重庆市第一中学2021-2022高二数学下学期期中试题 文(含解析)

重庆市第一中学2021-2022高二数学下学期期中试题 文（含解析）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{}{}
2
2,4,,6,8,|9180A B x x x ==-+≤，则A B ⋂=（ ）
A. {}2,4
B. {}4,6
C. {}6,8
D. {}2,8
【答案】B 【解析】
由29180x x -+≤得：36x ≤≤，所以{}4,6A B ⋂=，故选B ．
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错． 2.若复数()12a i
a R i
+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A. -3 B. -2
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】 因为
11
((12)[2(12)]1255
a i a i i a a i i +=+⋅-=++-+）为纯虚数，所以20a +=且120a -≠，解得2a =-，故选B ．
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．
3.函数3log (2)y x =+的定义域为（ ）
A. (,1)
(3,)-∞-+∞
B. (,1)
[3,)-∞-+∞
C. (2,1]--
D. (2,1][3,)--+∞
【答案】D 【解析】
函数有意义，则：2230
{20
x x x --≥+>，解得：31{2x x x ≥≤->-或，
综上可得，函数的定义域为][()
2,13,--⋃+∞. 本题选择D 选项.
4.已知直线20ax by --=与曲线3
y x =在点(1,1)P 处的切线互相垂直，则a
b
为( ) A.
13
B.
23
C. 23-
D. 13
-
【答案】D 【解析】
因为2
3y x '=，所以切线的斜率313k =⨯=，而直线20ax by --=的斜率a
k b
'=
，由题设1k k '=-，即1
3
a k
b =-'=
，应选答案D 。

5.已知命题11:4
p a
＞
，2
:,10q x R ax ax ∀∈++＞，则p 成立是q 成立的_____.（选“充分必要”，“充分不必要”，“既不充分也不必要”填空）. 【答案】充分不必要 【解析】 由
1a ＞1
4
，解得：0＜a ＜4， 故命题p ：0＜a ＜4； 若∀x∈R，ax 2+ax+1＞0， 则20
40a a a ⎧⎨
=-⎩
＞＜，解得：0＜a ＜4，
或a=0时，1＞0恒成立， 故q ：0≤a＜4；
故命题p 是命题q 的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
6.函数2
()ln(2)
f x x =+的
图象大致是( )
【答案】D 【解析】
由题意可得函数f(x)为偶函数，排除C 另f(0)=0,所以B 对，选B 。

