高中数学教学论文 盘点二项式定理中的“系数”题型

P S 272 ，则 n ( A) 4 ( B) 5
4
1 n ) 的展开式的各项系数的和为 P ，所有二项式系数的和为 S ，若 x
（ ）
2
(C ) 6
2 3 4
( D) 8
2
3．若 ( 2 x 3 ) a 0 a1 x a 2 x a 3 x a 4 x ，则 (a 0 a 2 a 4 ) (a1 a3 ) 的值 为 （ ）
a a1 a2 2 2009 0 1 1 ，故选 C. 2 2 22009
附变式பைடு நூலகம்练
用心
爱心
专心
3
1：已知( x
2
1 x
) 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 (B)1 (C)－45
n
3 ，则展开式中常数项是 14
(D)45
(A)－1 2．设二项式 (33 x
2 5
10
9
(a0 a2 a4 a6 a8 a10 ) 2 (a1 a3 a5 a7 a9 ) 2 的值。
思路导析：由平方差公式，所求 (a0 a2 a4 a6 a8 a10 ) (a1 a3 a5 a7 a9 )
2 2
(a0 a1 a2 a10 ) [(a0 a2 a4 a6 a8 a10 ) (a1 a3 a5 a7 a9 )]
4
2
2
3
3
点评：二项式定理的推导原理是组合思想，在理解推导原理的基础上，应用组合思想解决 有关多项展开式中的项的系数问题，往往能收到很好的效果。在求展开式某项系数时， 要注意分步计数原理的运用以及符号的正确性。 四．通过通项研究展开式系数特征 例 4（2010 湖北理数 11）在（x+
4
3 y ） 20 的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。
亦即前 2008 项和为 0, 则原式= 解法二： （赋值法）令 x 得
,
同
理
可
以
得
出
2009 a2009 C2009 (2)2009 a a1 a2 = 1 故选 C. 2 2009 22009 2 2 2 2009 22009
a 1 a a 得， 0 a0 1 2 ，又令 x 0 得 a0 1 ，所以 2009 2 2 2 2 22009
项的系数是 C5 (1) 10
2 2
，
答案选 B 。
二．正确区分“两个系数”即二项式系数和项的系数 例 2 (1 2 x) 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项及
n
系数最大的项。 思路导析：二项式系数是指 Cn ，而项的系数由二项式系数 Cn 和数的乘积构成 解析：二项展开式的通项 Tr 1 Cn 2 x ，由第 6 项与第 7 项的系数相等得，
3
3 3 3 4
（ 2 ） A2 即 x 系 数 ， 即 从 {a1 , a2 , a3 , a4 } 中 取 两 元 的 所 有 组 合 的 和 ， 即
2
A2 a1 (a2 a3 a4 ) a2 (a3 a4 ) a3 a4 ，同理 A3 a1a2 a3 a1a2 a4 a1a3a4 a2 a3a4 .
其中 a0 a1 a2 a10 为展开式各项系数之和，赋值法令 x=1 即得； 赋值 (a0 a2 a4 a6 a8 a10 ) (a1 a3 a5 a7 a9 ) 为奇数项和与偶数项和之差， 法令 x=-1 即得。 解析：令 x=1, 得 a0 a1 a2 a10 2 ，
思路导析：通过求二项式展开式通项，进一步观察其系数特征，将其中系数是有理数的项列 出即可。
r 20 r 4 r 4 解析： 二项式展开式的通项公式为 Tr 1 C20 x ( 3 y ) r C20 ( 3)r x 20 r y r (0 r 20) 要使系数
为有理数，则 r 必为 4 的倍数，所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种，故系数为有理 数的项共有 6 项. 答案为 6 五．求多项式展开式中各项的系数和或某些项（各奇数项、偶数项等）的系数和 例 5 已知 (3 x 2 x 1) a10 x a9 x a1 x a0 ， 求
r r r 5 5 6 6 Cn 2 Cn 2 n 8 ，所以，展开式中二项式系数最大的项为 T5 C84 24 x 4 1120 x 4 ，
r r r 1 r 1 C8 2 C8 2 设第 r 1 项系数最大，则 r r r 1 r 1 C8 2 C8 2 5 5 5 5
4 8 0 8
(1 3 2)100 0 ， 即展开式系数之和为 0。
案为 0.
用心
爱心
专心
4
解法一:由题意 a1
1 2008 C2009 (2)1 2 2009 , a2008 C2009 (2)2008 (2)2008 2009 ,则
a a1 a a 2009, 2008 2009, 即 1 + 2008 =0 2008 2 2 2 22008 a a2006 a2 a2007 + 2007 =0 , 3 + =0 ……… 2 2 2 23 22006
用心
爱心
专心
1
思路导析：对于（1）中所求 x 项的系数，应先研究清楚 x 项的构成， (1 x), (1 x) 中均
3 3 2
没有 x ，从 (1 x) 开始出现 x ，故应分别计算其后五项中 x 的系数之和即得；
3 3 3 3
对于（2） （3）其基本思路都是利用组合思想加以解决。 解析： （1） x 项系数为 C3 C4 C7 C8 70
2 5
1 x
4
) .
