黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题Word答案不全

数学文
参考公式：
样本数据的标准差，其中为样本的平均数
柱体体积公式，其中为底面面积，为高；锥体体积公式，其中为底面面积，为高
球的表面积和体积公式，，其中为球的半径
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合则（）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是（）
A． B． C． D．
3．已知中，，且的面积为，则（）
A． B． C．或 D．或
4．已知是边长为2的正三角形的边上的动点，则（）
A．有最大值为8 B．是定值6 C．有最小值为2 D．与点的位置有关5．设，且，则（）
A． B． C． D．
6．掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6的概率是（）
A． B．C． D．
7．数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则等于（）A． B． C． D．
8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（）
A．2 B． C． D．3
9．如图所示程序框图中，输出（）
A. B. C. D.
10．点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个
球的表面积为（）
A． B． C． D．
11．已知圆，直线，点在直线上．若在圆上存在点，使得（为坐标原点），则的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是（）
A.（20，32）
B.（9,21）
C.（8,24）
D.（15，25）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知数列中，，，则
14．如果满足约束条件，则目标函数的最大值是
15.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若线段的长为8，则_____________
16．已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）已知函数
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）设的三内角分别是．若，且,求边和的值．
（本小题满分12分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低18．
碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少％的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．
（1）任选两个小区进行调查，求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（2）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1 所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？
19．（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, , ,平面底面,为的中点,，,是棱的中点。

（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积。

20. （本小题满分12分）过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知。

（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程。

21. （本小题满分12分）已知关于的函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数没有零点，求实数的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22．（本小题满分10分）选修4－1:几何证明选讲
如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当，时，求的长．
23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，过点的直线的参数方程为 (为参数)，与分别交于.
(1)写出的平面直角坐标系方程和的普通方程；
(2)若成等比数列，求的值.
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
18.（1）设“非低碳小区”为A,B,C, “低碳小区”为D,E;从中任取两个小区有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10个基本事件，恰有一个“非低碳小区”有AD,AE, BD,BE,CD,CE 共6个基本事件；所以所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率为 。

6 分
（2）小区，调查显示其“低碳族”的比例为，
由图1知月排放量低于3百千克/户为低碳族， 。

8 分
所以由图2知，宣传后“低碳族”占0.07+0.23+0.46=0.76>0.75，达到“低碳小区”的标准。

12分
19．证明:（Ⅰ）连接，交于,连接，且，即，
∴四边形为平行四边形,且为中点,又因为点是棱的中点,，因为
平面，平面，则； 。

6 分
（Ⅱ）,证明出平面 所以到平面的距离为 9 分
所以413211321312121312131=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅==∆--CD PQ QD CD S V V PDQ PDQ M DQM P 12分
20.（1）由，知，设直线：，，
所以带入得，，所以 。

5分
（2）由（1）设椭圆方程为，联立和椭圆得
，由与椭圆有且只有一个公共点知
得 。

8分
，， 。

9分
由得
即 。

10分 由（1），（2）得所以椭圆方程为 。

12分
21.（1） 。

2分 画表 。

4分
极小值= 无极大值 。

6分
（2）根据题意，无实根，即无实根，
令，
若在上单调递增，存在使得不合题意
若，
所以，当
即解得符合题意
综上所述： 。

12分
22．（Ⅰ）连接,因为是圆内接四边形，所以
又∽,即有
又因为，可得
因为是的平分线，所以,
从而； 5分
（Ⅱ）由条件知，设，
则，根据割线定理得,
即即，
解得或（舍去），则 10分
23．(1) x－y－2＝0；(2)1.
解：(1)利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l 的方程；(2)由|PM|＝|t1|，|MN|＝|t1－t2|，|PN|＝|t2|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解.
试题解析：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；
直线l的普通方程为x－y－2＝0． 4分
(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t2－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0 (*)
△＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．
由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有
(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．
因为a＞0，所以a＝1． 10分
24．（1）；（2）a≥4
解：（1）当a=3时， 2分
当x>2时，1-x>0，即x<1，解得，。