2019-2020学年洛阳市名校数学高二下期末教学质量检测试题含解析

2019-2020学年洛阳市名校数学高二下期末教学质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为
A ．2 B
C ．2或2-
D 或
【答案】C 【解析】
分析：利用OA ⊥OB ，OA=OB ，可得出三角形AOB 为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R ，可得出AB ，求出AB 的长，圆心到直线y=﹣x+a 的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到实数a 的值． 详解：∵OA ⊥OB ，OA=OB ， ∴△AOB 为等腰直角三角形， 又圆心坐标为（0，0），半径R=1， ∴
=∴圆心到直线y=﹣x+a 的距离d=1
2
∴|a|=1， ∴a=±1． 故答案为C ．
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.
2．设复数z 满足|1|z i i =-+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）
A i
B i
C ．1
D ．12i --
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出数复数z ，即可得到答案. 【详解】
复数z 满足|1|z i i =-+，则2z i =+，
所以复数2z i =-.
故选：A. 【点睛】
本题考查复数的模、共轭复数的概念，考查运算求解能力. 3．从一批苹果中抽出5只苹果，它们的质量分别为单位：克；若该样本的中位
数和平均值均为124，则该样本的标准差s 是 A ．4 B ．5
C ．2
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
本题由题意可知，首先可以根据
中一个是124，得出另一个是：
，由此能求出样本方差，从而能求出该样本的标准差。

【详解】
从一批苹果中抽出只苹果，它们的质量分别为单位：克，
该样本的中位数和平均值均为，
所以
中一个是
，
另一个是：， 所以样本方差
，
所以该样本的标准差是，故选：C 。

【点睛】
本题考查样本的标准差的求法，考查平均数、中位数、方差、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题，本题主要是能够读懂题目，能从题目所给条件中找出的值。

4．
13i
1i
+=+ （ ） A ．2i - B ．2i -+
C ．2i +
D ．2i --
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案． 【详解】
由()()()()
13i 1i 13i 42i
2i 1i 1i 1i 2+-++===+++-，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
5．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>与双曲线22
222:1(0,0)x y C m n m n -=>>有相同的焦点12F F ，，
点P 是两曲线的一个公共点，且1260F PF ︒
∠=，
若椭圆离心率12
e =
，则双曲线2C 的离心率2e =（ ） A
．
2
B
．
2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得1e ，2e 的关系，计算可得所求值． 【详解】
设1||PF s =，2||PF t =，P 为第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-， 在三角形12F PF 中，1260F PF ∠=︒，
可得22222222242cos6022()c s t st a m am a m am a m =+-︒=++++---， 即有22234a m c +=，
可得22
2234a m c c
+=，
即为
22
12134e e +=，
由12
e =
，可得2e =，
故选B ． 【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若
()1a f =-，1
42log b f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()0.32c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．c b a <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
【答案】B 【解析】 【分析】
利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项. 【详解】
因为函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2221
log log 224
-==-，0.30221>=且0.31222<=，所以b c a >>，故选B. 【点睛】
本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养. 7．若输入4n =，执行如图所示的程序框图，输出的s =（ ）
A ．10
B ．16
C ．20
D ．35
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
第一次循环，4,2s i ==，第二次循环，10,3s i ==，第三次循环，16,4s i ==，结束循环，输出16s =，故选B ．
8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表中t 的值为（ ） A ．3 B ．3.15
C ．3.5
D ．4.5
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t 的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t 的一次方程，解方程，得到结果． 【详解】 ∵a y bx =-
由回归方程知0.350.7y x =-=2.54 4.53456
0.744
t ++++++-⨯，
解得t=3， 故选A ． 【点睛】
】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．
9．已知向量()2,1a =-，()1,0b =，则向量a 在向量b 上的投影是（ ） A ．2 B ．1
C ．−1
D ．−2
【答案】D 【解析】 【分析】
本题考察的是对投影的理解，一个向量在另一个向量上的投影即一个投影在另一个投影方向上的长度． 【详解】
a 在
b 上的投影方向相反，长度为2，所以答案是2-.
【点睛】
本题可以通过作图来得出答案．
10．已知1
~(4,)3
B ξ，并且23ηξ=+，则方差D η=（） A ．
932 B ．98C ．943D ．9
59
【答案】A
【解析】
试题分析：由1~(4,)3B ξ得()()()12832
42343399
D D D D ξηξξ=⨯⨯=∴=+== 考点：随机变量的期望
11．已知函数()3
2
f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <==≤，则c 的取值范围为（ ）
A ．(),6-∞-
B ．()6,3--
C ．(]6,3--
D ．[)6,3--
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()()()123f f f ==构造方程组可求得,a b ，得到()f x 解析式，根据()013f <≤求得结果. 【详解】
由()()()123f f f ==得：184212793a b c a b c a b c a b c +++=+++⎧⎨
+++=+++⎩，解得：6
11a b =-⎧⎨=⎩
()32611f x x x x c ∴=-++
由()013f <≤得：016113c <-++≤，解得：(]6,3c ∈-- 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查根据函数值的取值范围求解参数范围的问题，关键是能够通过函数值的等量关系求得函数解析式，从而根据函数值的范围构造出不等关系. 12．在△ABC 中，4a =，5
2
b =，5cos(B C)30++=，则角B 的大小为（ ） A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
6π或56
π 【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据三角形内角和为π，即可算出角A 的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B 【详解】
在△ABC 中有A B C π++=,所以B C A +=π-,所以
()3
5cos(B C)305cos 30cos 5A A π++=⇒-+=⇒=
,又因为0A π<<,所以02
A π<<，所以
4sin 5A ==,因为4a =，52
b =，所以由正弦定理得sin 1
sin 2b A B a ==，因为a b A B >⇒>,
所以6
B π
=。