【点睛】
识图问题，根据函数的性质，由整体性质到局部性质，再结合函数图像的差异性进行分析。

整体性质如定义域、奇偶性、对称性、周期性等，局部性质如单调性、正负性、特殊值等。

7.若1(,1)x e
∈，设ln a x =，1
ln 2x b =，ln x c e =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a >>
B. b a c >>
C. a b c >>
D.
b c a >>
【答案】D 【解析】 由题意：
()1,1,ln 1,0x x e ⎛⎫
∈∴∈- ⎪⎝⎭
，
由幂函数的单调性可得：ln ln 12x
x e ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，即b c >，
且：
()ln 1,1,ln 1,0,x c e x a x c a e ⎛⎫
==∈=∈-∴> ⎪⎝⎭
.
本题选择D 选项.
点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握
一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．
8. 某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )
A. 5k ≤
B. 4k >
C. 3k >
D. 4k ≤
【答案】C 【解析】
试题分析：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：
S 条件k
循环前 0/1
第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是
可得，当4k =时，26S =．此时应该结束循环体并输出S 的值为26 所以判断框应该填入的条件为：3k > 故选C ． 考点：程序框图
9.若函数2
1
()log ()2
a f x x ax =-+有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. (0,1)
B. 2)
C. (0,1)
(1,2) D.
)+∞
【答案】B 【解析】
函数的解析式：()2
211log 224a a f x x ⎡⎤
⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
满足题意时有：2
1
{1
024
a a >->，求解关于实数a 的不等式可得 实数a 的取值范围是
( . 本题选择B 选项.
10.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A. 甲 B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】B 【解析】
∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；
若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．
11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上单调递增，若实数a 满足
1
(2
)(4)a f f ->，则a 的取值范围是（ ）
A. (,1)-∞-
B. (,1)(3,)-∞⋃+∞
C. (1,3)-
D. (3,)+∞
【答案】C 【解析】
由函数的单调性结合函数为偶函数可得，不等式转化为：1
2
4,12a a -<∴-<，
求解关于实数a 的不等式，可得a 的取值范围是()1,3- . 本题选择C 选项.
点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．
12.已知奇函数f (x)和偶函数g(x)分别满足21(01)
(){1(1)x x f x x x
-≤<=≥，
2()44(0)g x x x x =-+-≥，若存在实数a ，使得()()f a g b <成立，则实数b 的取值范围是
A. (-1,1)
B. 11(,)33
-
C. (3,1)(1,3)--⋃
D.
(,3)(3,)-∞-+∞
【答案】C 【解析】
试题分析：由f (x)的解析式知，当0≤x ＜1时，f (x)=21x -是增函数，其值域为[0,1]，
当x ≥1时，f (x)=
1
x
是减函数，值域为（0,1]，故当x ≥0时，值域为[0,1]，因为f (x)是奇函数，根据奇函数的对称性知，当x ≤0时，值域为[-1,0]，所以f (x)的最小值为-1，
由存在实数a ，使得()()f a g b <成立知，()g b ＞min [()]f x =-1，① 当b ≥0时，2441b b -+->-，解得13b <<，
因为g(x)是偶函数，由偶函数的对称性知，当b≤0时，不等式的解为31b -<<-， 所以实数b 的取值范围是(3,1)(1,3)--⋃，故选C ．
考点：函数奇偶性，指数函数与幂函数图像性质，含参数不等式成立问题
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设函数3log ,09,
(){(4),9,
x x f x f x x <≤=->则(13)f 的值为__________．
【答案】2 【解析】
由函数的解析式结合题意可得：()()3139log 92f f ===.
14.已知函数2log ,0,
(){4,0,
x x x f x x >=≤　若函数()()g x f x k =-存在两个零点,则实数k 的取值范
围是__________ 【答案】01k <≤. 【解析】
由g (x )=f (x )−k =0， 得f (x )=k ， 令y =k 与y =f (x )，
作出函数y =k 与y =f (x )的图象如图： 当x ⩽0时，0<f (x )⩽1， 当x >0时，f (x )∈R ，
∴要使函数g (x )=f (x )−k 存在两个零点， 则k ∈(0,1].
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
15.已知0,0,lg 2lg8lg 2,x y
x y >>+=则113x y
+的最小值是 . 【答案】4 【解析】
lg 2x
＋lg 8y
＝x lg2＋3y lg 2＝lg 2，∴x ＋3y ＝1， ∴113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
·(x ＋3y )＝2＋33y x x y +≥4，当且仅当x ＝12，y ＝1
6时取等号．
16.已知函数()|ln |f x x =，实数m 、n 满足0m n <<，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]
m n 上的最大值是2，则n
m 的值为______.
【答案】2e 【解析】 【分析】
本题首先可以根据()()f m f n =推导出n 与m 的关系，然后利用函数的单调性可得2ln 2
m
或ln 2n ，分别检验两种情况下的最大值是否为2，即可得结论。

【详解】由题意以及函数ln f x x 的性质可得ln ln m n ，所以1
m
n ，且01m n <<<,
因为函数ln f x x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，
所以2
ln 2m 或ln 2n ， ①当2
ln 2m
时1
e
m
，又因为1
m
n ，所以n e =，
此时()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，满足题意； ②当ln 2n
时2n e ，2
1e m
，
此时()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为41ln 4e ，不满足题意，
综上，n e =，1e
m
，2n m
e ， 故答案为2e 。

