2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3文档：第1章 1.3.1 二项式定理 Word版含答案

1.3 二项式定理
1．3.1 二项式定理
1．能用计数原理证明二项式定理．(重点)
2．能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．(重点)
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理二项式定理
阅读教材P29～P31，完成下列问题．
1．二项式定理
(1)公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n b n(n∈N*)叫做二项式定理．
(2)(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数C k n (k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．
2．二项展开式的通项
(a＋b)n的二项展开式中的C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即通项为展开式的第n＋1项：T k＋1＝C k n a n－k b k.
温馨提示：二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )
(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )
(4)(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 【解析】 (1)× 因为(a ＋b )n 展开式中共有n ＋1项．
(2)× 因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项C k n b n －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．
(3)× 因为C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项．
(4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
[小组合作型
]
二项式定理的正用、逆用
(1)用二项式定理展开⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2x －32x25
； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C n . 【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －32x25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32x2＋…＋C 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32x25 ＝32x 5
－120x 2
＋180x －135x4＋4058x7－243
32x10
.
(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k (－1)k ＋…＋C n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n
.
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．
[再练一题] 1．(1)求二项式⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫3
x －1x 4的展开式； (2)化简(x －2)5＋5(x －2)4＋10(x －2)3＋10(x －2)2＋5(x －2).
【导学号：29472028】
【解】 (1)⎝
⎛
⎭
⎪⎪⎫3
x －1x 4
＝C 04(3
x )4＋C 14(3
x )3⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－1x ＋C 24(3x )2⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－1x 2
＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 3＋C 4⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－1x 4
＝81x 2
－108x ＋54－12x ＋1
x2
.
(2)原式＝C 05(x －2)5＋C 15(x －2)4＋C 25(x －2)3＋C 35(x －2)2＋C 45(x －2)＋C 5(x －2)0－1 ＝[(x －
2)＋1]5－1
＝(x －1)5－1.
二项式系数与项的系数问题
(1)求二项式⎝
⎛
⎭
⎪⎪⎫2
x －1x 6
的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －1x 9
的展开式中x 3的系数．
【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1
∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12.
(2)T r ＋1＝C r 9x
9－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－1x r
＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r ， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－
84.
1．二项式系数都是组合数C k n (k ∈
{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C k n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝
280.
[再练一题] 2．(1)已知⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )
A.
3 B ．－3
C ．6
D ．－6
(2)设(x －
2)n
展开式中，第二项与第四项的系数之比为1
2
，则含x 2的项是________．
【解析】 (1)T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－
a x r ＝C r 5
(－a )r x ，由5－2r 2＝3
2
，解得r ＝1.由C 15(－
a )＝30，得a ＝－6.故选D.
(2)(x －
2)n 展开式的第二项与第四项分别为T 2＝C 1n x n －1(－
2)＝－
2C 1n x n －1，T 4＝C 3n x n
－3
(－
2)3＝－2
2C 3n x n －3. 依题意得－
2C1n
－22C3n ＝1
2
，即n 2－3n －4＝0，解得n ＝4(舍去n ＝－1)． 设(x －2)4展开式中含x 2的项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 4x 4－r (－
2)r .由4－r ＝2，得r ＝2，
即(x －
2)4展开式中含x 2的项为T 3＝C 24x 2(－
2)2＝12x
2.
【答案】 (1)D (2)12x 2
[探究共研型]
求展开式中的特定项
探究1 如何求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 4
展开式中的常数项．
【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x 4－r
·1xr ＝C r 4x 4－2r
求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫x ＋1x 4
展开式中的常数项为C 24＝
4×32
＝6.
探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？
【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．
探究3 如何求⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？
【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3
展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常
数项C 3＝1及x 2
项C 1322x 2
＝12x 2
分别相乘再把积相加得x ·C 3＋1
x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .
已知在⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫3x －
33
x n
的展开式中，第6项为常数项． (1)求n
；
(2)求含x
2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
【自主解答】 通项公式为：
(1)∵第6项为常数项，
∴r ＝5时，有n －2r
3＝0，即n ＝10.
(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，
∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.
(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧
10－2r
3
∈Z，0≤r≤10，
r∈Z.
令10－2r 3
＝k (k ∈Z )，
则10－2r ＝3k ，即r ＝5－3
2k .
∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，
k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2， －61 236,295 245x －2
.
1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k 项，T k ＝C k －1n a n －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
[再练一题]
3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －a x26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________. 【导学号：29472029】
【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a x26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k · (－
a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－
a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常
数项是C 26a ，
根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)4
1．化简(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1得( ) A ．(x －1)4 B ．x 4 C ．(x ＋1)4
D ．x 5
【解析】 原式＝[(x －1)＋1]4＝x 4. 【答案】 B
2．在⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x 2
－13x 8的展开式中常数项是( )
A ．－28
B ．－7
C ．7
D ．28
【解析】 T k ＋1＝C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 28－k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－13x
k ＝(－1)k
·C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫128－k ·x 8－43k ， 当8－43k ＝0，即k ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝7. 【答案】 C
3．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x 6
的展开式中，中间项是________．
【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项， 因为T 4＝C 36(2x 2)3
·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－1x 3
＝C 36·(－1)3·23·x 3， 所以T 4＝－160x 3. 【答案】 －160x 3
4．在⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫x2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.
【导学号：29472030】
【解析】 T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－123·C 39·x 9
＝－212
x 9
，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－21
2
.
【答案】 84 －21
2
5．求⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x3＋23x25的展开式的第三项的系数和常数项． 【解】 T 3＝C 25(x 3)3⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫23x22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫23x2k ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2
·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫23x23
＝8027.。