所以选择A
【点睛】
本题主要考查了解三角形的问题，在解决此类问题时常用到：1、三角形的内角和为π。

2、正弦定理。

3、余弦定理等。

属于中等题。

二、填空题：本题共4小题
13．若复数z 满足 |z － (i 为虚数单位)， 则z 在复平面内所对应的图形的面积为_____________． 【答案】2π 【解析】
分析：由i z -≤z 的轨迹是以()0,1为半径的实心圆，由圆的面积
公式可得结论.
详解：
i z -≤，
z ∴在复平面内对应点的z 的轨迹是以()0,1为圆心，
为半径的实心圆，
∴该圆的面积为2
2π
π=，故答案为2π.
点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.
14．已知函数()ln x
f x e a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：
①对于任意()0,a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(),0a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；
③存在()0,a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(),0a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．
其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 【答案】②④ 【解析】
函数()e ln x
f x a x =+的定义域是(0,)+∞，且()e x
a f x x =+
'，当0a >时，()e 0x
a f x x
=+>'在(0,)+∞恒成立，所以函数()e ln x
f x a x =+在(0,)+∞上单调递增，
故①错误；对于0a ∀<，存在00x >，使0
00
()e 0x a
f x x '=+
=，则()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞
上单调递增，所以对于任意(),0a ∈-∞，函数()f x 存在最小值0()f x ，故②正确；函数
=e ,ln ,0x y y a x a =->的图象在(0,)+∞有公共点，所以对于任意0a >，()f x 有零点，故③错误；由②
得函数()f x 存在最小值0()f x ，且存在(),0a ∈-∞，使000()e ln 0x
f x a x =+<，当0x +→时，
()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞，故④正确；故填②④.
点睛：本题的易错点在于正确理解“任意()0,a ∈+∞”和“存在(),0a ∈-∞”的 含义，且正确区分两者的不同.
15．已知向量,a b 满足1a =，||2b =，,a b 的夹角为060，则a b -__________． 3 【解析】 【分析】
先计算a b ⋅，再由2||()a b a b -=-展开计算即可得解. 【详解】
由||1a =，||2b =，,a b 的夹角为060，得||||cos 601a b a b ⋅=⋅=. 所以22
2
||()21243a b a b a a b b -=
-=-⋅+=-+=3. 【点睛】
本题主要考查了利用向量的数量积计算向量的模长，属于基础题. 16．若(ax 2+5
)x
的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-2 【解析】
试题分析：因为510255215
5C ()
C r r r
r r r
r T ax a x x
---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此
252580 2.C a a -=-⇒=-
【考点】二项式定理
【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，
B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望； 【答案】（Ⅰ）2
5
（Ⅱ）见解析，1 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据题意先计算出上个月A ，B 两种支付方式都使用的学生人数，再结合古典概型公式计算即可； （Ⅱ）由题求出使用两种支付方式金额不大于1000的人数和金额大于1000的人数所占概率，再结合相互独立事件的概率公式计算即可 【详解】
（Ⅰ）由题意可知，两种支付方式都使用的人数为：1003025540---=人，则： 该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率402
1005
p ==． （Ⅱ）由题意可知，
仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25， 仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占3