【点睛】本题考查了函数的相关性质，主要考查对数函数的相关性质，考查含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设p ：实数x 满足：22430x ax a -+<（0a >），q ：实数x 满足：1
1
()2
m x -=，(1,2)m ∈．
（Ⅰ）若1
4
a =
，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1
3|2
4x x ⎧
⎫<<⎨⎬⎩
⎭（2）11,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 试题分析：
(1)首先求得命题p,q 确定的实数x 的范围，然后利用题意求解p q ∧为真时实数x 的取值范围可得13
{|
}24
x x <<． (2)结合(1)的结果可得关于实数a 的不等式组，求解不等式组即得实数a 的取值范围为
11,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 试题解析：
解：（Ⅰ）p ：3(0)a x a a <<>，当14a =时，p ：1344x <<，q ：1
12
x <<， ∵p q ∧为真，∴p 真且q 真，
故13
,
44
{11,2
x x <<<<即1324x <<，
所以实数x 的取值范围为13
{|
}24
x x <<． （Ⅱ）q 是p 的充分不必要条件. 记1
{|
1}2
A x x =<<，{|3,0}
B x a x a a =<，则A 是B 的真子集， 故1,{
231a a ≤≥或1,{231,
a a ≤>解得11
32
a ≤≤，且等号不同时成立， 所以a 的取值范围为11,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
18.已知函数32
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导数'()f x 的图像经过点
(1,0)，(2,0)两点，如图所示．
（Ⅰ）求0x 的值； （Ⅱ）求a ，b ，c 的值．
【答案】(Ⅰ) x 0=1.(Ⅱ) a=2,b=－9,c=12 【解析】
试题分析：分析：根据导函数图像观察出函数的极大值，根据图像求出导函数 根据导函数和原函数的关系求解. 解：(Ⅰ)由图象可知，在(-∝,1)上(x)＞0,在(1,2)上
(x)＜0.
在(2,+∝)上
(x)＞0.
故f(x)在(-∝,1),(2,+∝)上递增，在(1,2)上递减. 因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x 0=1. (Ⅱ)(x)=3ax 2+2bx+c, 由
(1)="0,"
(2)=0, f(1)=5,
得解得a=2,b=－9,c=12
考点：本题主要考查导数在求函数的极值、研究函数单调性方面的应用。