A． 10 C． 5
B． 10 D． 5
解析： 本题属于二项式定理中最为基本的题目， 直接考查考生对于二项展开式的通项公式的 掌握。其通项 Tr 1 C5 ( x )
r 2 5 r
1 r ( )r 1 C5r x103r ，对于 10 3r 4, r 2 ，则 x 4 的 x
2 7
r
3
（2）设 x a1 x a2 x a3 x a4 A0 x A1 x A2 x A3 x A4
4 3 2
则 A2 __ （3） ( x 2 y z )
9
A3 ____
展开式中 x y z 系数为_______
4 2 3
数和为 g(1) ； （4）g(x)的奇数项的系数和为
1 （5）g(x)的偶数项系数和 [ g (1) g (1)] ； 2
为 [ g (1) g ( 1)] 。这里常用到一种重要方法：赋值法。 六．赋值法在解决系数问题中的综合应用 例6 （2009 陕西卷） 若 (1 2 x) 的值为 （A）2 （B）0 （C） 1 (D) 2
r
r
解之得 5 r 6 即 r 5或6
6 6 6 6
所以，系数最大的项为 T6 C8 2 x 1792 x 或 T7 C8 2 x 1792 x
r
点评：二项式系数不受底数内字母及数的影响，统一为 Cn ，而项的系数应是 Cn 与数的幂 的乘积组成，这一不同要仔细区分。 三．求多个二项式的积（和）展开式中指定项、指定项系数 例 3（1） (1 x) (1 x) (1 x) 展开式中， x 项的系数为_______
求二项展开式中某一项或常数项或某一项的系数求所有项系数的和或奇偶数项系数和求展开式的项数以及二项式定理在求近似值证明不等式等问题中的应用
盘点二项式定理中的“系数”题型
高考中二项式定理试题多以填空选择题形式出现， 涉及的题型主要有： 求二项展开式中 某一项（或常数项）或某一项的系数，求所有项系数的和或奇（偶）数项系数和，求展开式 的项数，以及二项式定理在求近似值，证明不等式等问题中的应用。本文重点探讨有关二项 式定理中的系数问题。 一．直接利用二项展开式通项公式求某项系数。 例 1． （2009 浙江卷理）在二项式 ( x ) 的展开式中，含 x 的项的系数是(
( A) 1
( B) -1
(C ) 0
4
( D) 2
4 （ 2009 北 京 卷 文 ） 若 (1 2) a b 2( a, b 为 有 理 数 ）， 则 a b （ ）. A．33
100
B． 29
C．23
D．19
5 求 ( x 3 y 2 z)
展开式的各项系数之和为__________。
n n 2009
1 2
a0 a1 x a2009 x 2009 ( x R) ,则
a a1 a2 2 2009 2 2 22009
思路导析：如果从二项展开式中各系数 an 表达式入手，将其写出为 an C2009 (2) ，可 以发现
a1 a2008 a a2006 a a2007 2008 2009 2009 0 ，同理可以得出 2 + 2007 =0 , 3 + =0 ……… 2 2 2 2 2 23 22006 a 亦即前 2008 项和为 0,故只需求 2009 即可，此为思路一； 22009 a a a 思路二：如果整体研究 1 2 ，可将分母中 2 的指数与 an 的下标统一起来， 2009 2 2 2 22009 1 采用赋值法只需令 x 即可使问题迎刃而解。 2
（3）由 ( x 2 y z ) ( x 2 y z )( x 2 y z ) ( x 2 y z )
9
知 4 个括号取 x，余下 5 括号取 2y，再从余下 3 个括号取 z， 于是得 x y z 系数为 C9 C5 2 C3 (1) 5040 .
4 2 3
5
用心
爱心
专心
2
令 x=-1, 得
(a0 a2 a4 a6 a8 a10 ) (a1 a3 a5 a7 a9 ) 65 ,
(a0 a2 a4 a6 a8 a10 ) 2 (a1 a3 a5 a7 a9 ) 2 25 65 125 。
点评：求展开式系数和，充分利用赋值法。赋值时，一般地，对于多项式 （1）g(x)的二项式系数和为 g ( x) ( px q ) n a0 a1 x a2 x 2 an x n ，有以下结论：
n 1 （2）g(x)的奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和= 2 ； （3）g(x)的各项系 2n ；
4 x 展开式中不含 ．．x 项的系数的和为（
6（2010 江西理数） 2 A.-1 B.0


8
）
C.1
D.2
答案 1。D；2。 A ；3 A ；4 B； 5 解：令 x=y=z=1 ， 得 6 B 【提示】采用赋值法，令 x=1 得：系数和为 1，减去 x 项系数 C8 2 (1) 1 即为所求，答