5
，
且X 可能的取值为0，1，1．
()32605525p X ==⨯=，()22
321315525
p X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()
32625525p X ==⨯=，
X 的分布列为：
其数学期望：()0121
252525
E X=⨯+⨯+⨯=．
【点睛】
本题考查概率的简单计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题
18．为了研究玉米品种对产量的，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：
（1）现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；
（2）根据玉米生长情况作出统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
【答案】（1）
8
15
P=；（2）有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．
【解析】
【分析】
（1）采用分层抽样的方式，从样本中取出的6株玉米随机选出2株中包含高杆的2株，矮杆的4株，故可求这2株之中既有高杆玉米又有矮杆玉米的概率；（2）带入公式计算k值，和临界值表对比后即可得答案．
【详解】
（1）依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为a，b；矮茎4株，记为A，B，C，D；
从中随机选取2株的情况有如下15种：aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，ab，AB，AC，AD，BC，BD，CD．
其中满足题意的共有aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共8种，
则所求概率为815
P =
． （2）根据已知列联表： 高茎 矮茎 合计 圆粒 11 19 30 皱粒 13 7 20 合计
24
26
50
∴得2
50(1171319) 3.860 3.84130202426
k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯⨯，
又2( 3.841)0.05P k =，
∴有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率和独立性检验，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力． 19．已知函数f （x ）＝x ＋
，且此函数的图象过点（1，5）．
（1）求实数m 的值并判断f （x ）的奇偶性；
（2）判断函数f （x ）在[2，＋∞）上的单调性，证明你的结论．
【答案】（1）m ＝1，奇函数；（2）f （x ）在[2，＋∞）上单调递增，证明见解析． 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）函数图象过点（1，5）将此点代入函数关系式求出m 的值即可，因为函数定义域关于原点对称，需要判断函数是否满足关系式()()f x f x =-或者()()f x f x -=-．满足前者为偶函数，满足后者
为奇函数，否则不具有奇偶性．此题也可以将()f x 看做()h x x =与()m
g x x
=
两个函数的和，由(),()g x h x 的奇偶性判断出()f x 的奇偶性．（2）利用函数单调性的定义式：区间上的12x x <时，12()()f x f x -的正
负来确定函数在区间上的单调性．
试题解析：（1）（1）∵f （x ）过点（1，5）， ∴1＋m ＝5⇒m ＝1． 对于f （x ）＝x ＋
4
x
，∵x≠2， ∴f （x ）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞），关于原点对称． ∴f （－x ）＝－x ＋
4
x
-＝－f （x ）．
∴f （x ）为奇函数．
另解：()()()f x g x h x =+，
4
(),(
)h x x g x x
==，定义域均与()f x 定义域相同，因为(),()h x g x 为奇函数，因此可以得出()f x 也为奇函数．
（2）证明：设x 1，x 2∈[2，＋∞）且x 1<x 2， 则f （x 1）－f （x 2）＝x 1＋
14x －x 2－24x ＝（x 1－x 2）＋()2112
4x x x x -＝()()1212124x x x x x x --． ∵x 1，x 2∈[2，＋∞）且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<2，x 1x 2>1，x 1x 2>2． ∴f （x 1）－f （x 2）<2．
∴f （x ）在[2，＋∞）上单调递增．
考点：1、求函数表达式；2、证明函数的奇偶性；3、证明函数的单调性． 20．已知函数.
（Ⅰ）求函数极值； （Ⅱ）若对任意
，
，求的取值范围.
【答案】 (1) ，无极大值；(2) .
【解析】 【分析】