点评：要注意三次函数及其导函数二次函数之间关系.
19.近年我国北方地区空气污染较为严重．现随机抽取去年（365天）内100天的空气中 2.5PM 指数的检测数据，统计结果如表：
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S （单位：元）， 2.5PM 指数为x ，当x 在区间
[]0,100内时对企业没有造成经济损失；当x 在区间(100,300]内时对企业造成经济损失满足
一次函数关系（当 2.5PM 指数为150时造成的经济损失为500元，当 2.5PM 指数为200时，造成的经济损失为700元）；当 2.5PM 指数大于300时造成的经济损失为2000元． （Ⅰ）试写出()
S x 的
表达式；
（Ⅱ）根据去年样本估计在今年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元的概率；
（Ⅲ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成列联表，并判断是否有95%的把握认为北方去年空气重度污染与供暖有关？
附：22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
.
【答案】（1）[]0,0,100,
(){4100,(100,300],2000,(300,).
x S x x x x ∈=-∈∈+∞（2）39
100
(3)有95%的把握
【解析】 试题分析：
(1)利用题意将函数写成分段函数的形式即可，注意函数的定义域； (2)由题意可得，满足题意的频数为39，据此可得时间的概率为
39100
； (3)写成列联表，计算2K 的值可得有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关． 试题解析：
解：（Ⅰ）可得()[](]()0,0,100,
{4100,100,300,2000,300,.
x S x x x x ∈=-∈∈+∞
（Ⅱ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元”事件A ，
由500900S <≤，得150250ω<≤，频数39，()39
100
P A =
． （Ⅲ）根据以上数据得到如图列联表：
2
K 的观测值()2
100638227 4.575 3.84185153070
k ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，
∴有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．
20.已知函数()log a f x x =，()log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈．
（Ⅰ）若01a <<，且1,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，有2()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围；
（Ⅱ）若4t =，且1
,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()2()()F x g x f x =-的最小值是2-，求实数a 的值.
【答案】（1）[2,)+∞（2）15
a = 【解析】 试题分析：
(1)分离系数，将问题转化为2
22t x x ≥-+对1,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，结合函数的性质求解最小值可得实数t 的取值范围为[
)2,+∞； (2)由题意可得()()()()2
411log log 42a a x F x g x f x x x
x +⎛⎫
=-==++ ⎪⎝⎭
，结合导函数的性
质分类讨论可得1
5
a =． 试题解析：
解：（Ⅰ）()()2f x g x ≥恒成立，即()2log log 22a a x x t ≥+-恒成立， 即()2
log log 22a a x x t ≥+-，
又因为()0,1a ∈，1,24
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
所以222x x t ≤+-恒成立，即222t x x ≥-+对1,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，
所以(
)
2
max
222t x x ≥-+=，故t 的取值范围为[)2,+∞．
（Ⅱ）∵4t =，
∴()()()()()2
4112log 22log log log 42a a a
a x F x g x f x x x x x
x +⎛⎫
=-=+-==++ ⎪⎝⎭
，
易知()142h x x x ⎛
⎫=+
+ ⎪⎝⎭在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,2单调递增，且()124h h ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
， 所以()()min 116h x h ==，()max 1254h x h ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
， 所以当1a >时，()min log 16a F x =，由log 162a =-，即1
4
a =
（舍去）；
当01a <<时，()min log 25a F x =，由log 252a =-，即15
a =． 综上15
a =．
21.已知函数2
1()2
f x x =
，()ln g x e x =. （Ⅰ）设函数()()()F x f x g x =-，求()F x 的单调区间并求最小值；
（Ⅱ）若存在常数k ，m ，使得()f x kx m ≥+对x R ∈恒成立，且()g x kx m ≤+对(0,)
x ∈+∞恒成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”，
试问：()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1
）在
是减函数；在)+∞是增函数，最小值为0（2
）2
e
y =-
【解析】 试题分析：
(1)结合函数的定义域和导函数的符号可得()F x
在(是减函数；
在
)
+∞是增函数，
(
)min 0F x F
==．
(2)结合(1)的条件可知满足题意时()f x 与()g x
在x =
2e ⎫⎪⎭，结合题意整
理计算可得分界线存在，分界线方程为2
e
y =-．
试题解析：
解：（Ⅰ）由于函数()2
12f x x =
，()ln g x e x =， 因此()()()2
1ln 2
F x f x g x x e x =-=-，
则(
)(
'x x e F x x x
x
=-=
，()0,x ∈+∞，
当(x ∈时，()'0F x <，所以()F x
在(是减函数；
当)
x ∈+∞时，()'0F x >，所以()F x
在
)
+∞是增函数，
所以(
)min 0F x F
==．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知(
)min 0F x F
==，则()f x 与()g x
在x =
2e ⎫⎪⎭
，
则()f x 与()g x
存在分界线，则其必然过2e ⎫⎪⎭
，
设其方程为(2e y k x -
=
，即2e
y kx =+- 由(
)2
e
f x kx ≥+-对x R ∈
恒成立，则2220x kx e --+≥对x R ∈恒成立，
所以(
)(2
2
44240k e k ∆=-=-≤，
解得k =
2
e
y =-．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l
的参数方程为12(1122x t y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
为参数)，点
A
的极坐标为,24π⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
，设直线l 与圆C 交于点P 、Q 两点． ()1写出圆C 的直角坐标方程； ()2求AP AQ ⋅的值．
【答案】（1）()2
211x y -+=；（2）1
2
. 【解析】
试题分析：（1）根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把圆C 的极坐标
方程化为直角坐标方程．（2）由题意可得点A 在直线13
22{
1122
x t
y t
=
+=+（t 为参数）上，把直线
的参数方程代入曲线C 的方程可得2131
02
t t -+
-=．由韦达定理可得12
12t t =-，根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=12t t 的值
试题解析：（1）由2cos ρθ=，得2
2cos ρρθ=
，cos x ρθ=， 即()2
211x y -+=，
即圆C 的直角坐标方程为()2
211x y -+=；
（2）由点A 的极坐标2,24π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
得点A 直角坐标为11,22⎛⎫
⎪⎝⎭， 将13
2{11y 22x t
=
+=+代入()
2211x y -+=消去x 、y ，整理得2
31102t ---=， 设1t 、2t 为方程2311
022t t -
-=的两个根，则1212t t =-，
所以121
2
AP AQ t t ⋅==
. 考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
23.已知函数()12 2.f x x x =-++ ⑴解不等式()5f x >；
⑵若不等式()()f x a a R <∈的解集为空集，求a 的取值范围.
【答案】（1）4
{3
x x 或2}x <-. （2）(,2]a -∞的取值范围是. 【解析】
试题分析：解：(1)根据条件311
(){311,311
x x f x x x x x +>=+-≤≤--<-，，
， 当1x >时，44
315,1,;33
x x x x ⇔+>⇔>>>又所以
当11x -≤≤时，352,11;x x x ⇔+>⇔>-≤≤又，此时无解 当1x <-时，3152,1, 2.x x x x ⇔-->⇔<-<-<-又所以
综上，
的解集为4
{3
x x
或2}x <-. （5分） (2)由于311
(){311,311
x x f x x x x x +>=+-≤≤--<-，，
，可得()f x 的值域为[2,)+∞. 又不等式()()f x a a R <∈的解集为空集，所以(,2]a -∞的取值范围是. （10分） 考点：不等式的选讲
点评：解决的关键是根据绝对值不等式以及分段函数来求解得到，属于基础题。