于原点O成中心
对称，据此可以得方程
20
10
m n
n
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，解方程即可求解；
（2）正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围，即为正比例函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围，结合图象以及A点(-2,1)和B点(2,-1)即可求解．解：（1）由图象知A，B两点关于原点O成中心对称，
故
20 10
m n
n
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得
2
1
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∵A点坐标为(-2,1)，B点坐标为(2,-1)；
（2）正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围，即为正比例函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围，
根据图象以及A点(-2,1)和B点(2,-1)可知：x的取值范围为：x＜-2或0＜x＜2．【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质以及根据图象确定x取值范围、二元一次方程组等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
3、小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数
1
y
x
=-的图象
与性质．其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图，
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
（2）通过观察图象，写出该函数的两条性质：∵_；∵．
（2）∵图象关于y轴对称；
【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握函数图象的绘制方法是画出图象的关键，求出变量之间的对应值是画图象的前提．
举一反三：
【变式】参照学习函数的过程方法，探究函数()2
0x y x x
-=≠的图像与性质，因为221x y x x -=
=-，即21y x =-+，所以我们对比函数2
y x =-来探究列表：
描点：在平面直角坐标系中以自变量x 的取值为横坐标，以y x
=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示：
（1）请把y 轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
∵当0x <时，y 随x 的增大而______；（“增大”或“减小”） ∵2x y x
-=
的图象是由2
y x =-的图象向______平移______个单位而得到的；
∵图象关于点______中心对称.（填点的坐标） （3）函数2
x y x
-=
与直线21y x =-+交于点A ，B ，求AOB ∆的面积. 【答案】（1）如图所示，见分析；（2）∵增大；∵上，1；∵()0,1；（3）1.
【分析】（1）按要求把y 轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来即可； （2）∵观察图像可得出函数增减性；∵由表格数据及图像可得出平移方式；∵由图像可知对称中心；
x<时，y随x的增大而增大，故答案为增大；（2）∵由图像可知：当0
S= S+ S
4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt∵OAB的直角边OB在x轴的
正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y
k
x
=（x＞0）的图象
上，AB交该图象于点C，连接OC．
(1)求k的值；
(2)求∵OAC的面积．
）解：点
点
掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出AC 的长度．
举一反三：
【变式】如图，点A 在反比例函数()0k
y x x
=>的图像上，AB x ⊥轴，垂足为B ，1
,22
AB AB OB ==． (1) 求k 的值：
(2) 点C 在这个反比例函数图像上，且135BAC ∠=︒，求OC 的长．
解：
1
,2
AB OB =4OB ∴=
根据k 值的几何意义可知：21
22
OAB k S AB =⨯
⨯△8k
解：如图所示，连接
AM CH ⊥BAC ∠=MAC ∴∠AM ∴=设OH x =CH CM ∴=(6x x ∴-及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k 值的几何意义是解决本题的关键．
类型三、反比例函数与一次函数综合
5、已知一次12y x a =-+的图象与反比例函数
()20k
y k x
=≠的图象相交．
(1) 判断2y 是否经过点(),1k ．
(2) 若1y 的图象过点(),1k ，且25a k +=． ∵ 求2y 的函数表达式．
∵ 当0x >时，比较1y ，2y 的大小．
【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的知识，解题的关键是掌握一次函数与反比例
函数图象的性质，交点的综合问题．
举一反三：
【变式1】如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数k
y x
=的图象相交于点
(4,1),(1,)A B n -两点．
(1) 分别求出一次函数和反比例函数的解析式： (2) 根据图象，直接写出满足1k
k x b
x
+的x 的取值范围； (3) 连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求ABC 的面积．
4
12=+=⨯ABC
ACD
BCD
S
S
S
【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析
式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
【变式2】如图，直线2y x =+与双曲线相交于点(2,)A m ，与x 轴交于点C ．
(1) 求双曲线解析式；
(2) 点P 在x 轴上，如果PA PC =，求点P 的坐标．
8
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
类型四、反比例函数与几何综合
6、如图，
ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A 的坐标是()1,0-，现
将ABC 绕点A
顺时针旋转90︒得11AB C △．
(1)画出旋转后的11AB C △； (2)点C 的坐标是______． (3)函数(0,k
y x k x
=
>为常数)的图象经过点1C ，画出该函数图象，P 为该函数图象上的动点，当P 在直线1AC 的上方且1APC 的面积为9
2
时，求P 点坐标．
()
2,3 C-
）
()
1
2,1
C
，
21
k
∴=⨯=
∴反比例函数解析式为函数图象如图所示：过P点作PD
在y 轴正半轴上，点B 在反比例函数()0k
y k x
=
>的图象上，已知CD =2，点A 坐标为()2,1． (1) 求k 的值．
(2) 将平行四边形ABCD 沿x 轴正方向平移，当A 点落在反比例函数图象上时，求平移的距离．
点点）将平行四边形【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，
平移的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】图，一次函数()0y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，与反比例函数()0m
y m x
=
>的图像交于点()1,2C ，()2,D n ． (1) 分别求出两个函数的表达式； (2) 连接OC ，OD ，求COD △的面积．
∵C（1，2），D（2，1），
S=
CEO
DFO
S
=
CEFD S 梯形∵3==1+1=2COD
OCE
DFO
CEFD S
S
S S
+--梯形【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及利用坐标求三角形的面积，
熟练掌握反比例函数和一次函数图象的基本特点是解题的关键．
类型五、反比例函数应用
7、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：
Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1) 请写出这个反比例函数解析式； (2) 蓄电池的电压是多少？
(3) 下表中的a 、b 、c 的值分别是多少？
(4) 如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A ，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
利用函数的知识解决实际问题．
【变式1】“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：
(1)求出表中当120
x
≤≤时，m与x间的函数关系式；
(2)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？
【点拨】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式2】某公司生产一种医疗器械，平均每台器械的生产时间为6分钟．为了提高生产效率，该公司引进一批新的生产设备，安装后需要进行调试．已知生产每台医疗器械所需的平均时间y （单位：分钟）与调试次数x （单位：次）的函数关系是1k
y x
=
+（k 为非0常数），调试次数x ，调试后平均每台医疗器械生产所需时间y 及相应的k 的数据如下表：
______； (2) 如果要使k 与其表中相应具体数据的差的平方和最小，求此时的函数解析式； (3) 要使这种器械的生产效率提高60%，你认为调式多少次比较合适？
【点拨】本题考查了反比例的应用，二次函数的性质，分式方程的应用，解决问题的关键是掌握图象和解析式的关系，读懂表格中的数据．。