（Ⅰ）先对函数求导，利用导数的方法确定函数单调性，进而可得出极值； （Ⅱ）先设
，对函数
求导，分
，
和
三种情况讨论，用
导数方法判断其单调性等，即可得出结果. 【详解】 解：（Ⅰ）令
，
+
极小值
，无极大值；
（II ）对任意，即，
设，，
①当时，单调递增，
单调递增，
，成立；
②当时，令
，
单调递增，
单调递
增，，成立；
③当
时，当
时，
，
单调递减，单调递减，
，不成立.
综上，的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值等，属于常考题型.
21．在极坐标系中，曲线1C ：2sin 4cos ρθθ=，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xoy ，
曲线2C 的参数方程为1223x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.
（1）求1C 、2C 的直角坐标方程；
（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，且定点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）2
4y x =3230x y --=；（2）323
. 【解析】 【分析】
（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，能求出曲线1C 的直角坐标方程；曲线2C 的参数方程消去参数t ，即可求出曲线2C 的直角坐标方程；
（2）曲线2C 的参数方程代入2
4y x =，得到238320t t --=，由此借助韦达定理即可求出PA PB ⋅的值.
【详解】 （1）
曲线1C ：2
sin 4cos ρθθ=，∴2
2
sin 4cos ρθρθ=，
∴曲线1C 的直角坐标方程为24y x =.
曲线2C
的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.
∴曲线2C 消去参数t ，得曲线2C
0y --=.
（2）曲线2C
的参数方程为1222x t y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入2
4y x =，
得
2
3824
t t =+，即238320t t --=， ()()2
843324480∆=--⨯⨯-=>， 12323
t t ⋅=-
， ∴1212323
PA PB t t t t ==
⋅⋅=. 【点睛】
参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2
ρ的形式，
然后利用公式代入化简得到普通方程；解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，对于参数方程或极坐标方程应用不熟练的情况下，我们可以先化为直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰；对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷.
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2
2n n S a n =+
（1）求1a ，2a ，3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明； （2）令1
1
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）11a =，22a =，33a =，猜想n a n =，见解析；（2）1
n n
T n =+ 【解析】 【分析】
（1）分别计算1a ，2a ，3a ，猜想得n a ，然后依据数学归纳法的证明步骤，可得结果. （2）根据（1）得n b ，然后利用裂项相消法，可得结果. 【详解】
（1）当1n =时，
21121S a =+，解得11a =
当2n =时，
22222S a =+，即()22214a a +=+，得22a =
当3n =时，
23323S a =+，即()332129a a ++=+，得33a =
猜想n a n =，下面用数学归纳法证明： 当1n =时， 11a =，猜想成立 假设当(N n k k +=∈时，猜想成立， 即k a k =， (1)
2
k k k S +=
， 则当1n k =+时， 2
112(1)k k S a k ++=++，
∴()2
112(1)k k k S a a k +++=++，
221(1)2(1)(1)1k k a k S k k k k +∴=+-=+-+=+，
所以猜想成立
综上所述， 对于任意N n +∈，n a n =均成立． （2）由（1）得111(1)1
n
b n n n
n
所以11111
112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
则1111
n n T n n =-=++ 【点睛】
本题考查数学归纳法证明方法以及裂项相消法求和，熟练掌握数学归纳法的步骤，同时对常用的求和方法要熟悉，属基础题.。